- •Матанализ Конспект лекций
- •Лекция №1 Тема: Введение
- •Окрестности.
- •Модуль и основные неравенства.
- •Функция. Монотонность. Ограниченность.
- •Монотонные последовательности
- •Лекция №3 Тема: Последовательности Бесконечно малые последовательности
- •Свойства бесконечно малой последовательности.
- •Теоремы о пределах числовых последовательностей.
- •Лекция №4 Тема: Бесконечно большие последовательности .
- •Бесконечно большие последовательности.
- •Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
- •Основные теоремы о существование предела последовательности.
- •Лекция №6 Тема: Замечательные пределы Теорема
- •Первый замечательные пределы.
- •Односторонние пределы. Определение
- •Определение
- •Второй замечательный предел.
- •Лекция №7 Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.
- •Шкала бесконечности.
- •Показательные бесконечности.
- •Логарифмическая бесконечность
- •Основные эквивалентности.
- •Лекция №8 Тема: «Асимптотические формулы»
- •Непрерывность некоторых функций.
- •Лекция №9 Тема: «Точки разрыва»
- •Классификация точек разрыва функции.
- •Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •Теоремы Вейштрасса.
- •Лекция №10 Тема: «Коши, производные»
- •Разность значений функций.
- •Обозначения:
- •Физический смысл производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Основные теоремы о производной.
- •Лекция №11 Тема: «Производные, дифференциал»
- •Дифференциал функции.
- •Гиперболические функции.
- •Лекция №12 Тема: «Линеаризация» Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.
- •Линеаризация функции.
- •Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.
- •Погрешности вычисления.
- •Изучение поведения функции при помощи первой производной.
- •Экстремумы функции.
- •Лекция №13 Тема: «Экстремумы»
- •Производная функции высшего порядка.
- •Лекция №14 Тема: Производная функции высшего порядка.
- •Правила Лопиталя.
- •Формулы Тейлора.
- •Свойства многочлена Тейлора.
- •Формула Тейлора с остаточным членом пеано.
- •Лекция №15 Тема: Пять основных разложений
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.
- •Лекция №17 Тема: Асимптоты. Полное исследование функции. Асимптоты.
- •Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.
- •Полное исследование функции.
- •Лекция №18
- •Оценка скорости сходимости.
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn
- •Вектор функция. Параметрическая производная.
Непрерывность некоторых функций.
1) y=c (постоянная) непрерывна в х0 R lim c=c. Зададим ε>0 рассмотрим разность f(x)-f(x0)=c-c=0<ε
xx
x: x-x0< (>0)!
2) y=x непрерывна в x0R, то есть lim x=x0. Зададим ε>0 рассмотрим разность f(x)-f(x0)=x-x0<ε
xx
x: x-x0< (>0)! =ε!
Следствие.
Многочлен p(x)=anxn+ an-1xn-1+…+a1x+a0
(an,an-1…a1,a0 – зададим число)
n=0,1,2,3…. непрерывен в любой точки х0 оси как сумма произведения непрерывной функции. Рациональная функция:
R(x)=p(x)/q(x). Частная двух многочленов непрерывна в любой точки х0 в которой q(x)0
Лекция №9 Тема: «Точки разрыва»
1) Доказать, что lim [((1+x)p-1)/px]=1
x0
y=(1+x)p-1
lim [((1+x)p-1)/px]= x0 y0 =lim ([ln(1+x)]/x)([(1+x)p-1]/[pln(1+x)]=lim ([ln(1+x)]/x)
x0 (1+x)p=y+1 x0 x0
p[ln(1+x)]=ln(y+1)
lim([(1+x)p-1]/[pln(1+x)]=lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать (1+x)p-1~px при x0
x0 y0 (1+x)p=1+px+o(x) при х0
2) Доказать, что lim (ex-1)/x=1
x0
y=ex-1
lim (ex-1)/x= x0 y0 =lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать
x0 ex=y+1 y0
x=ln(y+1)
ex-1~x при x0
ex=1+x+o(x) при х0
Классификация точек разрыва функции.
Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х0), а в самой точке х0 может быть как и определена, так и неопределенна.
1) Точка х0 называется точкой разрыва 1ого рода функции, если
а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’ , но либо функция неопределенна в точки х0 либо f(x0)b. Тогда точка х0
xx+0 xx-0
точка устранимого разрыва.
1,x=1
Y=(x-1)/(x-1)=
Не , x=1
б) f(x)=cb
Можно доопределить или переопределить в точке х0, так что она станет непрерывной.
lim f(x)=b; lim f(x)=c, но bc
xx+0 xx-0
Может быть и определена f(x0)=b
Или f(x0)=d
2)Точка х0 называется точкой разрыва 2ого рода функции если она не является точкой разрыва 1ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
y=sin(1/x)
Основные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения.
Определение: (функции непрерывной на отрезке)
y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке х(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b).
xx+0 xx-0
Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.
Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)
Пусть y=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0 (f(x0)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х0)
Доказательство: lim f(x)=f(x0) ε>0 >0 x: x-x0< f(x)-f(x0)|<ε.
xx
Пусть f(x0)>0, выберем ε=f(x0) f(x)-f(x0)<f(x0) xO(x0) (>0!)
-f(x0)<f(x)-f(x0)<f(x0); f(x)>0 xO(x0), если f(x0)<0, то ε=-f(x0)
Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)
Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда x0(a,b): f(x0)=0
Доказательство:
f(b)>0 f(a)<0
Разделим отрезок [a,b] пополам. Если в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д.
[a,b][a1,b1][a2,b2]
Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a<a1<a2<…<an<…<b
bb1b2…bn…>a
{an}-ограниченная не убывающая lim an=b f(a)<0 f(an)<0 n
x+ [anbn]=(b-a)/2n 0 при n
{bn}-ограниченная не возрастающая lim bn= f(b)>0 f(bn)>0 n
x+
В силу непрерывности функции lim f(an)=f (lim bn)=f()0 lim (bn-an)=-= lim (b-a)/2n=0=
x+ x+ x+ x+
f()0
f()=0 x0=
f()=f()0
Условие непрерывности функции нельзя отбросить: f(b)>0; f(a)<0