Разреженные газы
Полезные свойства газов, с успехом используемые в технике, в некоторых случаях играют отрицательную роль. От газа трудно избавиться, т. е. получить газ в сосуде при очень низ-\ком давлении — в состоянии вакуума, когда молекулы газа сталкиваются не друг с другом, а только со стенками сосуда.
Высокий вакуум нужен во многих случаях и главным образом в электронно-лучевых трубках и других вакуумных приборах. Иногда приходится создавать вакуум в очень больших объемах, например в огромных ускорителях элементарных частиц или для имитации космического пространства. Один из самых больших имитаторов в Хьюстоне (США) имеет диаметр 22 м и высоту 15-этажного дома (40 м). Когда астронавты высаживались на Луне, дублирующий экипаж проделывал те же операции в имитаторе. Это позволяло направлять действия астронавтов в случае непредвиденных аварий.
Высокий вакуум нужен и для многих других целей, в частности для выплавки свободных от оксидов металлов, создания термоизоляции, например в термосах.
Обычные поршневые насосы из-за просачивания газов между поршнем и стенками цилиндра становятся неэффективными. Получить с их помощью давление ниже десятых долей миллиметра ртутного столба не удается. Приходится для откачки газов применять различные сложные устройства.
В настоящее время при температуре 30 К достигнуты давления до 10-12Па. При охлаждении до температуры жидкого гелия (≈ 5 К) давление должно было бы составлять 10-31 Па. Такое давление уже невозможно измерить. Концентрация газа при таком давлении п≈3·10-11м-3. Это означает, что, например, через куб со стороной 1 м пролетит молекула 1 раз в 3 года. Даже давление в межгалактическом космическом пространстве намного больше: 10-27Па. А внутри нашей галактики давление составляет 10-15 Па.
§ 3.12. Примеры решения задач
Задачи на применение газовых законов очень разнообразны. Для их решения нельзя указать какой-либо один определенный прием. Полезными могут оказаться следующие советы.
1. Если согласно условию задачи один из трех параметров (р, V или Т) постоянный, то при Т = const надо применять закон Бойля—Мариотта (3.5.2), при p = const — закон Гей-Люссака (3.7.7), а при V = const — закон Шарля (3.10.2) или (3.10.3).
2. Если изменяются все три параметра, то следует воспользоваться уравнением состояния в форме (3.9.9) или (3.9.5).
Уравнение состояния (3.9.9) применяется в тех случаях, когда известна масса газа и часть макроскопических параметров в определенном состоянии газа и надо найти неизвестные величины.
3. Для определения давления смеси газов, не вступающих в химические реакции, используют закон Дальтона (3.8.2).
4. Во многих задачах требуется построение графиков, изображающих разного рода процессы. Для этого нужно знать зависимость параметров друг от друга, которая в общем случае дается уравнением состояния, а в частных — газовыми законами.
5. При решении большинства задач надо четко представлять себе, каково начальное состояние системы и какой процесс переводит его в конечное состояние.
Задача 1
Как измерить медицинским термометром температуру тела человека, если температура окружающего воздуха +42 °С?
Решение. Можно предварительно охладить термометр в холодильнике. Если холодильника нет, то нужно подержать термометр 5—8 мин под мышкой, извлечь его и сразу же стряхнуть. Термометр покажет температуру тела, так как ртуть в термометре сожмется при контакте с телом до объема, соответствующего температуре тела.
Задача 2
Газ в цилиндрическом сосуде разделен на две равные части подвижным поршнем, имеющим массу тп и площадь сечения S. При горизонтальном положении цилиндра давление газа в каждой половине сосуда равно р. Определите давление р1 газа над поршнем при вертикальном положении цилиндра. Температуру газа считать постоянной.
Решение.
При
горизонтальном положении цилиндра
объем каждой его части обозначим через
V
(эти
объемы равны). При вертикальном положении
цилиндра объем верхней части станет
равным V
+ ∆V,
а
нижней V—
∆V.
Давление
в нижней части цилиндра станет равным
р1
+
.Согласно
закону Бойля— Мариотта
Исключив
из этих равенств
,
получим квадратное уравнение дляp1:
Отсюда
Второй корень квадратного уравнения отрицателен и потому лишен физического смысла.
Задача 3
Поршневой насос при каждом качании захватывает воздух объемом V0. При откачке этим насосом воздуха из сосуда объемом V насос совершил п качаний. Затем другой насос с тем же рабочим объемом V0 начал нагнетать воздух из атмосферы в тот же сосуд, совершив также п качаний. Какое давление установится в сосуде? Температуру воздуха во время работы насоса считать постоянной.
Решение.
Согласно
закону Бойля—Мариотта при откачке
воздуха из сосуда после первого качания
давление в сосуде станет равным: р1
=
,
где р0—
атмосферное давление. После второго
качания будет выполняться равенство:
p1V
=
p2(V
+ V0)
и,
следовательно, р2
= р0
,
и т. д. После п
качаний
в сосуде установится давление
.
При нагнетании воздуха в сосуд после п качаний давление станет равным:
При любом п р > р0, так как во время нагнетания воздуха при каждом качании насос захватывает воздух, имеющий атмосферное давление р0, а при откачке при каждом качании удаляется воздух при давлении, меньшем р0.
Задача 4
В
запаянной с обоих концов цилиндрической
трубке находится воздух при нормальных
условиях. Трубка разделена подвижным
поршнем на две части, объемы которых V1
и
V2
относятся
как 1:2. До какой температуры t1
следует
нагреть воздух в меньшей части трубки
и до какой t2
охладить
в большей, чтобы поршень делил трубку
на две равные части, если нагревание и
охлаждение в обеих частях трубки
производятся при условии
=const?
Решение.
Условие
=const
означает, что процессы нагревания и
охлаждения происходят изобарно. При
отношении начальных объемов
эти объемы составляютV1
=
V0
и
V2=
где V0
— объем всей трубки. Конечные объемы
обеих частей одинаковы и равны V3
=
.
Согласно закону Гей-Люссака для воздуха в меньшей части трубки выполняется соотношение
а для воздуха в большей части
где Т0 = 273 К — температура, соответствующая начальным условиям. Отсюда
Задача 5
В цилиндре под поршнем находится воздух при давлении р1 = 2 • 105 Па и температуре t1 = 27 °С. Определите массу т груза, который нужно положить на поршень после нагревания воздуха до температуры t2 = 50 °С, чтобы объем воздуха в цилиндре стал равен первоначальному. Площадь поршня S = 30 см2.
Решение. Так как в процессе нагревания объем воздуха в цилиндре не изменяется, то согласно закону Шарля имеем
(3.12.1)
где
Подставляя в (3.12.1) выражение для р2, получим:
Отсюда
Задача 6
Найдите среднюю (эффективную) молярную массу сухого атмосферного воздуха, предполагая известный процентный состав воздуха по массе: азот — п1 = 75,52%, кислород — п2 = 23,15%, аргон — п3 = 1,28% и углекислый газ — п4 = = 0,05%.
Решение. Для каждого газа можно записать уравнение состояния:
Здесь М1, М2, М3 и М4 — молярные массы соответственно азота, кислорода, аргона и углекислого газа.
Складывая правые и левые части этих уравнений, получим:
(3.12.2)
Для смеси газов выполняется соотношение
(3.12.3)
где т = т1 + т2 + т3 + т4 — масса воздуха с объемом V, а М — искомая эффективная молярная масса. Согласно закону Дальтона
Сравнивая уравнения состояния (3.12.2) и (3.12.3), получим:
Разделив числитель и знаменатель на т и умножив на 100%, получим выражение для М через процентный состав воздуха по массе:
Задача 7
Закрытый с обоих концов цилиндр наполнен газом при давлении р — 100 кПа и температуре t = 30 °С и разделен подвижным теплонепроницаемым поршнем на две равные части длиной L по 50 см. На какую величину ΔT нужно повысить температуру газа в одной половине цилиндра, чтобы поршень сместился на расстояние t = 20 см, если во второй половине цилиндра температура не изменяется? Определите давление газа после смещения поршня.
Решение. Для газа в части цилиндра с постоянной температурой применим закон Бойля—Мариотта:
(3.12.4)
где S — площадь основания цилиндра. Для нагреваемой части цилиндра запишем уравнение Клапейрона:
(3.12.5)
В уравнениях (3.12.4) и (3.12.5) р1 — давление газа после смещения поршня, одинаковое в обеих частях цилиндра вследствие равновесия поршня, а Т+ ΔT в уравнении (3.12.5) — температура газа в нагретой части цилиндра.