Z2SEM

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1-го РОДА

Понятие криволинейного интеграла разберем на физической задаче. Пусть имеется отрезок кривой между точками A и B (Рис.7). Кривая за-

дана	параметрическими	уравнениями:
x = x(t);	y = y(t); z = z(t) и материально выполнена из проволоки

переменной линейной плотности ½(x; y; z). Требуется найти массу куска проволоки AB.

Масса кусочка проволоки длины dl равна ½(x; y; z)dl. Общая масса

равна сумме масс кусочков
l = Z	½(x; y; z)dl:	(16)

AB

Это и есть криволинейный интеграл 1-го рода, если отвлечься от физической интерпретации и считать функцию ½ произвольной, а не обязательно плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к определ¸нному интегралу следующим образом. Элемент длины dl равен

pp

dl = dx2 + dy2 + dz2 = (x0)2 + (y0)2 + (z0)2dt
Y
	B
	l
	A
O	X
	Рис.7

Пусть точке A соответствует значение параметра tA, точке B – tB. Подставляя все величины в (16), получаем

l = ZtB ½(x(t); y(t); z(t))
		(x0	(t))2	+ (y0(t))2	+ (z0(t))2dt
tA	p

31

в форме определ¸нного интеграла.

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-го РОДА

Одно из частых применений криволинейного интеграла 2-го рода заключается в вычислении работы переменных сил по криволинейному пути. Рассмотрим понятие криволинейного интеграла на этом примере.

Пусть под действием силы

F = X(x; y; z)i + Y (x; y; z)j + Z(x; y; z)k

материальная точка движется по кривой x = x(t); y = y(t); z = z(t) из

точки A(t = tA) в точкуB(t = tB).

Работа силы на участке длины dl выражается как скалярное произведение dA = (F; dl), где dl = dx i+dy j+dz k. Тогда работа на всем участке AB выражается интегралом, который называется интегралом 2-го рода:

ZZ

A = (F; dl) = (X dx + Y dy + Z dz):

AB AB

Вычисление его проводится сведением к обычному интегралу подста-

новкой уравнений кривой:

Z

A = X(x(t); y(t); z(t))x0(t) dt+

AB

Z

+Y (x(t); y(t); z(t))y0(t) dt+

AB

Z

+Z(x(t); y(t); z(t))z0(t) dt:

AB

ИНТЕГРАЛ ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ

Иногда приходится рассматривать криволинейный интеграл 2-го рода в случае, когда точки A и B совпадают (кривая интегрирования образует замкнутый контур). В этом случае изображение интеграла дополняется кружком: H . Очевидно, что величина интеграла по замкнутому контуру не зависит от выбора точки начала (она же – точка конца) интеграла на контуре. Для замкнутого контура положительным принято такое направление движения при интегрировании, что ограниченная область оста¸тся слева (против часовой стрелки). При смене направления движения интеграл меняет знак.

32

НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Часто возникает следующая задача. Под действием некоторой силы F материальная точка перемещается из положения A в положение B. Какие надо наложить условия на силу F, чтобы работа на это перемещение не зависела от траектории движения? Это конкретное приложение абстрактной задачи независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Требование независимости интеграла от пути интегрирования можно выразить через интеграл по замкнутому контуру: интеграл по любому замкнутому контуру должен быть равен нулю. Действительно, разность интегралов по разным путям AmB и AnB (Рис.8)

ZZ

¡

(16)

AmB AnB

можно представить как сумму, если во втором интеграле изменить направление движения

Z Z Z Z I

¡ = + = ;

AmB AnB AmB BnA AmBnA

в результате получается замкнутый контур. Для независимости интеграла от пути интегрирования разность (16) должна быть всегда равна нулю, отсюда и интеграл по замкнутому контуру должен быть равен нулю.

ФОРМУЛА ГРИНА

Существует связь между интегралами по замкнутому контуру и двойными интегралами. Рассмотрим эту связь в двумерном случае.

Пусть дан интеграл

I

X(x; y) dx + Y (x; y) dy

¡

по замкнутому контуру ¡, охватывающему область D. Тогда справедлива формула Грина:

ZZD	µ @x ¡		@y ¶ dxdy = I¡	X(x; y) dx + Y (x; y) dy
		@Y	@X

33

Y	n
	B
	A
	m
O	X
	Рис.8

Доказательство (оно является полезным примером на вычисление двойных интегралов).

Интеграл слева в формуле Грина есть разность двух интегралов. Проинтегрируем их в отдельности. Путем сведения двойного интеграла к повторному, получаем

¡ ZZ	@y	dxdy = ¡ Z				dx Z		@y dy =
					b	¯(x)
	@X							@X
D				a		®(x)
= ¡ Za b [X(x; ¯(x)) ¡ X(x; ®(x))] dx = I¡										X dx
Аналогично показывается, что
			@Y
		ZZ		dxdy = I			Y dy
			@x

D¡

Складывая эти два равенства, получаем требуемое.

В трехмерном пространстве существует аналог формулы Грина – формула Стокса.

УСЛОВИЕ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Необходимым и достаточным условием того, что двойной интеграл по любой области D равен нулю, является тождественное равенство нулю подынтегральной функции. Достаточность очевидна. Необходимость

34

доказывается от противного. Пусть интеграл всегда равен нулю, а подынтегральная функция отлична от нуля в некоторой точке. В силу непрерывности она отлична от нуля и сохраняет знак в некоторой окрестности этой точки. Двойной интеграл по области, представляющей эту окрестность тоже отличен от нуля (по теореме о среднем), что противоречит предположению.

Для независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру и был равен нулю. Но из формулы Грина видно, что это эквивалентно условию

@Y	¡	@X	´ 0	(17)
@x		@y

Это и есть требуемое условие.

Можно показать, что это условие эквивалентно существованию такой функции (потенциала) P (x; y), что

	X(x; y) =	@P	;	Y (x; y) =	@P	:
		@x			@y

В терминах потенциала условие (17) выглядит как условие независимости смешанной производной от порядка дифференцирования:

@2P ´ @2P : @x@y @y@x

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧїТ ИНТЕГРАЛОВ (КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ)

Обычно для численного расчета определенных интегралов, которые не берутся другими способами, применяются так называемые квадратурные формулы (от слова квадратура – вычисление площади).

Различные квадратурные формулы имеются в справочниках. Их очень много, отличаются они друг от друга точностью и трудо¸мкостью. Типичная квадратурная формула имеет вид

Zb f(x) dx =	n	ckf(xk) + Rn;
	X

ak=1

где xk – узлы, ck – весовые коэффициенты, Rn – остаточный член квадратурной формулы. В реальных вычислениях остаточный член не учитывается; в справочнике квадратурная формула сопровождается оценкой

35

его величины для определенного класса функций. Это позволяет приближенно оценить точность, с которой вычислен интеграл, в зависимости от числа n членов в сумме, стоящей в правой части квадратурной формулы.

Приведем примеры квадратурных формул.

Формула прямоугольников получается делением отрезка интегрирования на n равных частей длины h = (b ¡ a)=n точками деления xk = a + kh; k = 0; 1; : : : n и заменой значений функции f(x) на каждой части постоянным значением f(xk¡1) или f(xk). В результате площадь под кривой y = f(x) заменяется суммой площадей прямоугольников и для подсчета интеграла получается формула

Zb Xn¡1

f(x) dx = h f(xk) + R;

ak=0

в первом случае, и

Zb f(x) dx = h	n	f(xk) + R;
	X
a	k=1
во втором.

Формула трапеций Формула трапеций получается, если на каждой части, полученной

делением отрезка, функция f(x) заменяется линейной функцией. Она имеет вид

Zb

h

f(x) dx = 2 [f(x0) + 2f(x1) + ¢ ¢ ¢ + 2f(xn¡1) + f(xn)] + R;

a

Формула Симпсона Формула Симпсона, или парабол, получается, если на каждых двух

соседних частях функция заменяется параболой, а затем интеграл получается суммированием результатов интегрирования этих парабол. Формула Симпсона имеет вид

Zb

h

f(x) dx = 3 [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + : : :

a

+ 2f(xn¡2) + 4f(xn¡1) + f(xn)] + R;

Все три формулы тем точнее, чем больше взято узлов n. При одном и том же n вторая формула точнее первой, а третья еще точнее, и поэтому наиболее употребительна. Недостатком е¸ по сравнению с формулой прямоугольников является усложнение вычислений.

36

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ

37

Таблица 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

f(x)	f0(x)			f(x)						f0(x)
xn	nxn¡1			tgx						1
							cos2 x
ex		ex		ctg x	¡					1
									sin2 x
ax	ax ln a			arcsinx		p				1
							1			¡ x2
ln x	1			arccosx	¡	p				1
		x
							1			¡ x2
loga x		1		arctg x						1
		x ln a			1					+ x2
sin x	cos x			arcctgx	¡					1
							1			+ x2
cos x	¡ sin x

38

Таблица 2

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

	f(x)			f0(x)
f(g(x))				f0g0
u(x)v(x)				u0v + uv0
u(x)				u0v ¡ uv0
	v(x)			v2

Таблица 3

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.

Z

x® dx =

x®+1

+ C; ® 6= ¡1

® + 1

2.

Z

1

dx = ln jxj + C

x

3.

Z

1

dx = arctg x + C

1 + x2

4.

Z

1

dx

x

C

p1 ¡ x2

= arcsin

+

ax

5.

Z

ax dx =

+ C

ln a

6.

Z

ex dx = ex + C

7.

Z

sin x dx = ¡ cos x + C

8.

Z

cos x dx = sin x + C

9.

Z

1

dx = ¡ ctg x + C

sin12 x

10.

Z

dx = tg x + C

cos2 x

39

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

40