Пример выполнения листа 4

Задача. Определить проекции линии пересечения заданных поверхностей (рис.18).

Анализ. По условию данного варианта (рис.18) в левой части пересекаются поверхности конуса и тора. Обе поверхности являются поверхностями вращения. Оси этих поверхностей не пересекаются, однако они имеют общую плоскость симметрии (совпадает с плоскостью экватора тора), поэтому в данном случае наиболее целесообразно применить способ вспомогательных эксцентрических сечений.

В правой части условия (см.рис.18) пересекаются поверхности тора и призмы. При этом одна из поверхностей (боковая поверхность призмы) находится в частном (проецирующем) положении по отношению к плоскостям проекций. В этом случае одна (горизонтальная) проекция линии пересечения уже есть, и следует определить ее фронтальную проекцию на поверхности тора.

Последовательность решения

1. Определение линии пересечения поверхностей тора и конуса.

Определяем опорные точки (рис. 19) при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Фронт. пр. , проходящая через ось конуса, пересекает его боковую поверхность по контурным образующим (справа на фронтальной проекцииl₂иl₁₁), а на

Рис. 15 Рис. 16

(Варианты 11-15) (Варианты 16-20)

Продолжение табл. 8

	Вар.		Dr
	11		80		40		70		60
	12		140		25		75		45
	13		100		25		50		75
	14		90		30		60		75
	15		110		30		60		45
Вар.		DП		XП		YП		XТ		YТ
16		70		35		40		-40		-25
17		74		50		-10		-25		-30
18		76		40		19		-40		25
19		80		35		-5		-40		30
20		72		50		16		-25		30

Рис. 17

(Варианты 21-25)

Продолжение табл. 8

Вар	DТ	RТ	XТ	DЦ	XЦ	EЦ
21	80	60	30	60	-55	85
22	70	60	35	70	-45	75
23	60	60	40	60	-40	40
24	80	80	10	80	-80	80
25	70	70	35	70	-55	45

поверхности тора пересекает по экватору q(q₁=₁;q₂). Точкаl(l₂=l₂q₂) является верхней опорной точкой искомой линии пересечения поверхности конуса и тора. Горизонтальная секущая плоскость₂пересекает конус по параллели р(р₂₂р₁), являющейся основанием конуса, а поверхность тора пересекает по меридиональной образующейm(m₂₂m₁). Точки 2 и 2’ (2₁=р₁m₁и 2₁’=p₁m₁; 2₂2₂’₂) являются нижними точками искомой линии пересечения поверхностей.

2. Определяем промежуточные точки линии пересечения (рис.15), через ось тора jпроводим некоторую фронтально – проецирующую плоскость₂в зоне между опорными точками (1₂и 2₂). Эта плоскость пересекает поверхность тора по меридиональной окружности а(а₂₂) с центром с(с₂₂). Центр сферы, пересекающей поверхность тора по этой окружности (а), должен лежать на перпендикуляреn(n₂a₂), проходящем через центр с(n₂c₂).

Для того, чтобы сфера пересекала поверхность конуса тоже по окружности, выбираем ее центр на пересечении перпендикуляраnс осью конусаi(O₂=n₂i₂), а радиусRсферыравен расстоянию от центра О до точки Т пересечения с экватором тора (Т₂=q₂₂) т.е.R=|O₂T₂|. Такая сфера, пересекая поверхность торапо окружности а(а₂), пересекает поверхность конусапо окружностиb(b₂b₁). Точки взаимного пересечения 3 и 3’ этих окружностей (3₂3₂’=a₂b₂; 3₁b₁) будут точками искомой линии пересечения поверхностей.

3. На рис. 21 эта операция повторяется еще 2 раза, для чего определяются новые центры, проводятся новые сферы аналогично вышеописанному и получаются новые точки искомой линии пересечения.

4. Получив достаточное число промежуточных точек (3,3’,4,4’,5,5’,6,6’), соединяем их плавной кривой с помощью лекала и получаем фронтальную и горизонтальную проекции линии: l₂=l₂3₂4₂5₂6₂2₂и е=2₁6₁5₁4₁3₁1₁3₁’4₁’5₁’6₁’2₁’,как показано на рис. 22. Здесь е₁=- искомая линия пересечения.

5. В правой части пересекаются поверхности тора и прямой призмы. Т.к. поверхность призмы находится в частном положении по отношению к плоскостям проекций (боковые грани призмы являются горизонтально – проецирующими плоскостями), то горизонтальная проекция искомой линии пересечения уже есть на чертеже (она совпадает с горизонтальными проекциями боковых граней призмы), и задача сводится к определению фронтальной проекции линии, лежащей на поверхности тора. Например, точка 7 лежит на параллели p’(7₁p₁’ и 7₂p₂’) поверхности тора (см. рис. 22). При этом необходимо определить опорные точки: 7,8,9,10 – точки на боковых ребрах призмы; 11,12 – точки на основании призмы; 13,14 – точки на экватореqповерхности тора, определяющие границы видимости (видимым на фронтальной проекции будет участок, находящийся ближе к наблюдателю до экватораq, т.е. между точками 13,15,7,16,14; остальные участки линии пересечения на фронтальной проекции будут невидимыми).

Рис.18 Рис.19 Рис.20 Рис.21

ЛИСТ 5

Пересечение прямой линии с поверхностью. Развертка поверхности

Условия задания и варианты приведены на рис. 23, 24, 25 и в табл. 9, 10, 11.

Пример выполнения Листа 5.

Задание. Найти точки пересечения прямой АВ с цилиндрической поверхностью. Построить развертку поверхности и нанести на нее точки пересечения.

Анализ. На чертеже заданы проекции прямой АВ общего положения и цилиндрической поверхности. Поверхность содержит по крайней мере два семейства простейших линий – окружностей и прямых (образующих). Окружности (параллели) параллельны П₂ при заданном положении цилиндрической поверхности. Второе семейство – образующие являются прямыми горизонтального уровня. Цилиндрическая поверхность основанием расположена в плоскости П₂. Прямая АВ – общего положения, поэтому, если заключить ее в горизонтально или фронтально проецирующую плоскость, то эта плоскость пересечет поверхность цилиндра по эллипсу. Поэтому рекомендуется заключить данную прямую в плоскость общего положения, чтобы эта плоскость пересекала цилиндрическую поверхность по четырехугольнику.

План решения:

1. На прямой АВ берем две произвольные точки 1 и 2 и находим их проекции.

2. Проводим через проекции точек 1 и 2 прямые m и n, параллельные образующим цилиндрической поверхности. Т.е. мы заключаем прямую АВ в плоскость общего положения, параллельную образующей цилиндрической поверхности.

3. Находим фронтальный след этой плоскости – посредника (m//n).

4. Пересечение фронтального следа основания цилиндра и фронтального следа плоскости (m//n) дают точки на основании цилиндра, проведя через них прямые // образующим цилиндра, получаем четырехугольник, по которому плоскость(m//n) пересекает цилиндр.

5. Пересечение этого четырехугольника с фронтальной проекцией прямой АВ дает нам точки пересечения К₂ и L₂. Проводим линии связи, находим К₁и L₁.

Построение развертки цилиндрической поверхности и нанесение на нее точек K и L

Так как образующие цилиндрической поверхности занимают частное положение, т.е. образующие параллельны плоскости П₁,то на П₁ образующие спроецируются в натуральную величину. Для построения развертки применяем способ раскатки.

1. Делим основание цилиндра на 12 равных частей и находим проекции этих точек (11…12).

2. За ось раскатки принимаем образующую l.

3. Для определения точек К₀ и L₀на развертке находим положение образующих на которых расположены точкиK иL. Эти образующие расположены между 5-6 и 1-12 делениями. Находим эти образующие на развертке.

5. Из К₁и L₁ проводим прямые, перпендикулярные образующим, и на пересечении определяем точки К₀ и L₀.

Найти точки пересечения АВ с конической поверхностью. Построить развертку поверхности и нанести на нее точки пересечения АВ с поверхностью (табл. 9, рис. 23,варианты1-10)

Рис. 23

Т а б л и ц а 9

№ варианта		А	В		№ варианта		А	В
1	X	155	20		6	X	30	160
	Y	125	20			Y	120	20
	Z	0	115			Z	45	110
2	X	40	145		7	X	140	25
	Y	35	115			Y	45	125
	Z	105	45			Z	100	40
3	X	150	40		8	X	35	155
	Y	120	10			Y	100	22
	Z	42	100			Z	50	115
4	X	25	170		9	X	145	15
	Y	5	140			Y	30	122
	Z	105	30			Z	100	40
5	X	145	45		10	X	10	155
	Y	15	40			Y	105	20
	Z	45	15			Z	35	105

Найти точки пересечения АВ с цилиндрической поверхностью. Построить развертку поверхности и нанести на нее точки пересечения АВ с поверхностью (табл.10, рис. 24,варианты 11-20)

Рис. 24

Та б л и ц а 10

№ варианта		А	В		№ варианта		А	В
11	X	115	30		16	X	40	130
	Y	30	85			Y	70	60
	Z	100	0			Z	5	65
12	X	35	110		17	X	110	10
	Y	95	45			Y	35	80
	Z	5	95			Z	110	0
13	X	125	50		18	X	20	105
	Y	50	75			Y	145	40
	Z	80	15			Z	10	105
14	X	30	120		19	X	120	40
	Y	95	35			Y	45	80
	Z	0	75			Z	90	25
15	X	135	45		20	X	10	115
	Y	55	80			Y	60	50
	Z	65	10			Z	0	85

Найти точки пересечения АВ с конической поверхностью. Построить развертку поверхности и нанести на нее точки пересечения АВ с поверхностью (табл. 11, рис. 25, варианты 21-30)

Рис. 25

Т а б л и ц а 11

№ варианта		А	В		№ варианта		А	В
21	X	140	0		26	X	0	120
	Y	110	40			Y	20	90
	Z	65	10			Z	5	40
22	X	130	10		27	X	145	20
	Y	105	35			Y	15	90
	Z	10	45			Z	10	60
23	X	10	150		28	X	10	135
	Y	65	75			Y	35	105
	Z	15	80			Z	65	10
24	X	125	0		29	X	0	130
	Y	110	60			Y	110	35