2. Примеры решения задач с использованием множеств

Пример 1.

Написать подпрограмму, которая вычисляет значения данного выражения: , для любых множеств А, В, С и Д. Подпрограмму оформить в виде процедуры.

{процедура вычисления значения выражения}

Procedure Calculation(A,B,C,D:variety_type; var variety:variety_type);

Var i:byte;

Begin

variety := ((A*B)+C)-D;

End;

{процедура ввода множества}

Procedure InputVariety(var variety:variety_type);

Var i:integer;

elem,kol:byte;

Begin

writeln('Введите количество элементов множества');

readln(kol);

for i:=1 to kol do

begin

write('Введите ',i,'-й элемент множества ');

readln(elem);

variety := variety +[elem];

end;

End;

{процедура вывода множества}

Procedure OutputVariety(variety:variety_type);

Var

i:byte;

Begin

write('Res=[');

for i:=0 to 255 do

if i in variety then write(i,' ');

writeln(']');

End;

3. Контрольные вопросы

1. Что такое множество?

2. Перечислите операции над множествами и проиллюстрируйте их на диаграммах Эйлера-Венна.

3. Объединение множеств и его свойства.

4. Пересечение множеств и его свойства.

5. Разность множеств и ее свойства.

6. Дополнение и его свойства.

7. Множества в программировании.

4. Задания для самостоятельного решения

Выполнить вручную следующие задания:

1. Доказать следующие равенства:

1. (A B) \ C = (A \ C) (B\C);

2. A \ B=A \ (A ∩ B);

3. = (A ∩ B);

4. A ∩ = A \ B;

5. A (B \ C) = (A B) ∩ (A \ C);

6. B (A \ B) = A B;

7. B ∩ (A \ B) = Ø.

2. Упростить следующие выражения:

1. A \ (A \ (A \ B));

2. A ;

3. (A B) ∩ (A \ B);

4. (A B) \ (A \ B);

5. A (B ∩ (A \ B)) (B \ A);

6. .

3. Построить множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяю следующим соотношениям:

1. ;

2. 0 < x < y ≤ 2x;

3. 1 < x² + y² ≤ 4;

4. 0 < 1/x ≤ y < -x +10/3;

5. 

4. Изобразить на координатной плоскости множества:

1. {1;2} × [1;2];

2. {1;2} × ([1;2] \ (1;2));

3. {1;2}2 \ {(x,y) R2|y>x};

4. {(x,y) [0;+∞), | x2 + y2 ≤ 1}.

5. Доказать следующие соотношения:

1. = B;

2. A (B \ C) = (A B) ∩ (A );

3. B (A \ B) = A B;

4. B ∩ (A \ B) = Ø;

5. A \ (A \ B) = A ∩ B;

6. A \ (B C) = (A \ B) ∩ (A \ C);

7. A \ (B ∩ C) = (A \ B) (A \ C).

6. Какие из следующих множеств конечны, а какие бесконечны? Найдите все элементы конечных множеств:

1. X={x|x R, x2-5x+4=0};

2. X= {x|x N, x2-5x+4>0};

3. X={x|x N, (y N) 2x+3y = 24};

4. X={x|x N, (y Z) 2x+3y = 24}.

7. Найти пересечение множеств всех прямоугольников и всех ромбов; множество всех параллелограммов и всех четырехугольников с равными диагоналями.

8. Решить системы уравнений:

1. где B A C;

2. где B A, A ∩ C = Ø;

3. где B A C.

9. Доказать следующие соотношения:

1. A × (B C) = (A × B) (A × C);

2. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C);

3. A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C);

4. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).

10. Даны множества A={1,6,43,32,9,16,12,33,3,15}, B={1,3,22,15,9,35,16}, C={12,6,33,3,15,21}, U={1,2,3,…50}. Проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна справедливость следующих соотношений:

1. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

2. A (B C) = (A B) C

3. 

4. 

5. A (A ∩ B) = A

6. A ∩ (A B) = A

7. (A ∩ B) (A ) = A

8. A ( ∩ B) = A B

Написать программы, вычисляющие значения следующих выражений, результат проверить решением вручную.

1. Найти A B , A ∩ B, A\B, B\A, если

1. A= {-1; -1\2; 1\2; 1}, B={0;1;2};

2. A= (0;5), B=(1;8];

3. A= (-∞;1) (5;+∞), B=[0;6].

2. Найти A B C, A ∩ B ∩ C, (A ∩ B) C, A ∩ (B C), если

1. A=[-2;2], B=(0;5), C=(1;+∞);

2. A={0;2;4;6}, B={0,1,3,5}, C={2,3,4};

3. A={{1;2},{1;3},{2}}, B={{1;2;4},{2;3},{1}}, C={{1;3},{1}}.

3. Найти дополнение множества A до множества U, если

1. U= {1;2;3;4;5;6}, A={1;3;6};

2. U= Z, A= {a|a Z, a делится на 2 или на 3}.

4. Найти все элементы множеств A × B, B × A, если

1. A= {1;2}, B={3;4;5};

2. A= {1;2}, B={1;2;3};

3. A={1}, B= {1;2;3};

4. A= Ø, B= {1;2;3;4}.

5. Найти область определения и множество значений соответствий S A×B:

1. A={1;2;3;4;5}, B={12;16}, S={(a,b)|a A, b B, a делит b};

2. A = Z2, B = N, S = {(a,b)|a=, z Z, b N, a=b};

3. A = N \ {0}, B = Q \ {0}, S = {(a,b)| a A, b B, a∙b Z};

4. A = Z, B = Q, S = {(a,b)|a A, b B, a∙b = 1};

5. A = Z, B = Q, S = {(a,b)|a A, b B, a=2b}.

6. Даны множества: U={a,b,c,d}; X={a,c}; Y={a,b,d}; Z={b,c}. Найти:

1. X ∩

2. (X ∩ Z)

3. X (Y ∩ Z)

4. (X Y) ∩ (X Z)

5. X Y

6. 

7. 

8. (X Y) Z

9. X (Y Z)

10. X \

11. (X \ Z) (Y \ Z)

7. Осуществить все операции над множествами A ={2,4,6,8}; B={3,6,9}, если U ={1,2,3,…,10}.

8. Найти элементы следующих множеств:

1. X = {x|x R, -3x+2=0};

2. X = {x|x R, <3};

3. множество всех двузначных натуральных чисел, делящихся на 5, но не делящихся на 10;

4. множество всех чисел от 0 до 30, которые можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел;

5. множество всех трехзначных телефонных номеров, сумма цифр которых равна 3.