Лекция №17 Тема: Асимптоты. Полное исследование функции. Асимптоты.

1. Вертикальные

1. Пусть функция f(x) определена в, тогда прямая х=х₀называется правой вертикальной асимптотой для функцииf(x)

2. Пусть функцияf(x) определена в, тогда прямая х=х₀называется левой вертикальной асимптотой для функцииf(x)

2. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в, тогда прямаяy=kx+bназывается правой наклонной асимптотой для функцииf(x). (Еслиk=0, то говорят, чтоy=b– горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в, тогда прямаяy=kx+bназывается левой наклонной асимптотой для функцииf(x).

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+) и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать пределlim(f(x)), чтобы выяснить поведение

^х+

функции на бесконечности.

Полное исследование функции.

1. Область определения

2. Симметрия и периодичность

3. Вертикальные асимптоты

4. Наклонные асимптоты

5. Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, аf(x) существует

6. Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либоf’’(x) не существует, ноf’(x) существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости

7. Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если можно)

Пример:

1. Область определения D:x¹3

2. Функция не симметрична и не периодична

3. 

Þх=3 правая и левая вертикальная асимптота

4)

Þy=0 правая и левая горизонтальная асимптота

5)

критическая точка х₁=-3/2

f(-3/2)=4/243

6)

критическая точка х₂=-3

f(-3)=1/72

7)x=0 y=0

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

1) Метод хорд

а) f(x),f’(x),f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]

б) f(a)f(b)<0

в) f’(x) иf’’(x) – сохраняют знаки на отрезке [a,b]

f()=0;A(a;(f(a)),B(b;f(b))

Лекция №18

Оценка скорости сходимости.

2

2) Метод касательных (метод Ньютона)

f(x)=0

1)f(x),f’(x),f’’(x)-непрерывна на [a,b]

2)f(a), f(b) <0

3)f’(x),f’’(x) – сохраняет знак на [a,b]

точка пересечения х₁ – это точка пересечения касательной с осью Ох

Y_кас=0, x=x₁

0=f(b)+f’(b)(x₁-b)

f’(b)b-f(b)=f’(b)x₁

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn

c – лежит между х и х_n

Положим x=; f()=0

M>0:|f”(x)|M

x[a,b] m>0:|f’(x)|m;x[a,b]

Надо выбирать отрезок так b-a<1

|f”(x)|M

Вектор функция. Параметрическая производная.

По закону (1) ставиться в соответствие вектор r(t). (x(t),y(t) – заданные числовые функции

r(t) – вектор функция. Кривая описываемая концом вектора – называется годографом.

t	0	1	-1	2	3	½
x(t)	0	1	-1	2	3	½
y(t)	0	0	-2	-2	-6	1/4
r(t)	0	i	-i-2j	2i-2j	3j-6j	1/2i+1/4j

Видим, что кривые на плоскости можно задать в виде:

Называется параметрическое задание кривой, где t –параметр

x²+y²=r²

Остроида

x^2/3+y^2/3=a^2/3

Циклоида

1На концах отрезка [a,b] и на концах принимает значение разных знаков

2(x-x₀)-бесконечно малое при хх₀

1x0

1(∆x) – бесконечно малое при∆х0, а(∆x)∆х – есть о∆х

1Y– ордината касательной

a–x-x₀=∆x

1∆-погрешность вычисления.

Т^еорема–Еслиf(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), тос(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

1(x-x₀)=∆x

1^{Теорема}– Еслиf(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), тос(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

I^I–g’(c₁)=0 по условия теоремы

I^II– (b-a)=0

4- Теорема (Ролля): Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда  с(a,b): f(c)=0

10((x-x₀)ⁿ)(x-x₀) – остаточный член в форме пеано

iⁱ(х-х₀) – бесконечно малое при хх₀

* o’1 x²ⁿ⁺²=xx²ⁿ⁺¹=o(x²ⁿ⁺¹⁾

#- остаточный член в форме Лангранджа

$-T_n(x) – многочлен Тейлора

R_n(x)-остаточный член в форме Лангранджа