§ 4.9. Примеры решения задач

При решении задач на применение молекулярно-кинетической теории идеального газа используются основное уравнение кинетической теории газов в форме (4.4.9) или (4.4.10) и вытекающие из него выражения для средней кинетической энергии молекул (4.5.5) и средней квадратичной скорости (4.7.2) или (4.7.3). Значительное количество задач удобно решать, используя формулу (4.5.6), связывающую давление газа с концентрацией молекул и абсолютной температурой. Внутренняя энергия идеальных одноатомных газов (например, инертных газов) вычисляется по формуле (4.8.1).

Задача 1

Чему равна масса газа, содержащегося в закрытом цилиндре вместимостью V = 0,5 л, если давление газа р = 5 • 10⁵ Па, а средняя квадратичная скорость молекул v = 500 м/с?

Решение. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

где р = т₀п — плотность газа. Но р = , гдет — масса газа, а V — его объем. Поэтому

Откуда

Задача 2

В воздухе при t = 27 °С взвешены пылинки сферической формы. Радиус пылинок r = 10^-6 м. Плотность вещества пылинок р = 1,3 • 10³кг/м³. Определите средний квадрат скорости пылинок.

Решение. Пылинки принимают участие в броуновском движении. Средний квадрат скорости пылинки

где т_б — масса пылинки. Следовательно,

Задача 3

В сосуде находится 1 л воды при температуре 27 °С. Каким стало бы давление внутри сосуда, если бы силы взаимодействия между молекулами внезапно исчезли?

Решение. При исчезновении сил взаимодействия между молекулами вода превратилась бы в идеальный газ. Давление можно найти по уравнению состояния идеального газа:

Задача 4

Два сосуда, содержащих различные газы, соединены трубкой с краном. Давление газа в первом сосуде р₁, а число молекул N₁. Давление газа во втором сосуде р₂, число молекул N₂. Какое давление установится в сосудах, если открыть кран соединительной трубки? Температуру считать постоянной.

Решение. Согласно формуле (4.5.6)

где

(здесь V₁ и V₂ — объемы сосудов). Следовательно,

После того как кран будет открыт, давления выравняются и искомое давление согласно той же формуле (4.5.6) определится уравнением:

Подставляя сюда выражения для объемов из предыдущих формул, получим:

Задача 5

Плотность газа в баллоне газополной электрической лампы р = 0,9 кг/м³. При горении лампы давление в ней возросло с р₁ = 8 • 10⁴ Па до р₂ = 1,1 • 10⁵ Па. На сколько увеличилась при этом средняя квадратичная скорость молекул?

Решение. Плотность газа р = т₀п, и основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать в форме

Поэтому

откуда

Упражнение 3

1. При какой температуре молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость, что и молекулы азота при температуре 100 °С?

2. На стенку площадью S налетает поток молекул со средней скоростью . Число молекул, движущихся по направлению к стенке, в единице объема п₀, масса каждой молекулы т₀. Найдите действующую на стенку силу и давление, если молекулы движутся перпендикулярно стенке и удары молекул о стенку абсолютно неупругие.

3. Какое давление на стенки сосуда производит водород, если число молекул в 1 см³ равно 4,1 • 10¹⁸, а средняя квадратичная скорость его молекул 2400 м/с?

4. Определите число молекул кислорода в 1 м³, если давление равно 77 кПа, а средняя квадратичная скорость его молекул 400 м/с.

5. Определите плотность газа, молекулы которого производят на стенки сосуда давление 1,6 • 10⁵ Па. Средняя квадратичная скорость молекул 800 м/с.

6. Какова средняя квадратичная скорость молекул газа, который занимает объем 1,3 м³ при давлении 5 · 10⁴ Па? Масса газа 60 г.

7. В цилиндре вместимостью 1,2 л содержится газ под давлением 10⁵ Па. Среднее значение кинетической энергии каждой молекулы равно 6 • 10^-21 Дж. Сколько молекул газа находится в цилиндре?

8. Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом V₀ при повышении температуры от Т₁ до Т₂? Атмосферное давление равно р₀.

9. Плотность смеси азота и водорода при температуре t = 47 °С и давлении р = 2 атм равна ρ = 0,3 г/л. Найдите концентрации молекул азота и водорода в смеси.

10. Ампула объемом V = 1 см³, содержащая воздух при нормальных условиях, оставлена в космосе, где давление можно считать равным нулю. В ампуле проделано отверстие. Через какое время давление в ампуле станет равным нулю, если считать, что через отверстие каждую секунду вылетает 100 млн молекул?

11. При повышении температуры идеального газа на 150 К средняя квадратичная скорость его молекул возросла с 400 до 500 м/с. На сколько надо нагреть этот газ, чтобы увеличить среднюю квадратичную скорость его молекул от 500 до 600 м/с?

12. Изменится ли внутренняя энергия идеального газа при его изотермическом сжатии?

13. Одноатомный газ, находящийся при постоянном давлении р = 2·10⁶ Па в цилиндре под поршнем площадью S = 160 см , нагревается так, что поршень перемещается на расстояние АЛ = 15 см. Найдите изменение внутренней энергии газа.