2.6. Динамические характеристики механической системы с подвешенным грузом

Необходимость рассмотрения механической системы как двухмассовой может возникнуть не только при наличии в кинематической схеме упругих элементов, но и в том случае, когда механическая система включает в себя груз, подвешенный на канате. Рассмотрим такую систему на примере механизма поворота башен-ного крана. Груз массойm (рис.2.12) подвешен через шкив А на канате длиной Н. Стрела крана длиной R вращается в горизонтальной плос-кости. При разгоне стрелы груз будет отставать от вращательного движения стрелы, при замедлении – опережать стрелу. При равномерном движении стрелы груз будет совершать коле-бательные движения. При останове стрелы груз будет раскачиваться, что неблагоприятно сказывается на управлении краном. Во избежание этого явления в системе управления приводом поворота крана предусматриваются специальные меры (см.главу 27).

Для описания движения механической системы, показанной на рис.2.12, воспользуемся методом, изложенным в предыдущем параграфе.

Функция Лагранжа для данной системы будет

Здесь - момент инерции крана,

- угловая скорость вращения стрелы крана,

- угловая скорость колебаний каната относительно точки А,

- линейная скорость груза (касательная по отношению к окружности его вращения).

Полагая , найдем

(2.30)

Так как груз совершает движение в двух координатах: вращательное относительно вертикальной оси крана и колебательное относительно вертикальной линии отвеса каната, то нужно составить два уравнения Лагранжа для каждой из координат.

Найдя частные производные:

и подставив их в уравнение (2.21) получим систему из двух дифференциальных уравнений, описывающих движение груза.

(2.31)

Здесь М – момент на валу механизма поворота стрелы;

М_С- момент сопротивления движению стрелы.

Поскольку , то, решив систему (2.31) относительноα, получим

(2.32)

- период колебаний груза, подвешенного на канате.

41