Вища Математика для Економістів

																									dt																						dt
													t 1							2					1							2														4t 2		1
																														2						3
																				t						t 2								t
	1				dt							1					t				t		2						1			C				1								1					1					2	1		C
															ln																								ln
	2											2																	4											x 1															4
				t	2		1																														2												x 1
							4
														1										2								x 2 2x 3												C .
																				ln
																																2 x 1
														2
		3)		I									3x 2																dx .
								x 1
															x 2 3x 3
		Записавши											чисельник																		підінтегральної функції																							у			вигляді
3x 2 3 x 1 1 , одержимо																													3 x 1 1
																I																									dx .
																						x 1
																																	x 2 3x 3

Представимо даний інтеграл як різницю з двох інтегралів:

dx

dx

I 3

.

x 1

x 2 3x 3

x 2 3x 3

До першого інтегралу застосуємо формулу 21, а до другого –

підстановку x 1 1/t :

dt /t 2

3

I 3 ln

x

x 2 3x 3

2

1

1

2

1

1

3

1 3

t

t

t

3

dt

3 ln

x

x 2 3x 3

3

2

1

t 2 t 1

t

C

ln

3 ln

x

x 2 3x 3

t 2 t 1

2

2

3

1

1

x 2 3x 3

C .

3 ln

x

x 2 3x 3 ln

2

x 1

2

x 1

312

5. Інтеграли виду

Pn x dx

, де Рп

(х) – многочлен п-го

ступеня.

ax 2 bx c

Інтеграл такого виду знаходиться за допомогою тотожності

Pn x

dx Qn 1 x

dx

ax 2 bx c

,

ax 2 bx c

ax 2 bx c

де Qn 1 x багаточлен

n 1 -го ступеня

з невизначеними

коефіцієнтами,

λ - число.

Диференціюючи зазначену тотожність приведемо результат до загального знаменника, тоді одержимо рівність двох багаточленів, з якої можна визначити коефіцієнти багаточлена Qn 1 x та число λ.

Приклади 11. Знайти інтеграли

1)

x 3 2x 2 3x 4

dx .

x 2 2x 2

Тут п=3, тоді відповідна тотожність має вигляд

x 3

2x 2 3x 4

dx

dx

b0x

2

b1x b2

x

2

2x 2

.

x 2 2x 2

x 2 2x 2

Диференціюючи обидві його частини, одержуємо

x 3 2x 2 3x 4

dx 2b

0

x b

x 2 2x 2

x 2 2x 2

1

b0x 2 b1x b2

x 1

1

.

x 2 2x 2

x 2 2x 2

Звільняємося від знаменника:

x 2 2x 2 3x 4 2b0x b1 x 2 2x 2 b0 x 2 b1x b2 x 1 ,

або

5b

2b x 2

4b

x

2b b

.

x 3 2x 2 3x 4 3b

0

x 3

0

3b b

2

2

1

0

1

1

Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, одержимо

313

3b0

1,

5b0 2b1

2,

4b0 3b1 b2 3,

2b1 b2 4.

Розв’язуючи

систему,

знайдемо

b0 1/3, b1

1/6, b2

7/6, 5/2 . Отже,

x 3 2x 2

3x 4

1

1

7

2

2

dx

x

x

x

2x 2

x 2

2x 2

3

6

6

5 ln x 1 x 2 2x 2 C. 2

6.Інтеграли від диференціальних біномів xm a bxn p dx ,

де m, n, p - раціональні числа. Як довів П. Л. Чебишев, інтеграли від диференціальних біномів виражаються через елементарні функції тільки в трьох випадках:

1) р – ціле число, тоді даний інтеграл зводиться до інтегралу від

раціональної				функції				за допомогою підстановки		x t 2 ,	де s –
найменше загальне кратне знаменників дробів m та n;
2) m 1 /n -								ціле число, у цьому випадку даний інтеграл
раціоналізується за допомогою підстановки a bxn t s ;
3) m 1 /n p								- ціле число, у цьому випадку до тієї ж мети
призведе підстановка ax n b ts , де s – знаменник дробу р.
Приклади 12. Знайти інтеграли
1)				dx
							.
			4			110
		x			x
Підінтегральну								функцію можна	записати у		вигляді
		10		, тобто				p 10 ціле число.	Виходить,	маємо перший
x1/2 x1/4 1

випадок інтегрування диференціального бінома. Тому варто

застосовувати підстановку						x t 4 ; тоді			dx 4t 3 dt та шуканий
інтеграл приймає вигляд
			dx				4t 3dt	4		t dt
											.
			4		110		t 2 t 1 10			t 1 10
		x		x

314

Останній інтеграл знаходиться таким чином:

		t dt							t 1 1				dt				dt							dt
	10								10							t	9						t			10
	t 1								t 1								1							1
t 1 9 d t 1 t 1																	1							1				C .
																			8							9
																8 t 1							9 t 1
Таким чином,
				dx									1						4						C .
				4		110					2 4				1 8			9 4				1 9
			x		x									x						x

x 3dx

2) a 2 x 2 a 2 x 2 .

Переписавши підінтегральну функцію у вигляді x 3 a2 x 2 3/2 ,

маємо m 3, n 2, p 3/2 . Тому що m 1 /n 3 1 /2 2 ціле число, то має місце другий випадок інтегрування. Використовуючи

підстановку

a 2 x 2

t 2 ,

одержимо

2x dx 2t dt,

x dx t dt, x 2 a 2 t 2 . Отже,

3

2

2

3 /2

2

2

3

a2

t 2

x

a

x

dx

a

t

t

t dt

dt

t

2

dt a2

dt

t

a 2

C

t 2 a 2

C

2

a2 x 3

C .

2

t

t

a2 x 2

t

3)

dx

.

x

1 x 2

Тут

m 4, n 2,

p 1/2

і

m 1 /n p 4 1 /2 1/2 2 ціле число.						Тому має місце третій
випадок	інтегрування			диференціального		бінома. Покладемо
x 2 1 t 2 ;	тоді 2x 3dx 2t dt, x 3dx t dt .					Перетворимо даний
інтеграл у такий спосіб:					x 4 1 x 2
	I		dx			dx
					1/3
		x 4	1 x 2

315

x 4 x 2 x 2

1/2

1/2

x 3dx .

1

dx x 2 x 2

1

Отже,

I t 2 1t 1 t dt t 2 1dt t

t 3

x 2 1 3

C

x 2 1

C

3

3

2x 2 1

1 x 2 3

1 x 2

C

1 x

2

C .

3x 3

3x 3

x

Інтегрування тригонометричних функцій

1. Інтеграли виду R sin x, cos x dx , де R – раціональна

функція. Інтеграли зазначеного виду приводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою так називаної універсальної

тригонометричної

підстановки

tg x /2 t .

У результаті

цієї

підстановки маємо:

2tg x /2

2t

1 tg2 x /2

1 t 2

sin x

;

cos x

;

1 tg2 x /2

1 t 2

1 tg2 x /2

1 t 2

x 2 arctg t;

dx

2dt

.

Приклади 13. Знайти інтеграли

1 t 2

1)

dx

.

4 sin x 3 cos x 5

Підінтегральна

функція

раціонально

залежить

від sinx

й

cos x ;

застосуємо

підстановку

tg x /2 t ,

тоді

sin x

2t

,

1 t 2

cos x

1 t 2

,

dx

2dt

та

1 t 2

1 t

2

2dt

dx

1 t 2

4sin x 3 cos x 5

2t

1 t 2

4

3

5

1 t 2

1 t 2

2

dt

dt

1

C .

2t

2

2

t 2

8t 8

t 2

316

cos 2x

Повертаючись до минулої змінної, одержимо

dx

1

C .

4sin x 3 cos x 5

tg x /2 2

2)

dx

.

a 2

b2 a2 b2 cos x

Покладемо tg x /2 t , тоді одержимо

dx

2 dt

1 t 2

a 2

b2 a 2

b2 cos x

2

2

2

2

1 t 2

a

b

a

b

1 t 2

2

dt

dt

a2 b2 1 t 2 a2 b2 1 t 2

a2t 2 b2

1

d at

1

at

1

a

x

arctg

C

arctg

tg

C .

a

2

b

2

2

at

ab

b

ab

b

Універсальна підстановка tg x /2 t в багатьох випадках приводить до складних обчислень, тому що при її застосуванні sinx

та cos x виражаються через				t у	вигляді	раціональних дробів, що
містять t 2 .
У	деяких		випадках		знаходження		інтегралів	виду
R sin x, cos x dx може бути спрощено.
1.	Якщо	R sin x, cos x			непарна	функція відносно sin x,
тобто	якщо	R sin x, cos x			R sin x,	cos x ,	то	інтеграл

раціоналізується підстановкою cos x t .

2.Якщо R sin x, cos x непарна функція відносно cos x, тобто якщо R sin x, cos x R sin x, cos x , тоді інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки sin x t .

3.Якщо R sin x, cos x парна функція відносно sin x й cos x,

тобто якщо R sin x, cos x R sin x,cos x , тоді доцільно застосувати підстановку tg x t .

Приклади 14. Знайти інтеграли

1) sin x sin3 x dx .

317

Оскільки підінтегральна функція непарна відносно синуса, тоді

покладемо

cos x t .

Звідси

sin2 x 1 t 2,

cos 2x 2 cos2

x 1 2t 2

1,

dt sinx dx . Таким чином,

sin x sin3

x dx

2 t 2 dt

t 2 2 dt

cos 2x

2t 2 1

2t

2

1

1

2t 2 4

dt

1

dt

3

dt

2

2t 2 1

2

2

2t 2 1

t

3

d t

t

3

t

1

C .

ln

2

2

2 2 2

2t 2 1 2 2 2

t

2 1

Отже,

sin x sin3

x dx

1

3

cos x 1

C .

cos x

ln

2

cos 2x

2

2 2

2 cos x 1

Відзначимо, що в розглянутому випадку інтеграл завжди може

бути записаний у вигляді R * sin2 x,

cos x sin x dx .

2)

cos2 x cos5 x

dx

.

sin

2

x sin

4

x

Тут підінтегральна функція є непарною відносно косинуса.

Тому

застосовуємо

підстановку

sin x t ;

тоді

cos2 x 1 sin2 x 1 t 2,

cos x dx dt . Отже,

cos3 x cos5

x dx

cos2

x 1 cos2 x cos x dx

1 t 2 2 t 2 dt

.

sin2

x sin4 x

sin2 x sin4 x

t 2

t 4

Оскільки

1 t 2 2 t 2

2

6

, то

t 2 1 t 2

1

t 2

1 t 2

1 t 2 2 t 2 dt

t

2

6 arctg t C .

t 2 1 t 2

t

Остаточно одержуємо

cos3 x cos5 x dx

2

arctg sin x C .

sin x

6

sin2

x sin4 x

sin x

318

Відзначимо, що в розглянутому випадку інтеграл завжди може

бути записаний у вигляді R * sin x,

cos2 x cos x dx .

3)

dx

.

sin

2

x

2 sin x cos x

cos

2

x

Підінтегральна

функція

парна відносно

синуса

та косинуса.

tg x 1;

sin x

tg x

t

Покладемо

тоді

;

1 tg2x

1 t 2

cos

1

1

; x arctg t; dx

dt

. Звідси

1 t 2

1 tg2x

1 t 2

dx

dt

1 t 2

t 2

2t

1

1

sin2 x 2sin x cos x cos2 x

1 t 2

1 t 2

1 t 2

1 t 2

dt

.

Далі, маємо

t 2

2t 1

d t 1

dt

ln

t 1

2

C .

t 2 2t 1

t 1 2

2

t 1

2

2

і, отже,

dx

1

tg x 1

C .

ln

2

sin2

x 2sin x cos x cos2 x

2 2

tg x 1

2

Відзначимо, що знаходження інтегралу можна спростити, якщо у вихідному інтегралі розділити чисельник і знаменник на cos2 x :

dx

dx

d tg x

cos2 x

.

sin2 x 2sin x cos x cos2

tg2x 2tg x 1

x

tg2x 2tg x 1

2. Інтеграли виду

sinm x cosn x dx .

Виділимо тут

два

випадки, що мають особливо важливе значення.

Випадок 1. Принаймні один з показників m або n – непарне додатне число.

Якщо n – непарне додатне число, то застосовується підстановка sin x t ; якщо ж m – непарне додатне число, - підстановка cos x t .

319

Приклади 15. Знайти інтеграли

1) sin4 x cos5 x dx .

Покладемо sin x t, cos x dx dt , тоді одержимо

sin4 x dx sin4 x 1 sin2 x 2 cos x dx t 4 1 t 2 2dt

					t 4dt 2 t 6dt t 8dt																1		t 5						2	t 7		1		t 9 C
																				5				7							9
												1				sin5 x	2		sin7	x						1		sin x C .
						5								7										9
	2)				sin3 x dx											.
					cos x3 cos x
	Маємо
	sin3	x dx					sin3									x cos 4/3			x dx					1 cos2							x cos 4/3 x sin x dx .
	cos x3 cos x
	Якщо cos x t, sin x dx dt , тоді отримаємо
					sin3 x dx											1 t 2 t 4/3dt t 4 /3dt t 2/3dt
				cos x3 cos x
										3									3						3
					3t 1/3						t 5/3 C																cos x 3 cos2 x C .
																								5
						5												3 cos x

Випадок 2. Обидва показники ступеня m й n - парні додатні числа. Тут варто перетворити підінтегральну функцію за допомогою формул

	sin x cos x					1	sin 2x,	(1)
		2
	sin2 x	1			1 cos 2x ,			(2)
		2
	cos2 x		1		1 cos 2x ,			(3)
		2

Приклади 16. Знайти інтеграли

1) sin2 x cos2 x dx .

З формули (1) витікає, що

sin2 x cos2 x	1		1 cos 4x		1	1 cos 4x .
					8
4		2

320

Застосувавши формулу (2), одержуємо

sin2 x cos2 x dx	1		1 cos 4x		1	1 cos 4x .
	4				8
		2

Отже,

sin2 x cos2 x dx 18 1 cos 4x dx

	1	dx	1	cos 4x	dx	1	x	1	sin 4x C .
						8		32
8		8

2) cos6 x dx .

Використовуючи формулу (3), одержимо

											6																2					3												1 cos													2x					3
							cos								x dx							cos							x						dx																											dx
																																																					2
									1					1 3 cos 2x 3 cos2 2x cos3																																										2x dx
							8
				1	dx						3						cos					2x dx								3			cos2											2x dx												1			cos3				2x dx
			8																											8																										8
											8
																	1		x				3		sin 2x													3				1 cos 4x																dx
																	8					16																8						2
								1		1 sin2 2x cos																						2x dx													1		x							3					sin 2x
																																																					16
							8										3									3																		8					1
																					dx							cos 4x dx																									cos 2x dx
																	16
																						16																						8
																	1			sin2 2x							1		d sin													2x						1		x									3	sin 2x
																	8																																								16
													3										3				2										1							8									1
																		x							sin 4x																	sin 2x																sin3 2x C
																						64																															48
											16																								16
																	5			x			1	sin 2x												3						sin 4x											1					sin3 2x C .
															16																				64																		48
																						4
		3)	sin2 x cos4 x dx .
	2					4											sin x cos x													2									2														1									2 1 cos 2x
sin		x cos					x dx																									cos										x dx														sin 2x									dx
																																																															2
																																																		2
												1					sin2 2x dx														1				sin2									2x cos 2x dx
											8																			8

321