Вища Математика для Економістів

Введемо поняття невизначеного інтеграла на інтервалі ( , ).

			a
Нехай для деякого а	невласні	інтеграли	f x dx	і f x dx
збігаються.				a
	a
f x dx f x dx f x dx ,
		a

при цьому інтеграл f x dx називається збіжним. Якщо хоча б один

з інтегралів, що входять в праву частину, розбігається, то невласний

інтеграл f x dx називається розбіжним.

Нехай функція f (x) неперервна, але не	обмежена			на
		b
напівінтервалі [a,b). Якщо існує і скінчена границя	lim		f (x)dx ,	де
	0

a

0 , то він називається невласним інтегралом другого роду від

			b
функції f (x) на [a,b) і позначається			f x dx , тобто
			a
b	f x dx lim		b
				f (x)dx .
		0
a			a
У цьому випадку		даний невласний інтеграл називається

збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Аналогічно вводиться поняття невласного інтеграла від функції f (x) неперервної, але не обмеженої на (a,b] :

		b		b
			f x dx lim			f (x)dx .
				0
		a		a
	Приклади 2. 1) Обчислити невласний інтеграл cos x dx (або
	встановити його розбіжність).					0
	Маємо
		b		b	sin b sin 0 lim sin b ,
	lim	cos x dx lim sin x
				lim
	b	b		0 b		b
		0

тобто границя не існує. Отже, невласний інтеграл розбіжний.

1dx

2) Обчислити .

x2

352

Знайдемо

1dx

1

1

1

lim

lim

lim

1

1.

x

2

a

a

a

x

a

a

a

тобто невласний інтеграл збігається.

dx

3) Знайти

.

1 x

2

dx

dx

Підінтегральна функція – парна, тому

2

. Тоді

1 x

2

2

0

1 x

b

b

dx

lim

dx

lim arctg x

lim arctg b

.

2

2

0

0

1 x

b

0

1 x

b

b

2

dx

Таким чином,

, тобто невласний інтеграл збігається.

1 x 2

1

dx

4) Знайти

.

0

x

Підінтегральна функція f x 1/x в точці x 0 необмежена, а

тому маємо

1

dx

1

dx

1

lim

lim ln x

lim ln 1 lna ,

x

a 0

x

a 0

a a 0

0

a

тобто невласний інтеграл розбіжний.

5) Знайти xe x2dx .

Маємо

0

b

b

1

x2

1 1

1

x2

x2

b2

xe

dx

lim

xe

dx

lim

e

lim

e

,

2

0

b

0

b

2

0

b

2 2

тобто невласний інтеграл збігається.

2. Ознаки порівняння. При дослідженні збіжності невласних

інтегралів користуються однією з ознак порівняння.

1.

Якщо

функції

f x

й

x

визначені для всіх

x a

та

інтегруються на відрізку a, A ,

де

A a ,

і якщо

0 f x

x

для

353

всіх x a , то зі збіжності	інтеграла x dx випливає збіжність
	a
інтеграла f x dx , причому
a

f x dx x dx .

a

a

f x 0 є нескінченно малою

2. (а) Якщо при x функція

порядку p 0

в порівнянні з 1/х, то

інтеграл

f x dx збігається

при p 1 й розбігається при p 1.

a

(б) Якщо функція

f x 0

визначена

й

неперервна на

проміжку a x b і є нескінченно великого порядку

р

у порівнянні

b

із 1/ b x

при x b 0 ,

то інтеграл

f x dx

збігається при p 1 й

розбігається при p 1.

a

dx

Приклади 3. 1) Дослідити збіжність інтеграла

.

p

a

x

За означенням

p 1 A

dx

A

p

1

lim

x

dx lim

x

a

x

p

a

a

p 1

A

A

1

lim A p 1

1

a p 1 .

p 1 A

p 1

Припустимо,

що p 1;

тоді

lim A p 1

0 . Виходить, при p 1

A

інтеграл збігається.

Нехай

p 1;

тоді

lim A p 1

, тобто інтеграл

A

dx

при

p 1 розбігається.

p

a

x

dx

2)

Дослідити

збіжність

інтеграла

sin x 2

(інтеграл

Френеля).

a

x 2 dx

Нехай x

;

тоді

sin

1

sin

τ

dτ .

Представимо

τ

0

2

0

τ

інтеграл, що стоїть праворуч, у вигляді суми:

354

τ

π/2

sin

τ

π/2

τ

sin

dτ

dτ

sin

dτ .

τ

0

τ

0

τ

π/2

Перший доданок є власний інтеграл, тому що lim

sin

τ

0 ; а до

τ 0

τ

другого

застосуємо

інтегрування

частинами,

покладаючи

u 1/

τ, dv sin τ dτ :

sin τ dτ

cos τ

1

cos τ

1

cos τ dτ

|

.

τ

3/2

τ

τ

π/2

π/2

2

π/2

τ3

2

π/2

Останній інтеграл збіжний,

тому що

cos τ

1

,

а інтеграл

τ3/2

τ3/2

dτ

sin

збіжний. Тому

d збігається на підставі ознаки (2а), а

τ

3/2

π/2

0

отже, даний інтеграл також збіжний.

dx

3) Дослідити збіжність інтеграла

.

10

1

1 x

Підінтегральна

функція

f x 1/1 x10

в

проміжку

ніж x 1/x10 ,

dx

інтегрування менше,

а інтеграл

є збіжним.

10

1

x

Отже, даний інтеграл також є збіжним.

b

dx

a b .

4) Дослідити збіжність інтеграла

b x

p

За визначенням

a

b

dx

b

dx

1

p 1

b

lim

lim b x

p

p

a

a b

x

0

a

b x

p 1 0

1

1

b a p 1 .

lim p 1

p 1

p 1 0

Якщо

p 1, то

lim p 1

0 ; якщо ж

p 1,

то

lim p 1 ;

0

0

якщо, нарешті, p 1, то

limb

dx

limln b x

b .

0

b x

0

a

a

b

dx

Отже,

при

p 1

інтеграл

збігається,

а

при

p 1 є

b x

p

a

розбіжним.

355

1

cos

2

x

5) Дослідити збіжність інтеграла

dx .

3

0

1 x

Підінтегральна

функція є

нескінченно великою при x 1.

Представимо її у такому вигляді:

f x

cos2 x

1

cos2 x

1

,

1 x 1/3

3 1 x

3 1 x

3 1 x

тобто порядок цієї нескінченно великої

функції

при x 1 в

порівнянні з

1/1 x

дорівнює

p 1/3 1.

Тому даний інтеграл є

збіжним на підставі ознаки (2б).

ln 1 3

1

x

6) Дослідити збіжність інтеграла

dx .

e

sin x

0

1

Підінтегральна функція f (x)

на

проміжку

інтегрування

додатна та

f x

при

x 0 .

Користуючись

теоремою про

еквівалентні нескінченно малі, перетворимо чисельник і знаменник

підінтегрального дробу; маємо ln 1 3

~ x1/3 ,

а esin x 1 ~ sin x при

x

x 0 , звідки

ln 1 3

x1/3

1

lim

x

lim

lim

,

esin x 1

2/3

x 0

x 0 x

x 0 x

тобто f x є нескінченно великою порядку

p 2/3 в порівнянні з

1/x Отже, за ознакою (2б) заданий інтеграл збіжний.

§ 3. Застосування визначених інтегралів

Обчислення площі плоскої фігури

Площа	криволінійної		трапеції,		що	обмежена кривими
y f x f x 0 , прямими x a				та x b і відрізком			a, b осі Ох,
обчислюється за формулою
			b
		S f x dx .
			a				y f1 x
Площа	фігури,	що	обмежена		кривими			й
y f2 x f1 x f2 x і		прямими		x a	та	x b , знаходиться		за
формулою
		b
		S f2 x f1 x dx .
		a
Якщо	крива	задана		параметричними			рівняннями

x x t , y y t , то площа криволінійної трапеції, що обмежена цими

356

кривими, прямими x a,				x b	й відрізком a, b осі Ох, виражається
формулою
				t2
				S y t x t dt ,
				t1
де	t1	й	t2		визначаються	з	рівнянь
a x t1 , b		x t2 y t 0	при t1		t t2 .

Площа криволінійного сектора, що обмежений кривою, заданої в полярних координатах рівнянням ρ ρ θ і двома полярними радіусами θ α, θ β α β , знаходяться за формулою

β

S 1 ρ2dθ . 2 α

Приклади 4. 1) Знайти площу фігури, обмеженої параболою y x 1 2 й віссю Ох.

Парабола перетинає вісь Ох у точках О(0; 0) і М(4; 0). Отже,

4	2				2		1		3	4	32
S 4x x		dx	2x					x					(кв. од.).
							3				3
0									0
2) Знайти площу		фігури,		обмеженої							параболою y x 1 2 й

гіперболою x 2 y2 /2 1.

Знайдемо точки перетину параболи й гіперболи, для чого підставимо у рівняння гіперболи замість у функцію, що задає параболу:

				x 2					x 1 4					1, або x 4 4x 3 4x 2																						4x 3 0 .
						2
Ліву частину останнього рівняння можна розкласти на
множники:							x 1 x 3 x 2 1 0 ,																										звідки						x1 1, x2 3		й
y1 0, y2 4 .							Таким чином,														задані криві перетинаються в точках
А(1; 0) і В(3; 4) (рис.2). Отже,
														3																2
											S		2 x										1				x			1					dx
														1
																																		3		1
								2																														3		3
													2														2
											x x			1 ln								x x								1								x 1		1
				3			2																											1		3
		2					ln 3												8				10						2		ln 3								4,58 (кв. од.).
					8										8																							8
	2																						3					2
														3

357

Y	B
4

A

0 1 2 3

X

Рис. 2.

3) Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лемніскатою

ρ2 2 cos 2θ (див. рис.3.).

Четвертої частини шуканої площі відповідає зміна θ від 0 до π/4 , а тому

1

π/4

π/4

S 4

2 cos 2θ dθ 2 sin 2θ

2 (кв. од.).

2

0

0

Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Якщо крива y f x

на відрізку a, b гладка (тобто похідна

y

f

неперервна),

то

довжина відповідної дуги

цієї кривої

x

знаходиться за формулою

b

L

1 y 2

dx .

a

При

параметричному

заданні

кривої

x x t , y y t ,де

x t та y t -неперервно диференційовні функції,

довжина

кривої,

що

відповідає

монотонній зміні

параметра t

від t1

до t2 , обчислюється за формулою

t2

L x 2

y2 dt .

t1

358

Якщо гладка крива задана в полярних координатах рівнянням ρ ρ θ , α θ β , то довжина дуги дорівнює

β

L ρ2 ρ 2 dθ .

α

Приклади 5. 1) Знайти довжину дуги кривої y2 x 3 від х=0 до

х=1 (y 0 ).
	Диференціюючи рівняння кривої, знайдемо																																																																	y (3/2)x1/2 .
Таким чином,
1																		4					2										9					3/2					1					8 13 3/2																	8									8	13
								9
L
			1									xdx																	1							x																																												13				1 .
								4																																							27										4
0																			9 3															4										0																					27 27										8
																																																										x cos5 t,											y sin5 t від х=1
			2) Знайти довжину дуги кривої
y 0 .
	Знайдемо																																	похідні																												за														параметром
t; x 5 cos4 t																sin t, y 5 sin4 t																						cos t . Отже,
π/2																																																									π/2
			5 cos4 t sin t 2																							5 sin4 t cos t 2 dt 5
L																																																													sin t				cos t sin6 t cos6 t																			dt
0																																																									0
												π/2																																														π/2
								5																	1							3																						5																						d cos 2t
														sin				2t															cos2 2t											dt																			1 3 cos2 2t
								2															4
												0																				4																				8					0
5																																												1																																						π/2
										3
																																				2																																											2
								2							cos 2t 1 3 cos																							2t						2	ln							3					cos							2t 1 3 cos																2t
	8 3
																																											ln 2																																							0
																																			5
																																						2																	3 .
																																	8																3
3)																	Знайти																								довжину																										дуги															кривої
ρ sin3 θ/3 від θ																			0 до θ														2		π/2 .
																	1
	Маємо ρ sin2 θ/3 cos θ/3 . Отже,
																	π/2										6 θ												2		θ									θ		2												π/2				2 θ
											L									sin												sin												cos													dθ								sin									dθ
																											3														3								3																			3
																	0																																															0
								1				π/2															2θ												1								3											2θ π/2							1
																																																																					2π 3 3											.
																	1 cos															dθ									0									sin
								2																			3												2								2										3
															0																																															0			8

Обчислення об’єму тіла

1. Обчислення об'єму тіла при відомих площах перерізів.

Якщо площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною осі Ох, може

359

бути виражена як функція від х, тобто у вигляді S S x a x b ,

тоді об'єм частини тіла, що міститься між перпендикулярними осі Ох площинами х=а та х=b, визначається за формулою

b

V S x dx .

a

2. Обчислення об'єму тіла обертання. Якщо криволінійна трапеція, обмежена кривою y f x і прямими y 0, x a, x b , обертаються навколо осі Ох, то об'єм тіла обертання обчислюється за формулою

b

Vx y2dx .

a

	Якщо	фігура,		обмежена					кривими
	y1 f1 x та y2	f2 x 0 f1 f2 x		та	прямими				x a, x b ,
	обертається навколо осі Ох, тоді об'єм тіла обертання
		b
		Vx π y22 y12 dx .
		a
	Приклади 6. 1) Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням
	навколо осі Ох фігури, обмеженою кривою y2 x 1 3								і прямою x 2
	(рис. 3).
	2	2	1		2		1
	V y2dx x 1 3 dx			x 1 4				(куб. од.).

41 4

11

2)Знайти об'єм тіла, у основі якого лежить рівнобедрений трикутник з висотою h і основою а. Поперечний переріз тіла є сегмент параболи з хордою, рівній висоті сегмента (рис.4.).

Маємо

AB

a,

OC

h,

MK

DE

,

OK

x . Виразимо площу

поперечного перерізу як функцію від х, для чого попередньо знайдемо рівняння параболи. Довжину хорди DE можна знайти з

подоби відповідних трикутників,

а саме:

DE

/a h x /h , тобто

DE

a h x /h

MK

.

Покладемо

DE

m , тоді

рівняння параболи в системі

координат uKv матиме вигляд v m 4 u2 . Звідси знаходимо площу

поперечного перерізу даного тіла:									m
													h x 2
m /2		4		2		2		2	, або S x	2 a 2
S 2	m		u		du		m								.
		m				3				3			h	2
0

Таким чином,

360

h	h	2		a2		2	2	2
V S x dx						h x dx		a h .
		3		h	2		9
0	0
	Y					B

	A
0	1	2	X

Рис. 3.

Z

B M

E

K

0

X

A D

Y

Рис. 4.

361