Вища Математика для Економістів

Диференціюючи та підставляючи в початкове рівняння, одержимо:

0y A ch2xx B sh2x

1 y 2A sh2x 2B ch2x1 y 4A ch2x 4B sh2x

4A 2B ch2x 4B 2A sh2x ch2x ,

звідки A

1

,

B

1

. Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд

3

1

6

1

y C C ex

ch2x

sh2x .

1

2

3

6

Приклад

25.

Розв’язати

задачу

Коші

y

y tgx, y(0)

0, y (0) 1.

Характеристичне

рівняння k 2 1 0

має корені

k i .

1,2

Загальний

розв’язок

відповідного

однорідного

рівняння

y C1 cos x C2 sin x . Частинний

розв’язок

неоднорідного

рівняння

методом невизначених коефіцієнтів шукати

не можна, бо функція

f (x) має іншу структуру, відмінну від розглянутої вище, а тому скористаємося методом варіації довільних сталих. Будемо шукати розв’язок рівняння у вигляді: y C1(x)cos x C2(x)sin x .

Складемо систему для знаходження C1(x), C2(x) :

C1(x)cos x C2(x)sin x 0;

C1(x)sin x C2(x)cos x tgx,

звідки

			sin2 x				, C		(x) sin x ;
	C1(x)		cos x					2
	x
	C1(x) sin x lntg						C1,			C2(x) cos x C2 .
		2			4

Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд:

												x
y C1 cos x C2 sin x cos x lntg																				.
													2
																		4
Для розв’язання задачі Коші знаходимо:												x
y C1 sinx C2 cos x sinx lntg
													2
																4
x						2	x
cos x ctg					2cos						,
2			4				2			4

тоді

432

0 C1;				x
	1;	C1 0,	C2 2 ;	y 2sin x cos x lntg				.
					2
1 C2						4

§6. Фазові портрети диференціальних рівнянь першого порядку

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку вигляду

	dx	f (x) ,	(46)
	dt
де x(t) - невідома функція, t - незалежна змінна (час). Функція			f (x)

не залежить явно від t , тому рівняння (46) називається

автономним.

Зауважимо, що рівняння (46) описує динамічну дію деяких законів природи, які не змінюються у часі, тому нема явної залежності від t .

Припустимо, що f (x) неперервна і має неперервну похідну при всіх дійсних x . Тоді справджуються умови теореми Коші-Пікара,

отже,

через будь-яку точку t0 ,

x0 площини tOx

проходить одна і

лише

одна інтегральна

крива

рівняння (46).

Крім

того, якщо

x (t), t ( , )

- деякий розв’язок (46), а C - стала, то розв’язком

цього рівняння буде й x (t) (t C), C t C .

Дійсно,

d

(t)

d

(t C)

d (t C)

f (t C) f (t) ,

dt

dt

d(t C)

звідки d f (t) . Таким чином, сім’я інтегральних кривих рівняння dt

(46)є інваріантною відносно зсувів уздовж осі t .

Увипадку автономного диференціального рівняння першого порядку властивості його розв’язків зручно ілюструвати, аналізуючи рух точки x (t) по прямій Ox при зміні t . Пряму Ox при цьому

називають фазовою прямою, а траєкторією точки x (t) - фазовою траєкторією. Графічне зображення цих траєкторій називається фазовим портретом автономного диференціального рівняння першого порядку.

Зауважимо, що різні розв’язки мають фазові траєкторії; які не перетинаються або збігаються. Проекцією інтегральної кривої рівняння (46) на фазову пряму буде деяка фазова траєкторія, причому інтегральні криві x (t) і x (t c) мають одну й ту саму

фазову траєкторію.

Особливе місце на фазовій прямій Ox займають точки, що є нулями функції f (x) . Якщо f (a) 0 , то x a є розв’язком (46), який не змінює свого положення на фазовій прямій з часом. Тому нулі

433

функції f (x) називаються	точками (положеннями)			рівноваги
рівняння (46) або стаціонарними точками.
Аналізуючи знак f (x)	на інтервалах між точками рівноваги,
легко встановити напрям руху зображувальної точки x(t)				по фазовій
прямій: там, де f (x) 0 в	силу рівняння (46)	dx	0 ,	отже, x(t)
		dt

зростає при зростанні t , і навпаки. Напрям руху точки по фазовій прямій вказується стрілками.

Зазначимо, що характер точок рівноваги може суттєво відрізнятися. Якщо при малих відхиленнях від точки рівноваги (вліво чи вправо) зображувальна точка з ростом t наближається до положення рівноваги, то таке положення рівноваги називається стійким. Якщо найменше відхилення від точки рівноваги призводить до того, що зображувальна точка віддаляється від неї при зростанні t , то таке положення рівноваги називається нестійким. Можливий також третій тип точок рівноваги – точки пів-стійкої рівноваги. В цьому випадку при малому відхиленні від точки рівноваги в один бік зображувальна точка з ростом t наближається до положення рівноваги, а при малому відхиленні від точки рівноваги в інший бік зображувальна точка віддаляється від неї при зростанні t .

Приклад 26. Знайти фазовий портрет рівняння				x x .
Маємо f (x) x , тому задане рівняння має єдине положення
рівноваги x 0 .	Фазова	пряма складається з	трьох	траєкторій:
інтервалів , 0 ,	0,	і положення рівноваги	x 0 .	Якщо x 0 ,

то x 0 , і фазова точка рухається по фазовій прямій із зменшенням своєї координати при зростанні t . Якщо x 0 , то x 0 , і фазова точка рухається по фазовій прямій із збільшенням своєї координати при зростанні t . Тому положення рівноваги – нестійке. Фазовий портрет рівняння зображено на рис. 1.

0 x

Рис.1

Приклад 27. Знайти фазовий портрет рівняння x 1 x 2 .

З рівняння 1 x 2 0 маємо положення рівноваги x 1. Уданому випадку фазова пряма складається з п’яти траєкторій: інтервалів , 1 , 1, 1 , 1, і положень рівноваги x 1.

Якщо x 1	або x 1, то x 0 , і фазова точка рухається по фазовій
прямій із зменшенням своєї координати при зростанні		t . Якщо
1 x 1, то	x 0 , і фазова точка рухається по фазовій	прямій із

434

збільшенням своєї координати при зростанні t . Тому положення

рівноваги x 1		– нестійке,		а положення рівноваги x 1 –				стійке.
Фазовий портрет рівняння зображено на рис. 2.
			-1	1		x
	Приклад	28.		Рис.2
			Знайти		фазовий	портрет	рівняння
x x 2 3x 2 . Побудувати інтегральні криві рівняння.
x 2 .	З рівняння	x 2 3x 2 0 маємо положення рівноваги x 1 та
	Уданому	випадку		фазова	пряма	складається	з	п’яти
траєкторій: інтервалів			, 1 , 1, 2 ,		2,	і положень	рівноваги
x 1	та x 2 . Легко встановити, що положення рівноваги							x 1 є
стійким, а положення рівноваги x 2 – нестійким (рис. 3).
			1	2		x

Рис.3

Для

знаходження

інтегральних

кривих

рівняння

відокремлюємо змінні та інтегруємо його:

dx

(x 1)(x 2),

dx

dt,

x 2

t ln

C

x 2

Cet ,

ln

,

dt

(x 1)(x 2)

1

x 1

x 1

x 1

.

1 Cet

Якщо C 0 , то	маємо частинний розв’язок x 2 , якщо C , то -
x 1. При C 0	сім’я розв’язків не виходить за межі смуги x (1, 2),
При C 0 інтегральні		криві мають точку розриву другого роду і
лежать у областях x 1		або x 2 . На рис. 4 зображено представників

сімей інтегральних кривих при C 1.

435

y

C=1

2

C=-1

1

				C=1
|	|		|	|	x
-4	-2	0	2	4

Рис.4

§7. Системи звичайних диференціальних рівнянь

Нормальною системою диференціальних рівнянь

називається система рівнянь першого порядку вигляду

	dx1			f1 t, x1, x2,..., xn ,
dt
dx2				f2	t, x1, x2	,...,xn	,
	dt
							(47)
...		...			...	...	...
dxn				fn t, x1, x2 ,...,xn ,
	dt

де x1, x2 , ..., xn	- невідомі функції незалежної змінної t .
Розв’язком нормальної системи диференціальних рівнянь
називається	сукупність	функцій	x1(t), x2(t), ..., xn (t),	які

перетворюють кожне з рівнянь системи у тотожність.

Задача Коші для нормальної системи полягає у тому, щоб знайти розв’язок системи, який задовольняє початкові умови:

x1(t0 ) x10 , x2(t0 ) x20 , ..., xn (t0 ) xn 0 ,

де t0 , x10 , x20 ,..., xn 0 - задані дійсні числа (початкові значення).

436

Загальним розв’язком нормальної системи диференціальних рівнянь називається сукупність визначених та диференційовних в деякій області функцій

x1 1 t,C1,C2,...,Cn , x2 2 t,C1,C2,...,Cn , ..., xn n t,C1,C2,...,Cn ,

де C1, C2, ..., Cn		- довільні сталі, що задовольняють умови:
1)	функції x1 1 t,C1,C2 ,...,Cn ,			x2 2 t,C1,C2 ,...,Cn , ...,
xn	n t,C1,C2 ,...,Cn		є розв’язком	нормальної системи при
будь-яких значеннях сталих C1,C2,...,Cn з деякої множини;
2)		для	довільних	початкових	умов
x1(t0 ) x10 , x2(t0 ) x20 , ..., xn (t0 ) xn 0				таких, що	початкові
значення		t0 , x10 , x20 ,..., xn 0 належать області			існування
розв’язку рівняння, можна підібрати такі сталі C1,C2,...,Cn , при
яких функції x1 1 t,C1,C2 ,...,Cn ,				x2 2 t,C1,C2 ,...,Cn , ...,
xn	n t,C1,C2 ,...,Cn		будуть задовольняти початкові умови.

Частинним розв’язком нормальної системи диференціальних рівнянь називається сукупність функцій, яка одержується із загального розв’язку фіксуванням деяких значень сталих.

Теорема Коші (достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Якщо у нормальній системі

	диференціальних рівнянь функції			f1,	f2 , ...,			fn	неперервні та мають
	неперервні частинні похідні	fi	,	i, j			,	в деякій області		D , що
						1,n
		x j			t0 , x10 ,				x20 ,..., xn 0 , то
	містить точку початкових	значень								існує

єдиний розв’язок цієї системи x1(t), x2(t), ..., xn (t), який задовольняє

початкові умови x1(t0 ) x10 , x2(t0 ) x20 , ..., xn (t0 ) xn 0 .

Розв’язування нормальних систем в деяких випадках можна виконати методом виключення або методом інтегровних комбінацій.

Метод виключення полягає у зведенні нормальної системи до одного диференціального рівняння n -го порядку шляхом диференціювання одного рівняння системи та виключення всіх невідомих функцій, крім однієї.

Метод інтегровних комбінацій полягає у комбінації рівнянь системи з метою одержання легко інтегровних рівнянь.

Приклад 29. Розв’язати задачу Коші

dx		1		x1	x2	t,
dt						x1(0) 1,	x2(0) 0 .
dx2				4x1		3x2 2t,
	dt

437

Диференціюємо

перше

рівняння

системи:

x1 x1 x2 1;

виключаючи

з

одержаного

рівняння

x2 ,

маємо

x2,

x1

5t 1.

Загальним

розв’язком

одержаного

лінійного

x1

2x1

неоднорідного рівняння є x

1

C

1

C t e t

5t 9 .

2

x1

t ,

З

першого

рівняння системи

тому,

випливає, що x2 x1

враховуючи

співвідношення

C2 C1 C2t e

t

5 ,

одержимо:

x1

x

2

C

2

2C

1

2C t e t 6t 14 .

2

Скористаємось початковими умовами, тоді:

1 C1

9;

C1 10, C2

6 ;

2C1

14;

0 C2

10 6t e

t

5t 9;

x1

14 12t e t 6t 14.

x

2

dx

x

,

Приклад 30. Розв’язати систему dt

2x 3y

dy

y

.

2x 3y

dt

Складемо першу інтегровну комбінацію, поділивши перше

рівняння системи на друге:

dx

x

, тоді

dx

dy

,

x C y .

dy

y

x

y

1

Складемо другу інтегровну комбінацію, помноживши перше

рівняння системи

на

2,

друге

– на

3

і додавши результати:

2	dx	3	dy	1, звідки маємо 2x 3y t C2 . Отже, невідомі функції є
	dt
			dt
розв’язками системи x C1y 0;
					2x 3y t C2.
Остаточно, x					C1 t C2	,	y	t C2	.
					3 2C1			3 2C1

Лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами називається система рівнянь першого порядку вигляду

438

	dx1			a11x1
dt
dx2				a21x1
	dt
... ...
dxn				an1x1
	dt

a12x2 ... a1n xn ,

a22x2 ... a2n xn ,

... ... ...

an 2x2 ... ann xn .

Цю систему можна записати у матричному вигляді

a	11	a	12	...	a	1n			x		1
a21 a22				...	a2n				x2				dX
A							,	X				,
				...	...								dt
... ...
		an 2		...
an1					ann				xn

(48)

dX AX , де dt

x1

x2

.

xn

Система (48) є нормальною системою, тому її можна звести методом виключення до лінійного однорідного диференціального рівняння n -го порядку. Застосуємо інший підхід. Будемо шукати

розв’язок						системи											(48)						у			вигляді
x	1	ekt ,	x	2	ekt ,			...,		x	n				n	ekt ,	де	,			2	, ...,		n	, k	- деякі
		1			2												1
сталі.
Тоді маємо систему для знаходження невідомих сталих:
							1						1								1
							2						2			або	A kE				2		0 .			(49)
					k					A
																				n
						n				n

Одержана система має ненульові розв’язки, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто маємо характеристичне рівняння системи і одночасно характеристичне рівняння матриці A :

det A kE 0 .	(50)
Нехай рівняння (50) має n різних коренів k1, k2 , ..., kn ,	які є

власними числами матриці A , тоді кожному власному числу відповідає власний вектор (ці вектори є лінійно незалежними). Нехай

		(i )
1
		(i )
власному числу ki відповідає власний вектор		2
		(i )

n

розв’язок системи матиме вигляд

, тоді відповідний

439

		(i )
	1
		(i )
X (i ) ekit	2
		(i )
	n

,

де i 1,n . Ці розв’язки утворюють фундаментальну систему, тому

загальний	розв’язок системи визначається										як лінійна комбінація
X C X (1)	C	2	X (2)	... C	n	X (n ) , де C	, C	2	, ..., C	n	- довільні сталі.
1						1

Якщо серед власних чисел є комплексне число, то серед них є і спряжене з ним число. Цій парі власних чисел відповідають

комплексно-спряжені власні вектори

та

комплексно-спряжені

розв’язки.

Якщо серед власних чисел є число k кратності s ,

то відповідні

розв’язки

системи

шукають

у

вигляді:

x

1

p (t)ekt ,

x

2

p

2

(t)ekt ,

...,

x

n

p

n

(t)ekt ,

де

p

(t)

-

многочлен

1

i

степені s з невизначеними коефіцієнтами.

dx

1

2x1 2x2,

dt

Приклад 31. Розв’язати систему

dx2

x1 3x2.

dt

Складемо характеристичне рівняння матриці системи

2 k

2

0, або k 2 5k 4 0.

1

3 k

Корені

цього

рівняння

k1 1, k2

4

є власними числами

матриці системи.

Знайдемо власні вектори, що відповідають цим власним

числам, як розв’язки системи (49).

Для

k1 1

маємо

(2 1) 1 2 2

0,

звідки

1 2 2 .

Це

1 (3 1) 2

0,

2

рівняння визначає вектор

.

1

Для

k2 4

маємо

(2 4) 1 2 2 0,

звідки

1 2 .

Це

1 (3 4) 2 0,

1

рівняння визначає вектор .

1

Фундаментальна система розв’язків: X (1)

	2	X (2)		1
et	,		e 4t		.
				1
	1

440

Отже, загальний розв’язок системи визначається співвідношенням

2

1

2C e

t

C e

4t

,

C e

x

1

X C et

4t

або

1

2

1

2

C e

t

C e

4t

.

1

1

x

2

1

2

dx

1

7x1

x2 ,

Приклад 32. Розв’язати систему

dt

dx2

2x1

5x2.

dt

Складемо характеристичне рівняння матриці системи

7 k

1

0, або k 2

12k 37 0 , звідки k

6 i .

2

5 k

1,2

Для

k1 6 i

маємо

( 1 i) 1 2

0,

звідки 2

(1 i) 1 . Це

2 1 (1 i) 2 0,

1

рівняння визначає вектор

.

1 i

Для

k1 6 i

маємо

( 1 i) 1 2

0,

звідки 2

(1 i) 1 . Це

2 1 (1 i) 2 0,

1

рівняння визначає вектор

.

1 i

Фундаментальна система розв’язків:

X (1)

1

(2)

e( 6 i )t

1

e( 6 i )t

, X

.

1 i

1 i

Отже, загальний розв’язок системи визначається співвідношенням

X C e( 6		1	C e( 6		1
	i )t			i )t	.
1			2
	1	i		1	i

Одержаний

розв’язок

можна

подати

в іншому вигляді, якщо

скористатися формулою Ейлера, представивши

e( 6 i )t

e 6t cost i sint ,

e( 6 i )t

e 6t cost i sint ,

виконати

необхідні

перетворення

та

ввести

нові сталі

C

1

C

2

C * ,

C

1

C

2

i C * , тоді

1

2

X C *e

cost

sint

6t

C

*e 6t

.

1

2

cost sint

cost sint

Зауважимо, що загальний розв’язок можна знайти інакше. У розв’язках, відповідних до одного з комплексних чисел, відокремимо дійсну та уявну частини (спряжене власне число не розглядаємо, бо йому відповідають розв’язки, лінійно залежні з вибраними розв’язками):

441