Вища Математика для Економістів

Обчислення площі поверхні обертання

Якщо дуга гладкої кривої y f x

a x b обертається

навколо осі Ох, то площа поверхні обертання обчислюється за формулою

b

Sx 2 y1 y 2 dx .

		a
Якщо	крива	задана	параметричними	рівняннями

x x t , y y t t1 t t2 , то

t2

Sx 2 yx 2 y2 dt .

t1

Приклад 7. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох дуги синусоїди y sin 2x від x 0 до x /2.

Знаходимо y 2 cos 2x ; тоді

															π/2
					Sx					2							sin 2x										1 4cos2 2x dx .
																	0										2 cos 2x t,													4 sin 2x dx dt,
	Зробимо			заміну										змінної:
sin 2x dx 1/4 dt .												Знайдемо															межі						інтегрування по t: якщо
x 0,	тоді t 2;			якщо x /2, тоді t 2 . Таким чином,
											2												1										2
																		2																				2
				S 2										1			t										dt						1 t						dt
																							4								2
										2																							2
										t													1															2
																		2																	2
														1			t								ln t							1 t
																							2
				2						2																										2
						1								5			2										2 5 ln 5 2 (кв. од.).
			2 5					ln
	2			2										5			2						2

§4. Застосування визначених інтегралів в економіці

Додатковий загальний доход

Приклад 8. Фірмі відома функція граничного доходу MR від продажу нової марки телевізорів у даному регіоні. Граничний доход MR є функціональним співвідношенням між граничним доходом та кількістю телевізорів у такій формі

MR 300 0,2Q.

Ця функція представлена на рис. 5.

362

MR

MR=300-0,2Q

0 120 150

Q

Рис. 5.

Фірмі необхідно визначити додатковий загальний доход, який вона отримає в результаті збільшення щотижневого продажу в даному регіоні телевізорів зі 120 до 150 штук.

Для визначення додаткової суми доходу ми повинні проінтегрувати функцію граничного доходу і знайти площу трапеції, що міститься під кривою граничного доходу. Інтегрування повинне здійснюватись у межах від 120 до 150 телевізорів. Маємо

	150	150	150
	MRdQ	(300 0,2Q)dQ (300Q 0,1Q 2 )
			120
	120	120

(300 150 0,1 1502 ) (300 120 0,1 1202 ) 8190.

Зроблений аналіз показує, що в результаті збільшення продажу нової марки телевізора зі 120 до 150 штук на тиждень фірма отримає додатковий доход 8190 грош. од.

Таким чином, обчислення додаткового доходу зводиться до інтегрування заданої функції граничного доходу та обчислення різниці між значеннями отриманої функції загального доходу в межах нарощування кількості продажу.

Споживче активне сальдо

Споживче активне сальдо є широко уживаним поняттям в економічному аналізі. Воно є основою для встановлення непрямої (опосередкованої) залежності між ціною товару та величиною попиту.

Встановлення споживчого активного сальдо потребує вивчення торгового попиту для якісного представлення зміни загальної суми від закупки товару при варіації споживчої ціни.

363

При відомій фіксованій ціні продажу споживання має схильність до збільшення доходу від зниження ціни на товар, якщо це зниження ціни не впливає на отримання товару. Іншими словами, існує певна вигода від споживання при колективних діях покупців та продавців в околі даної ціни. Загальна кількість цієї споживчої вигоди може бути показана за допомогою кривої попиту DD.

P a

D

P1

c

b

D

d

e

Q1 Q

Р1 – ціна продажу, Q1 – кількість продажу Рис. 6.

Отримання споживачами загальної вигоди від споживання товару дорівнює площі зони під кривою попиту лівіше від точки Q1. Але зберігається лише частина загальних витрат за винятком реально зроблених витрат. Останнє представлено за допомогою прямокутника bcde, площа якого дорівнює загальній вартості купленого товару Р1Q1. Залишок зони під кривою попиту, трикутник abc, представляє вигоду в надлишку цінової плати. Це і є споживче активне сальдо.

Інтегральне числення дає метод для визначення загальної суми споживчого активного сальдо, тобто зони abc на рис. Для його відшукання потрібно знати функціональну залежність (криву) P=f(Q) ціни продажу Р1 та кількості споживання Q1.

Якщо ціна є функцією кількості попиту, тоді загальна сума споживчого активного сальдо обчислюється шляхом інтегрування функції попиту по Q в межах від 0 до Q1. Таким чином, у грошовому вираженні результат споживчого активного сальдо є різницею між загальною вигодою споживання та загальною кількістю плати за споживання.

Приклад 9. Функція попиту на індивідуальні електронні перекладачі має вигляд

364

P 80 0,2Q 0,05Q 2.

Необхідно знайти споживче активне сальдо для 20 електронних перекладачів.

Ціна перекладача при кількості споживання Q1=20 буде

P1 80 0,2 20 0,05 202 56 грош. од.

Загальна вартість 20 перекладачів дорівнює

P1Q1 56 20 1120 грош. од.

Загальну грошову вигода при споживанні 20 електронних перекладачів знайдемо за допомогою інтегрування функції P=f(Q) в межах від Q=0 до Q=20. Це приводить до такого результату

20	20	2			2		Q 3			20
PdQ (80 0,2Q 0,05Q )dQ				80Q 0,1Q
							60
0	0									0

		2	203
	80 20 0,1 20					0 1427.
			60

Ця комбінація ціни та кількості споживання приводить до загальної вигоди 1427 грош. од. та загальної суми сплати 1120 грош. од. Таким чином, споживче активне сальдо складає

20

PdQ P1Q1 1427 1120 307 грош. од.

0

Споживче активне сальдо є широко уживаним поняттям при аналізі питань суспільної поведінки та інших соціальних проблем економіки. При цьому, як ми переконались, використовується інтегральне числення.

Якщо у виробничій функції Коба-Дугласа вважати, що витрати праці лінійно залежать від часу, а витрати капіталу незмінні,

то вона матиме вигляд q(t) ( t )e t . Тоді обсяг випущеної продукції за Т років складе

T

Q(t) ( t )e tdt.

0

Приклад 10. Знайти обсяг продукції, виробленої за 4 роки, якщо функція Коба-Дугласа має вигляд q(t) (1 t)e3t .

4	u t 1	du dt				1		4	4	1
Q(t) (1 t)e3tdt	dv e 3t	v	1	e3t	(t 1)		e3t				e3tdt
0		3			3			0	0	3

		1	(5e12		1	e3t		4	1	(14e12 2) 2,53 105.
				1)
	5			9				0	9

365

Досліджуючи криву Лоренца – залежність відсотка доходів від відсотка населення, що їх має, ми можемо оцінити ступінь нерівності в розподілі доходів населення. При рівномірному розподілі доходів крива Лоренца вироджується у пряму – бісектрису ОА, тому площа фігури ОАВ між бісектрисою ОА і кривою Лоренца віднесена до площі трикутника ОАС (коефіцієнт Джині) характеризує ступінь нерівності у розподілі доходів населення.

y
100(1)	A
%(частка)
населення

	B
0	С	x

100(1) %(частка) доходів

Рис. 7.

Приклад 11. За даними досліджень у розподілі доходів в одній з країн крива Лоренца ОВА може бути описана рівнянням

y 1 1 x 2 , де х – частка населення, у – частка доходів. Обчислити коефіцієнт Джині.

k		SOAB			1				SOBAC				1 2SOBAC ,				оскільки S OAC									1	.
	S OAC							S OAC																2
				1										1		1							1
S							1 x			2					dx		1 x		2	dx		1		1 x				2	dx.
	OBAC				1							dx
				0										0		0							0
					1
Тому k 2						1 x 2 dx 1. За допомогою заміни x sin t можна
					0
	1					dx
обчислити				1 x 2						4 .
	0

366

k 2		1		1 0,57.
4		2

Досить високе значення k показує суттєво нерівномірний розподіл доходів серед населення у країні.

Визначення початкової суми за її кінцевою величиною, отриманою через час t (років) при річному відсотку р, називається дисконтуванням. Задачі такого роду зустрічаються при визначенні економічної ефективності капітальних вкладень.

Нехай Kt – кінцева сума, отримана за t років, K – дисконтована (початкова) сума, яку у фінансовому аналізі називають сучасною

сумою. Якщо	відсотки прості, то	Kt K(1 it) ,	де і=р/100.	Тоді
K Kt /(1 it).	У випадку складних	відсотків Kt	K(1 i)t і	тому

K Kt /(1 i)t .

Нехай доход, що надходить щорічно, змінюється у часі і описується функцією f (t) і відсоток нараховується неперервно.

Можна показати, що в цьому випадку дисконтований доход K за час Т обчислюється за формулою

T

K f (t)e itdt .

0

Приклад 12. Визначити дисконтований доход за три роки при процентній ставці 8%, якщо початкові капіталовкладення склали 10 млн. грн., і передбачається щорічно збільшувати капіталовкладення на 1 млн. грн.

Очевидно, що капіталовкладення задаються функцією f (t) 10 t . Тоді дисконтова на сума капіталовкладень

3

K (10 t)e 0,08tdt .

0

Інтегруючи, маємо K=30,5 млн. грн. Це означає, що для отримання однакової накопиченої суми через три роки щорічні капіталовкладення від 10 до 13 млн. грн. рівносильні одночасним початковим вкладенням 30,5 млн. грн. при тій же процентній ставці, що нараховується неперервно.

Нехай відома функція t f (x), що описує зміни витрат часу t на виготовлення виробу в залежності від ступеня освоєння виробництва, де х – порядковий номер виробу в партії. Тоді середній час tсер, витрачений на виготовлення одного виробу в період освоєння від х1 до х2 виробів, обчислюється за теоремою про середнє:

367

		1	x2
tсер				f (x)dx .
	x2
		x1 x
			1
Що стосується функції зміни витрат часу на виготовлення
виробів t f (x), то часто вона має вигляд					t ax b , де а – витрати

часу на перший виріб, b – показник виробничого процесу.

Приклад 13. Знайти середній час, витрачений на освоєння одного виробу в період освоєння від х1=100 до х2=121 виробів, якщо

функція зміни витрат										часу на			виготовлення			виробів t ax b , де
а=600 (хв), b=0,5.
					1				x2				1	121
tсер										f (x)dx					600x 0,5dx
			x		x								121 100
				2				1 x1						100
	600	2					121				2 200	(11 10)			400	57,2 (хв).
						x
21							100				7			7

Приклади 14. 1) Визначити обсяг продукції, виробленої робітником за третю годину робочого дня, якщо продуктивність праці характеризується функцією

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Якщо неперервна функція f(t) характеризує продуктивність праці робітника в залежності від часу t, то обсяг продукції, виробленої робітником за проміжок часу від t1 до t2 буде виражатись формулою

t2

				V= f (t)dt.
				t1
	У нашому випадку
	3	3			3
	V = (			4)dt (ln(3t 1) 4t)	=ln10+12-ln7-8=ln10/7+4.
		3t 1
	2				2

2) Визначити запас товарів у магазині, що утворюється за три дні, якщо надходження товарів характеризується функцією f(t)=2t+5.

Маємо:

	3	2t	2		3
	V= (2t 5)dt (			5t)	9 15 24 .
		2
	0				0

368

3) Нехай сила росту (див. розділ V) описується деякою

неперервною	функцією	часу	t	f (t),		тоді	нарощена	сума
знаходиться як
			n
		S P exp tdt,
			0
					n
					tdt
а сучасна величина платежу P S exp						.
					0
Якщо,	зокрема,	t	є		лінійною		функцією	часу:

t 0 at , де o - величина сили росту для t=0, a - річний приріст, то

n n

tdt ( 0 at)dt 0n an 22 ;

0 0

множник нарощування exр( on+an2/2). Якщо сила росту змінюється за геометричною прогресією t= oat, де o - початкове значення процентної ставки, a - річний коефіцієнт росту, тоді

n	n		n
tdt 0atdt 0 at
		lna	0 0 (an 1) lna ;
0	0

множник нарощування exр( o(an-1)/lna).

Припустимо, що початковий рівень сили росту дорівнює 8%, процентна ставка щорічно збільшується на 20% (a=1,2), термін кредиту 5 років. Множники нарощування в цьому випадку складе exр(0,08(1,25-1)/ln1,2) exр 0,653953 1,921397.

4) При аналізі неперервних потоків платежів припускалось, що річна сума ренти R рівномірно розподіляється протягом року. На практиці, особливо в інвестиційних процесах, цей потік може суттєво змінюватись у часі за якимось законом. Якщо цей потік неперервний і описується деякою функцією Rt=f(t), то загальна сума надходжень за

n

час n дорівнює f (t)dt .

0

У цьому випадку нарощена за неперервною ставкою за період від 0 до n сума складе:

n

S= f (t)ei(n t )dt .

0

Сучасна величина такого потоку дорівнює

369

n

A= f (t)e itdt .

0

Нехай функція потоку платежів є лінійною: Rt=Ro+at, де Ro - початкова величина платежу, що виплачується за одиницю часу, у якій вимірюється термін ренти. Обчислимо сучасну величину A, користуючись правилами інтегрування визначеного інтеграла:

n	n	n
A= (R0 at)e itdt =	R0e itdt ate itdt .
0	0	0

		n		n
	Позначимо A1= R0e itdt , A2= ate itdt .
		0		0
	Маємо:
	n		n
	A1= R0 e itdt (R0 i)e it			(R0 i)e it (e it e0 ) (R0 i)e it (e it 1)=
			0
	0
		n
	= R0 (e it	1)/i, A2=a te itdt .

dv=e

te it

			0
Обчислимо			невизначений							інтеграл te it dt частинами:	u=t,
it dt						du=dt,				v= e itdt e it /i ,	тоді
dt =t e it /i 1/i e itdt = = te it /i(t 1/i) C . Значить,
A	2	ate			it /i(t 1/i)				n	((1 e it )/i ne it )a /i .
									0
Таким чином, початковий інтеграл
A A			A	2	R	0	(e it 1)/i ((1 e it )/i ne it )a /n .
		1

Завдання для самостійної роботи

1

1. Обчислити x dx як межу інтегральної суми.

0

1

2. Обчислити e x dx як межу інтегральної суми.

0

1

3. Оцінити інтеграл x 1 x 2dx .

0

370

		π /2	esin2 xdx .
	4. Оцінити інтеграл
		0
		π	sin x
	5. Оцінити інтеграл			dx .
		π/2	x

Обчислити інтеграли:

1

6.		1 xdx.
	0
	3
8.	x 3		x 2 1dx .
	1
		1

	10.	(e x 1)4 e xdx.
		0
		1
	12.	e x ex dx .
		0
		π/6	sin2 x
	14.			dx .
		0	cos x
		2π

1

dx

7. .2(11 5x)3

1 x dx

9. .

0 1 x 4

	2		e	1/x
11.									dx .
			x		2
	1
	eπ /2
13.		cos ln x dx .
		1
	2 ln 2						dx
15.											.
						e	x		1
	ln 2

π/2

16. cos 5x cos x dx .

0

π/3

18. cos2 x sin 2x dx .

0

2		dx
20.				.
	x	2	x
1

0 x

22.x2 2 e2 dx.

		2
		2		sin xdx
	24.							.
		0		5 3sin x
		2
	26.	sin4 3x cos4 3x dx.
		0
		3 2			x2dx
	28.						.
					2
		0			9 x

17. cos5 x sin2x dx.

	0
	π/4	x sin x
	19.		dx .
	0	1 cos x

π/2

21. e x cos x dx .

0

9 xdx

23.2 3x 1.

		arccos 1				6	3tg					2 x 1
	25.															dx.
										tg	2
			0									x 5
				4														dx
		2						2 x							x 2
	27.																			.
																			2
			x		2 4 2 x x 2
		0
		1
	29.	x e x dx.
		0

371