Вища Математика для Економістів

Завдання 5. Обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями в прямокутній системі координат.

1.	y ln x,			3	x 15.
3.	y 1 x2			arcsin x,					0 x 7 9.
5.	y lncos x,					0 x 6.
	y 2 arcsin						x x2 ,
7.						x
	1 4 x 1.
9.	y 1 x2			arccos x,					0 x 8 9.
11. y 2 ch x,						0 x 1.

13. y ex 13, ln15 x ln 24.

2. y		x2			ln x			,			1 x 2.
							2
	4		5
4. y ln						,					x
									3					8.
			2x
6. y ex 6,							ln				8		x ln			15.
8. y ln x2 1 ,												2 x 3.
10.	y ln 1 x2 ,												0 x 1 4.
12.	y 1 lncos x,												0 x 6.

14.y arccos x x x2 , 0 x 14.

y 2 ex ,

15.

ln

3 x ln 8.

17.

y 1 lnsin x,

3 x 2.

y

x x2

arccos

5,

19.

x

1 9 x 1.

21.

y lnsin x,

3 x 2.

23.

y ch x 3,

0 x 1.

25.

y lncos x 2,

0 x 6.

27.

y

ex e x

3,

0 x 2.

2

29.

y

ex e x 3

,

0 x 2.

4

16.y arcsin x 1 x2 , 0 x 1516.

18. y 1 ln x2 1 ,

3 x 4.

20.y arccos x 1 x2 1, 0 x 916.

22. y ln7 ln x,

3 x 8.

24.y 1 arcsin x 1 x2 , 0 x 34.

26. y ex 26, ln8 x ln 24.

28.y arccos x x x2 4, 0 x 12.

30. y ex e,
	ln 3 x ln 15.

Завдання 6. Обчислити довжини дуг кривих, заданих параметричними рівняннями.

	x 5	t sint ,				x 3	2cost cos2t ,
1.				,	2.			2sint sin2t		,
	y 5	1 cost				y 3
		0 t .						0 t 2 .

392

x 4 cost t sint ,

3. y 4 sint t cost , 0 t 2 .

x 10cos3 t,

5. y 10sin3 t, 0 t 2.

x 3 t sint ,

7.y 3 1 cost ,

t 2 .

x 3 cost t sint ,

9. y 3 sint t cost , 0 t 3.

x 6cos3 t,

11. y 6sin3 t, 0 t 3.

x 2,5 t sint ,

13. y 2,5 1 cost ,

2 t .

x 6 cost t sint ,

15. y 6 sint t cost , 0 t .

x 8cos3 t,

17. y 8sin3 t, 0 t 6.

x 4 t sint ,

19.y 4 1 cost ,

2 t 2 3.

x t2 2 sint 2t cost,

4.y 2 t2 cost 2t sint,

0 t .

x et cost sint ,

6. y et cost sint , 0 t .

			1			1
	x			cost					cos 2t,
			2			4
	8.		1			1
	y			sint				sin2t,
			2			4
					2 t		2 3.

x t2 2 sint 2t cost,

10.y 2 t2 cost 2t sint,

0 t 3.

x et cost sint ,

12.y et cost sint ,

2 t .

x 3,5 2cost cos2t ,

14. y 3,5 2sint sin2t , 0 t 2.

x t2 2 sint 2t cost,

16.y 2 t2 cost 2t sint,

0 t 2.

x et cost sint ,

18. y et cost sint , 0 t 2 .

x 2 2cost cos2t ,

20. y 2 2sint sin2t , 0 t 3.

393

	x 8	cost t sint ,
21. y 8		sint t cost ,
			0 t		4.
			3	t,
	x 4cos
23. y 4sin3 t,
	6 t 4.
	x 2	t sint ,
25.						,
	y 2	1 cost
	0 t		2.
	x 2	cost t sint ,
27. y 2		sint t cost ,
			0 t		2.

x 2cos3 t,

29.y 2sin3 t, 0 t 4.

x t2 2 sint 2t cost,

22.y 2 t2 cost 2t sint,

0 t 2 .

x et cost sint ,

24. y et cost sint , 0 t 3 2.

x 4 2cost cos 2t ,

26. y 4 2sint sin2t , 0 t .

x t2 2 sint 2t cost,

28.y 2 t2 cost 2t sint,

0 t 3 .

x et cost sint ,

30.y et cost sint ,

6 t 4.

Завдання 7. Обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями в полярних координатах.

1. 3e3 4 ,					2 2.				2. 4e4 3 ,				2 2.
3.			e ,		2 2.				4. 5e5 12,					2 2.
		2
5. 6e12 5 ,						2 2.			6. 3e3 4,				0 3.
7. 4e4 3 ,					0 3.				8.			e ,	0 3.
											2
9. 5e5 12,					0 3.				10.	12e12 5 ,				0 3.
11.	1 sin ,						2 6.		12.	2 1 cos ,
										2.
13.	3 1 sin ,							6 0.	14.	4 1 sin ,					0 6.
15.	5 1 cos ,							3 0.	16.	6 1 sin ,					2 0.
17.	7 1 sin ,								18.	8 1 cos ,
	6 6.									2 3 0.
19.	2 ,			0 3 4.					20.	2 ,			0 4 3.
21.	2 ,			0 5 12.					22.	2 ,			0 12 5.

394

23.	4 ,	0	3 4.	24.	3 , 0	4 3.
25.	5 ,	0	12 5.	26.	2cos ,	0 6.
27.	8cos ,		0 4.	28.	6cos ,	0 3.
29.	2sin ,		0 6.	30.	8sin ,	0 4.

Завдання 8. Обчислити об’єми тіл, обмежених поверхнями.

1.	x2				y2 1, z y, z 0																											y 0 .
	9
3.		x2							y2				z2 1, z 0, z 3.
			9					4
5.		x2							y			2					z2					1, z 1, z 0.
	16							9								4
7. z x2 9y2, z 3.
9.		x2							y			2					z2					1,				z 16.
			9					16								64
				x2								y2				1,								z y
11.																												3,
			3									4
			z 0										y 0 .
13.				x2								y2				z						2		1,		z 0,						z 2.
			81									25
15.				x2								y2						z2						1,		z 3,						z 0.
			16									9
																36
17.			z x2 5y2, z 5.
19.				x2								y2								z			2		1,						z 20.
			9									25
																100
				x2								y2					1,							z		y				,
21.			27									25
																										3
			z 0										y 0 .
						2				y2										2
23.			x												z								1,			z 0,						z 3.
												4

2. z x2 4y2, z 2.

		x2							y2						z2											z 12.
4.																				1,
			9					4						36
6.	x2 y2 9,
	z y, z 0																						y 0 .
8.		x2			y2 z2 1,																				z 0, z 3.
			4
10.				x2						y2							z			2			1,			z 2,			z 0.
			16
								9						16
12.			z 2x2 8y2,																						z 4.
14.				x2						y2								z		2			1,				z 12.
			4
								9						36
				x2						y2				1,									z y
16.																											3,
			3
								16
			z 0 y 0 .
18.				x2						y2				z					2				1,			z 0,			z 4.
			9
								4
20.				x2						y2								z		2			1,			z 4,			z 0.
			16
								9						64
22.			z 4x2											9y2,											z 6.
24.				x2							y2								z2						1,		z 20.
			25
								9						100

395

			x2		y2			z2		z 5,	z 0.
	25.								1,
		16			9		100

27. z 2x2 18y2, z 6.

			x2		y2		z2		z 16.
	29.							1,
		16			9		64

		x2				y2								1,
26. 27
								y												y 0 .
	z											, z 0
								3
28.			x2								y		2		z		2	1,			z 0,	z 2.
	25
								9
30.		x2							y2							z	2		1,		z 6,	z 0.
	16
								9					144

Завдання 9. Обчислити об’єми тіл, утворених обертанням фігур, обмежених графіками функцій, навколо осей Ох та Оу.

1. y x2 5x 6,										y 0.
3.y 3sin x,					y sin x,						0 x .
5. y sin2 x,					x 2,						y 0.
7. y x ex ,				y 0,						x 1.
9. y 2x x2,						y x 2.
11.	y x2,			y2 x 0.
13.	y 1 x2,					x 0,
	x	y 1,				x 1.
15.	y x2,			y						.
								x
17.	y arccos x						3 ,
	y arccos x,								y 0.
19.	y x2,			x 2,						y 0.
21.y						y 0,
		x 1,
	y 1,		x 0,5.
23.	y x 1 2 ,						y 1.
25.	y x3,			y x2.
27.	y arcsin x,
	y arccos x,								y 0.
29.	y x3,			y x.

2. 2x x2 y 0, 2x2 4x y 0. 4.

y 5cos x,				y cos x,				x 0,		x 0.
6. x 3								y 1.
		y 2, x 1,
8. y 2x x2,					y x 2,				x 0.
10.	y e1 x ,				y 0,			x 0,		x 1.
12.	x2 y 2 2 1.
14.	y x2,			y 1,			x 2.
16.	y sin x 2 ,						y x2.
18.	y arcsin x					5 ,
	y arcsin x,						y 2.
20.y x2 1,					y x,			x 0,		y 0.
22.	y ln x,				x 2,			y 0.
24.	y2 x 2,				y 0,
	y x3,		y 1.
26.	y arccos x					5 ,
	y arccos x					3 ,		y 0.
28.	y x2 2x 1,						x 2,		y 0.
30.	y arccos x,
	y arcsin x,						x 0.

396

Завдання 10. Дослідити збіжність невласних інтегралів та обчислити, якщо збігаються.

1.	xe 3xdx.
	0
4.	xe x dx.
				xdx
7.							.
			x	4	9
		3
						dx
10.									.
				x
			2			x 1
						dx
13.										.
				x		x 2 1
			1
16.			x sin xdx.
			0
19.			e x cosbxdx.
			0

xdx

22. .

1 (1 x)2

1

25. x lnxdx.

0

1

dx

28. 1(2 x )1 x 2 .

					x 2dx
2.													.
					6
	1	1 x
5.				ln x							dx.
	2							x
3									xdx
8.																		.
					(x				2						2
												1)
									xdx
11.																	.
															3
		0						(1 x)
14.		x 3e x2dx.
		0
17.		e x sin xdx.
		0
		arctgxdx
20.																			.
											x	2
		1
		3									dx
23.																				.
						x			2				4x 3
		0
	1/e										dx
26.																.
		0							x ln x
		1					x			2
29.														dx.
		1						5 x 3

dx

3. .

x 2 4x 5

dx

6. 1 (1 x)x .

dx

9. .

1 x 2 x 1

											dx
12.																		.
						x					x 2 1
		2
15.	xe x2 dx.
	0
									dx
18.															.
													4
	0				(1 x)
											dx
21.																.
							(x			2			2
													1)
	2								xdx
24.														.
	1								x 1
	5											x 2dx
27.																				.
									(x 3)(5 x )
	3

1 3x 2 2

30. dx.3

1 x 2

Завдання 11.

Знайти середнє значення витрат виробництва у грошових одиницях, якщо задана функція витрат С(х) та границі зміни обсягу випущеної продукції х від х1 до х2. Вказати обсяг продукції, при якому витрати набувають середнього значення.

1. C(x ) 6x 2 4x 1,		x1 0,	x2 5.
2. C(x ) 3x 2 4x 2,		x1 0,	x2 3.
3.	C(x) 3x 2 1/x,	x1 1,	x2 4,5.
4.	C(x) 15x x 2, x1	2, x2	10.

397

5. C(x) 2x 2 3x 8,			x1 3,		x2 5.
6.	C(x) x 2 /2 x 10,		x1 0,		x2 4.
7. C(x ) 3x 2 3x 4,			x1 0,		x2 2.
8. C(x ) a0 /x 2 b0x,			x1 1,		x2 5.
9. C(x ) x 2 3x 2,		x1 3,		x2 6.
10. C(x) 40 0,03x 2 ,			x1 0,		x2 100.

Визначити обсяг продукції, виробленої робітником за n-ту годину роботи, якщо продуктивність праці f (t) задана. Визначити середню продуктивність праці за 8-годинну зміну та вказати час, за який ця продуктивність досягається. Наприклад, n=2 означає час роботи від t=1 до t=2.

11.	f (t)	3		5,	n 5.
		3t 2
12.	f (t)	3		4,	n 3.
		4t 5

13.f (t) 100 10t, за перші дві години роботи.

14.f (t) 20 2t, за перші три години роботи.

10 t,n 1,

15.f (t) const f (2),n 2,...,8,

16. f (t) ln(1 t),

n 2.

10 2t,n 1,2,

17.f (t) const f (3),n 3,...,6,

t f (3),n 7,8,

n 2.

n 3.

Визначити дисконтований доход K грош. од. за t років, якщо процентна ставка і% і щорічні вкладення дорівнюють А1 грош. од., а початкові вкладення А0 грош. од. Відсотки нараховуються неперервно.

18.	t 10,	i 5%,	A		0		106 ,	A		105.
									1
19.	t 5,	i 6%,	A	0		105 ,		A	2 104.
								1
20.	t 4,	i 7%,	A	0		3 105 ,			A		105.
									1
21.	t 3,	i 4%,	A	0		2,5 105 ,				A		5 104.
											1
22.	t 2,	i 3,5%,		A		0	2 105 ,			A		4 104.
											1

Сумарна величина ресурсів для споживання визначається за

t

формулою Rt e tdt , де - середньорічний темп приросту ресурсів

0

398

споживання; t – час. Визначити сумарну величину ресурсів для споживання.

23.	2%,	t 5.	24.	3%,	t 10.
25.	2,7%,	t 4.	26.	1,9%,	t 6.
	Визначити вартість		витраченої	електроенергії, виробленої на

електростанції за час t, що відраховується від початку доби, якщо навантаження f (x) залежить від кількості годин роботи

електростанції. Вартість 1 квт. г. 15 коп.

27.f (x) 20xe x за першу годину роботи.

28.f (x ) 5x x за 10 годин.

29.f (x ) ln(1 x) за 5 годин.

30.f (x ) xe 2x за 3 години.

399

РОЗДІЛ X

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

§1. Звичайні диференціальні рівняння. Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь першого порядку

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежні змінні, їх функцію та похідні (диференціали) цієї функції. Якщо незалежна змінна одна, то рівняння називається звичайним, якщо незалежних змінних декілька, то рівняння називається диференціальним рівнянням у частинних похідних.

Найвищий порядок похідної (диференціала), що входить у рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння вигляду F x,y,y 0 , яке пов’язує незалежну змінну x ,

невідому функцію y y(x) та її похідну y . Якщо це рівняння можна розв’язати відносно похідної y , то маємо диференціальне рівняння першого порядку у вигляді: y f (x,y) .

Розв’язком диференціального рівняння першого порядку на інтервалі (a,b) називається диференційовна на цьому інтервалі функція y (x), яка перетворює це рівняння у тотожність по x на

(a,b).

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння.

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку в деякій області D на площині xOy називається функція

y(x,C), яка задовольняє такі умови:

1)функція (x,C) є розв’язком диференціального рівняння при

будь-якому значенні сталої C з деякої множини;
2) для довільної	початкової умови y(x0 ) y0	такої, що
(x0 ,y0 ) D , існує	єдине значення сталої C0 ,	при якому

розв’язок y (x,C0 ) задовольняє початкову умову. Частинним розв’язком диференціального рівняння першого

порядку називається функція y (x,C0 ), яка одержується із загального розв’язку фіксуванням деякого значення сталої.

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено у неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння (x,y,C) 0 , то такий розв’язок називається загальним інтегралом диференціального рівняння. Рівність (x,y,C0 ) 0 називають частинним інтегралом диференціального рівняння.

400

Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку – це задача відшукання розв’язку цього рівняння, що задовольняє початкову умову y(x0 ) y0 .

Теорема Коші – Пікара (достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Якщо у диференціальному

	рівнянні першого порядку y f (x,y)				функція f (x,y) та її частинна
	похідна	f		неперервні в області D	на площині	xOy , що містить
		y
	деяку точку			(x0 ,y0 ) , то існує єдиний розв’язок		цього рівняння

y (x), який задовольняє початкову умову y(x0 ) y0 .

Побудований на площині xOy графік деякого розв’язку y (x) диференціального рівняння першого порядку називається

інтегральною кривою	цього рівняння. Загальному розв’язку
y (x,C) на площині xOy	відповідає сім’я (сукупність) інтегральних

кривих, що залежать від одного параметра – довільної сталої C , а частинному розв’язку, який задовольняє початкову умову y(x0 ) y0 -

крива цієї сім’ї, що проходить через точку (x0 ,y0 ) . Теорема Коші – Пікара формулює достатні умови того, що через кожну точку (x0 ,y0 ) D проходить єдина інтегральна крива даного рівняння.

Особливим розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається такий розв’язок, у всіх точках якого умова єдиності не виконується, тобто в будь-якому околі кожної точки (x,y) особливого розв’язку існують принаймні дві інтегральні криві, що проходять через цю точку.

Особливі розв’язки не одержуються із загального розв’язка диференціального рівняння при жодному значенні довільної сталої C (в тому числі і при C ). Особливим розв’язком є обвідна сім’ї інтегральних кривих (якщо вона існує), тобто лінія, яка в кожній своїй точці дотикається принаймні до однієї інтегральної кривої.

Нехай задано сім’ю функцій, які залежать від параметра C : y (x,C), причому через кожну точку деякої області D площини xOy проходить лише одна крива цієї сім’ї. Це означає, що для кожної

пари (x,y) D визначається єдине значення	C	з рівняння сім’ї
функцій. Диференціюючи це рівняння по	x	та підставляючи

знайдене значення C , маємо диференціальне рівняння першого порядку, для якого задана сім’я функцій є загальним розв’язком.

Зазначимо, що інтегральна крива рівняння y f (x,y) в кожній точці матиме дотичну, кутовий коефіцієнт якої визначається значенням f (x,y). Сукупність трійок x,y, f (x,y) утворює так зване

401