Вища Математика для Економістів

π/2	π
30. x cos x dx.	31. x 3 sin x dx.

	0
	9
								x
32.											dx.
					x 1
	4
	8					x
34.											dx.
					1 x
	3
	π /2									dx
36.														.
	/2					1 cos x
	3			x 2 sin2x
38.													dx .
					x				2		1
	3

0

1

33. x dx.

0 1 x

e

35. (x ln x)2 dx.

1 π /2

37. cos x cos2 xdx.

/2

1

39. x arctg x dx .

1

40. Довести, що

		0	при m n,
		sin mx sin nx dx	при m n

(m та n – цілі додатні числа).

Обчислити невласні інтеграли, якщо вони збігаються:

					arctg x
	41.									dx .
					2
		0			1 x
		2				x 2dx
	43.								.
		0				4 x 2
		1		dx
	45.						.
				2
		1			x
							dx
	47.				x 2 1 x 2 4						.

	0				dx
42.								.
				4 x		2
	1				dx
44.										.
	0				x 1 x
	1
46.	x ln2 x dx .
	0
					dx
48.							.
			1 x2

Дослідити збіжність невласних інтегралів:

		ln 1 x												e		x2
49.								dx .			50.									dx .
																2
	1			x								1			x
		x arctg x																				2
51.										dx .	52.			1 cos									dx .
																						x
	0	1 x 3										1
	1 x				2							1				dx
53.						dx .					54.										.
		x		3											3
																	x
	1											0 e							1

372

	1	dx
	55.		.
		tg x x
	0

Обчислити площі фігур, обмежених заданими лініями:

56.y x 2, x y 2 0.

57.y 16/x 2 , y 17 x 2 (I чверть).

58.y2 2x 1, x y 1 0.

59.	y2 4x 3 ,			y 2x 2 .
60.	xy 20,			x 2 y 41 (I чверть).
61.	y sin x,			y cos x,	x 0 .
62.	y 0,25x 2, y 3x 0,5x 2 .
63.	xy 4			x 2 6x y2	0,	y 0,			x 4 .
		2,
64.	y e x , y e x , x 1.
65. x 4 y 1 2 ,x y2 4y 3.
66.	x 12 cos			t 5 sin t, y 5 cos t 12sin t .
67.	x a cos3 t, y a sin3 t .								x 12		.
68.	x 32cos3 t,y 3sin3 t,				x 12
							3			3

69.4/cos π/6 , π/6, π/3 .

70.a cos , 2a cos .

71. 6sin ,

4sin .

72.sin2 /2 (праворуч від променя π/2 ).

73.a sin 3 (площа однієї петлі).

74.2 cos , 1 (поза колом 1).

Обчислити довжини дуг кривих:

75.y ln x від x 3 до x 8 .

76.y ln sin x від x /3 до x /2.

77.y 2/5 x4x 2/3 4x між точками перетину з віссю Ох.

78.y x 2 /2 від x 0 до x 1 .

79.y 1 ln cos x від x 0 до x /6.

80.y ch x від x 0 до x 1.

81. y ach x від x 0 до x b . a

373

		1 ex e x
	82. y		, 0 x 3.
		2

83.x t 3 /3 t, y t 2 2 від t 0 до t 3 .

84.x et cos t, y et sin t від t 0 до t ln .

85.x 8 sin t 6 cos t, y 6 sin t 8 cos t від t 0 до t /2 .

86.x 9 t sin t , y 9 1 cos t (довжину дуги кривої арки

циклоїди).

87.x t2 2 sint 2t cost,y 2 t2 cost 2t sint, 0 t .

88.2 от 0 до .

89.a sin .

90.a cos3 /3 от 0 до /2.

91.1 cos .

92. 6sin ,

0 3.

Знайти об'єм тіл, утворених обертанням навколо осі Ох фігур, обмежених лініями:

93.	y	64			, x 2 8y .
			x 2 16
94.	y2	x,		x 2 y .

95.y xe x , x 1, y 0 .

96.y x 2 /2, y x 3 /8 .

Знайти об'єм тіл, утворених обертанням навколо осей Ох та Оу фігур, обмежених лініями:

		97. y (x 1)2,				x 0,	x 2,	y 0.
		98.			Обчислити		об’єм	тіла,	обмеженого	еліпсоїдом
x 2		y2		z 2	1.
a2		b2		c 2

Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями:

99. z				x 2				y	2			z 1.
											,
				4				2
		x2			y2							2
100.										z			1,	z 7,	z 0.
	16								196
				9

101. Знайти об'єм тіла, обмеженого площинами x 1, x 3 , якщо площа його поперечного перерізу обернено пропорційна квадрату відстані від перетину до початку координат, а при x 2 площа перетину дорівнює 27 (кв. од.).

374

Знайти площі поверхонь, утворених обертанням навколо осі Ох дуг кривих:

102.y 2 ch x /2 від x 0 до x 2 .

103.y x 3 від x 0 до x 1/2 .

104.x 2a2 y2 /b2 1.

105. x t sin t,

y 1 cos t (площу, утворену обертанням

однієї арки).

106. Виробництво автомобільних шин характеризується функцією граничного доходу (у грош. од.)

MR 60 0,002Q,

де Q – кількість проданих шин.

а) Знайти функцію загального доходу.

б) Якщо кількість проданих шин зросте з 5000 до 6000 шин, наскільки збільшиться загальний доход?

107. Виробництво чоловічих костюмів характеризується функцією граничних витрат (у грош. од.)

MC 0,003Q 2 0,06Q,

де Q – кількість пошитих костюмів. Постійні витрати складають 4000 грош. од. Знайти додаткові загальні витрати при збільшенні кількості виробленої продукції з 100 до 110 костюмів на день.

108. Попит на один літр свіжого молока (у грош. од.)

P 0,5 0,00002Q,

де Р – ринкова ціна, Q – кількість літрів проданого молока. а) Знайти споживче активне сальдо для Q=10000 л.

б) Знайти споживче активне сальдо для Q=15000 л. в) Що демонструє порівняння відповідей на а) і б)? 109. Фірма має функцію граничного доходу

MR 50 0,02Q,

де Q – кількість продажу за тиждень. Фірма збільшує продаж з 300 до 400 одиниць за тиждень.

а) Який ефект отримає фірма від за величиною загального доходу? б) Який граничний доход при Q=3000? Поясніть це.

110. Капітал нарощується з початкового значення 10 млн. грош. од. з темпом росту

C(t) 10t 2 5t,

де t – номер року.

а) Знайти функціональну залежність величини капіталу на кінець року t.

б) Якою буде величина капіталу на кінець 2-го року, 5-го року?

111. Фірмі відомі витрати на ремонт устаткування, які за рік t представляються функцією

375

m(t) 200 t 2.

Якими будуть витрати на ремонт устаткування за період між t=4 та t=8?

112. Знайти сучасну вартість вічної ренти при щорічному прибутку S та неперервному нарахуванні r відсотків ренти:

а) S 1800,	r 0,12,	б) S 600,	r 0,08,
в) S 400,	r 0,02,	г) S 9000,	r 0,04.

113. Продаж домашніх комп’ютерів кожного року t характеризується функцією

h(t) 100e 0,08t 400,

де h(t) – кількість комп’ютерів проданих у рік t. а) Яким буде продаж комп’ютерів у рік t=5?

б) Скільки буде продано комп’ютерів між кінцями років t=3 та t=5? 114. Знайти середнє значення витрат K(x) 3x 2 4x 2 , виражених в грошових одиницях, якщо обсяг продукції х змінюється від 0 до 3 од. Вказати обсяг продукції, за якого витрати приймають середнє значення.

115. Знайти середнє значення витрат K(x) 6x 2 4x 1, виражених в грошових одиницях, якщо обсяг продукції х змінюється від 0 до 5 од. Вказати обсяг продукції, за якого витрати приймають середнє значення.

116. Визначити обсяг продукції, виробленої робітником за п’яту годину робочого дня, якщо продуктивність характеризується функцією

	f (t)	3	5.
		3t 2

117. Визначити обсяг продукції, виробленої робітником за третю годину робочого дня, якщо продуктивність характеризується функцією

	f (t)	3	4.
		4t 5

118. Продуктивність праці протягом робочого дня змінюється. Нехай функція продуктивності праці має вигляд f (t) 100 10t (дет./год).

Скільки деталей зробить робітник за дві години роботи? (Тут t – відрізок часу від початку робочого дня.)

119.Скільки вугілля видобуде шахтар за три години роботи, якщо функція продуктивності праці є f (t) 20 2t (т/год)?

120.Через деякий час після початку роботи продуктивність праці перестає зростати і стає приблизно сталою. Визначити, скільки деталей зробить робітник за восьмигодинну зміну, якщо за перші дві

376

години роботи продуктивність зростає за законом f (t) 100 10t . Наступні чотири години продуктивність праці залишається сталою та дорівнює досягнутій на кінець другої години роботи, а останні дві години зменшується за законом f (t) f (6) 15t , де f (6) -

продуктивність праці в кінці шостої години роботи. Визначити середню продуктивність праці за зміну.

121.Міська площа, яку треба заасфальтувати, має форму еліпса, велика вісь якого дорівнює 120 м, а мала – 100 м. Визначити сумарні витрати на асфальтування площі, якщо вартість асфальтування 1 м2 складає 20 грош. од.

122.Знайти середнє значення витрат, якщо функція витрат задана

рівнянням f (x) 3x 2 1 (х – обсяг виробництва), а обсяг випуску x

продукції змінюється від 1 до 4,5. Вказати обсяг продукції, за якого витрати приймають середнє значення.

123.Визначити дисконтований (початковий) обсяг прибутку, отриманого за 10 років, якщо щорічно прибуток складав 100 тис. грош. од., відсоткова ставка дорівнювала 5%. Відсотки нараховуються неперервно.

124.Обчислити початковий вклад К, якщо виплати по цьому вкладу повинні складати 100 грош. од. впродовж чотирьох років, а відсоткова ставка – 7%. Відсотки нараховуються неперервно.

125.Ріка протікає лугом, утворюючи криву y x 2x 2 , одиниця

довжини -1 км, вісь Ох – лінія шосе. Скільки гектарів лугу між шосе і рікою?

126. Сумарні ресурси для споживання визначаються за формулою

t

C e tdt,

0

де - середньорічний темп приросту ресурсів споживання, t – час. Визначити сумарні ресурси для споживання, якщо:

а) 2%,	t 5; б) 3%,	t 10; в) 2,7%,	t 4;
г) 1,9%,	t 6.

127. залежність витрат електроенергії, виробленої на електростанції впродовж доби, від часу t задається формулою

t

w f (x)dx,

0

де f (x) - навантаження на електростанцію, кВтгод, х – кількість годин роботи на електростанції, що відраховується від початку доби. Визначити витрати електроенергії:

а) за одну годину роботи, якщо f (x) 20xe x2 ;

377

б) за десять годин роботи, якщо f (x) 5x x ; в) за п’ять годин роботи, якщо f (x) ln(1 x).

128. Електропоїзд, що виходить з залізничної станції, іде з прискоренням a f (t), де t – час перебування в дорозі. Витрати електроенергії (в кВтгод) на рух електропоїзда задаються формулою

t

M f (t)dt.

0

Обчислити витрати електроенергії впродовж перших трьох годин руху, якщо:

а) f (t) te2t ;

б) f (t) ln(t 1);

в) f (t) tet2 .

129. Визначити запас товару на складі, що утвориться за два дні, якщо надходження товарів характеризується функцією f (t) 3t 2 3t 4 .

130. Визначити кількість тракторів, що випущено за п’ять років, якщо річний випуск зростав за арифметичною прогресією: f (t) a0 b0t , де t – час, років.

131. Обсяг виробленого сукупного суспільного продукту визначається за формулою

t

y(t )dt

yt y0e 0

,

де y(t) - темп приросту виробництва, t – час, у0 – початковий обсяг виробленого суспільного продукту. Знайти обсяг виробленого суспільного продукту, якщо темп приросту виробництва визначається як y(t) 2 3t t 2, t=3.

132. Функція граничного прибутку задається формулою y(x) 0,02x 10,

де х – кількість проданих одиниць товару. Визначити загальний прибуток від продажу 300 одиниць товару.

133. Виробник реактивних двигунів оцінює рівень витрат на обслуговування двигунів функцією від годин роботи двигуна:

r(x) 40 0,03x 2,

де х – кількість годин, r(x) - витрати на ремонт. Визначити витрати,

що очікуються протягом 100 годин роботи.

134. Енергозберігаюче обладнання коштує 75 тис. грош. од. Заощадження від використання такого обладнання визначаються формулою

s(t) 40e 0,5t ,

378

де t – час, років, s – заощадження, тис. грош. од. Через який час фірма покриє витрати на придбання обладнання?

ВІДПОВІДІ

1.

1/2. 2. е-1. 3. 0 I 4/27.

4. /2 I e /2. 5.

0<I<1.

6.

2/(3(

1)). 7. 7/72. 8. 464

/15.

9. /8.

10. 0,2(e 1)5 . 11. e

.

8

2

e

12.

ee-e. 13. e / 2

1 2. 14. (ln3-1)/2. 15. ln1,5. 16. 0. 17. 2/7. 18.

2/5. 19. /2. 20.

ln(4/3). 21. e /2 1 2.

22. 20+44/e. 23. 231/10.

24.

/6 20/(3

arctg(13/

arctg(3/

. 25.

/

arctg

91)

91)

91)

5

5.

26.

/64. 27. (1/68)ln5 (15/17)ln 2 /68. 28. 3 /4 9

/8. 29.

3

1-2/е. 30. /2 1.

31. 3 6 . 32.

7+2ln2. 33. 2 /2. 34. 32/3. 35.

(2/27)(4e 3 1). 36.

2. 37. 4/3. 38. 0. 39. /2 1. 41.

2 /8.

42. /4.

43. 256/15. 44. .

45. . 46. 1/4. 47. /6. 48. .

49. Розбігається.

50.

Збігається. 51. Розбігається. 52. Збігається. 53. Розбігається. 54.

Збігається. 55. Розбігається. 56. 4,5 (кв. од.). 57. 18 (кв. од.). 58. 16/3 (кв. од.). 59. 2/15 (кв. од.). 60. (41/2)arcsin(9/41)+20ln0,8 (кв. од.). 61.

2 1		(кв.			од.).	62.	8	(кв.	од.).		63.
(9 /4)		4		ln 2 (9/2)arcsin(1/3)			(кв. од.). 64. e+1/e-2				(кв. од.).
	2		2
65. 20/3	(кв. од.).				66. 169	(кв. од.).	67. (3/8) a2.		69.	8		/3 (кв.
											3
од.). 70. (3/2) a2.					71. 5 10. 72. (3 8)/32			(кв. од.).		73.	a 2 /12.

74./3 3 /2 (кв. од.). 75. 1+(1/2)ln(3/2). 76. (1/2)ln3. 77.

(20 /9)5/3. 78. 0,5[2 ln(1 2)]. 79. (1/2)ln3. 80. sh1 1,17. 81.

(a /2) eb /a			e b /a .						82.		ch6 198,06. 83. 12. 84.																5 . 86.
																					2( 1). 85.
	88.			2					2						3. 89. a.				90.							91. 8. 92.
72.					4)					4	8									a(2 3 3)/8.
		(
2 .	93. 16 (5 8)/5										(куб. од.). 94.								0,3	(куб.	од.).				95.	(e2 1)/4
(куб. од.). 96.						4 /35						(куб. од.). 97.							2 /5; 16 /3						(куб. од.). 98.
(4/3) abc (куб.							од.).				99.						(куб.		од.).	101.	72 (куб. од.). 102.
																2
(e2	e 2		4)			(кв.					од.).				103.			61 /1728				(кв.			од.).		104.
2 b[b (a2 /c 2 )arcsin(c /a)],															де c 2 a2			b2.		105. 64 /3					(кв. од.). 114.
17; 5/3. 115. 61;								1						. 116. ln(17/14) 5. 117. 3 ln(17 /13)/4 4.
												91
										3

379

118. 220 дет. 119. 69 т. 120. 910 деталей, fсер.=113,75 дет./год. 121. 188,5 грош. од. 122. 2,7. 123. 800 грош. од. 124. 348,88 грош. од.

125. 4	1	га. 126. а) 11 000 од.; б) 3560 млрд. од.; в) 18 200 од.; г)
6

9230 од. 127. а) 17 кВтгод; б) 632 кВтгод; в) 6 кВтгод. 128. а) 505

кВтгод; б) 35 кВтгод; в) 4051 кВтгод. 129. 22. 130. 5 2a0					5b0 2.
			57
131.	y y		2
		0 e		1 . 132. 2100 грош. од. 133. 5000 грош. од. 134. 5,5

років.

380

Варіанти індивідуальних завдань

Завдання 1. Обчислити визначені інтеграли

0

1. а)

(x2 5x 6)cos2xdx.

2

e2 11 ln x 1

б)

dx.

x 1

e 1

2arctg 2

dx

в)

.

sin

2

2

x 1 cos x

arctg 3

dx

г)

.

4 (3tg x 5)sin2x

д)

28 sin8 x dx.

2

1

4 1 x

3x 1

е)

dx.

2

3x 1

4 1 x 3x 1

0

16

є)

256 x2dx.

0

0

3. а)

x2 4x 3 cos xdx.

1

1 4arctg x x

б)

dx.

1 x

2

0

2arctg 2

dx

в)

.

sin

2

2

x 1 cos x

г)

arccos 4

17

3 2tg x

dx.

2sin

2

x 3cos

2

x

0

1

2

д)

sin4 x cos4 x dx.

0

7 8

6

x 2

е)

dx.

x 2

2

x

1

14 15

	0
2. а)	x2 4 cos 3xdx.
	2					x2 1 dx
	1
б)																												.
										3x 1																	2
	0 x3
	2							cos xdx
в)																										.
							2 cos x
	0
						4																				2ctg x 1
г)																																								dx.
																																						2
	arccos 4													(2sin x cos x )
												17
д)	24 sin6 x cos2 x dx.
	0
	64							1 6											23
																x													x
е)																																		dx.
					x				2								x			3							3			x	4
	1
	1
є) x2										1 x2dx.
	0
	0
4. а)	x 2 2 cos 3xdx.
	2
	2				x3dx
б)															.
								2		4
	0 x
						2											cos xdx
в)																																			.
																																3
	2arctg(1 2) 1 cos x
	arctg 3																			4tg x 5
г)																																							dx.
									1 sin2x 4cos																											2
					4																																x
	2
д)	sin2 x																			4 cos6												x 4						dx.
	0
	9
								9 2x
е)																					dx.
	6							2x 21
	3									dx
є)																									.
																		3 2
	0 9 x2

381