Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)a_n- бесконечно большая  1/a_n – бесконечно малая

2)_т – бесконечно малая, _n0 (n>N₀) 1/_n – бесконечно большая

Доказательство:

1)a_n- бесконечно большая  lim a_n=  для достаточно больших номеров n a_n0. Зададим любое сколько

^n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N₁:n>N₁ a_n>ε, то есть a_n>1/ε N=max{N₁;N₀}

Тогда n>N  1/a_n<ε, то есть lim 1/a_n=0, то есть 1/a_n – бесконечно малое

^n+

2)_n – бесконечно малое lim _n=0

^n+

Дано: _n0, n>N₀ зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N₁:n>N₁ _n<ε=1/ε

N=max{N₀;N₁}: n>N  1/_n=, то есть 1/_n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть a_n- ограниченная и моннатонна. Тогда  lim a_n=а<

^n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.

Лекция №5

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)ⁿ=1/e e=2,7183

^n+

0a_n=1-1/n1 nN, то есть a_n=(1-1/n)ⁿ- ограниченна.

ⁿ⁺¹a_n=ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ1=ⁿ⁺¹(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

ⁿ⁺¹(1-1/n)ⁿ<1-1/n+1

(1-1/n)ⁿ<(1-1/n+1)ⁿ⁺¹

a_n<a_n+1 nN  последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)ⁿ – имеет конечный предел

lim(1-1/n)ⁿ=1/e

^n+

Следствие

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

lim1/(1+1/n)ⁿ=(n/n+1)ⁿ=[1-1/(n+1)]ⁿ⁺¹/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

^n+

lim[1/(1+1/n)ⁿ]=1/e

^n+

lim(1+1/n)ⁿ=e

^n+

Определение под последовательности

Пусть дана a_n зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n₁<n₂<n₃<…<n_k<….

a_n1,a_n2,…,a_nk,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

a_n=(-1)ⁿ

{a_n}={-1;1;-1;1….}

n₁=2;n₂=4,….,n_k=2k

{a_nk}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность a_n сходится, тогда последовательности

 lim a_n=a {a_nk} – гас и lim

^n+

lim a_nk=0

^n+

Доказательство так как a_n – сходиться, то ε>0 N: n>N  a_n-a<ε

a_nk; n_k>N то есть a_nk-a<ε

Пример

a_n=(-1)ⁿ – не имеет предела

{a_2n}={1,…,1,…,}

{a_2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O(x₀). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх₀ если ε>0  >0

x:0<x-x₀< f(x)-b<ε

lim f(x)=b

^xx_

Через окрестности это определение записывается следующим образом

ε>0 >0 x0_(x₀)f(x)0_ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx₀.

^xx_

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу  а.

f(x)=x-1

1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1

^x1

2.x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2

^x1

Пример

f(x)=2x+1 x1

Докажем lim(2x+1)=3

^x1

ε>0 >0 x:0<x-1< (2x+1)-3<ε

(2x+1)-3<ε

|x-1<ε/2

x1

Положим =ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)(x);(x) – бесконечно малое xx₀  (x)+(x) – бесконечно малое при xx₀

2)(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

3)Если f(x) – ограниченна в O(x₀) и (x) – бесконечно малое при xx₀, то f(x);(x) – бесконечно малое при xx₀

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O(x₀), то  С>0: xO(x₀)|f(x)C;

Так как (x) – бесконечно малое при хх₀, то ε>0 >0 x: 0<x-x₀<  (x)<ε ε₁>0

Положим ε=ε₁/c

>0 x: 0<x-x₀|< f(x)(x)=f(x)a(x)<Cε=ε₁ lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx₀

^xx_