Порядок выполнения работы

1.Измерить величину параметра (сопротивление резистора или емкостьконденсатора) у80 – 100 радиоэлементов(указывается преподавателем).

2.По данным измерений составить таблицу (см. табл. 2).

3.Определить размах значений параметра, моду и медиану; рассчитать среднее арифметическое, статистическую дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

4.Используя метод моментов, построить теоретическую кривую плотности нормального закона распределения и проверить согласованность

этой кривой со статистическими данными, используя критерий χ2 Пирсона. 5. Методом сеток проверить соответствие статистических данных

нормальному закону распределения.

Содержание отчета

1.Цель работы.

2.Тип элемента и его номинальное значение; тип и номер измерительного прибора.

3.Измеренные значения параметров элементов.

4.Таблица интервалов и результатов расчёта частот.

5.Значения размаха, моды и медианы.

6.Расчет среднего арифметического, статистических дисперсий и среднеквадратического отклонения.

7.Расчет теоретической кривой плотности распределения.

8.Графики гистограммы, теоретической кривой (совмещены) и кумулятивной вероятности.

9.Расчет критерия χ2 Пирсона.

10.Вероятностная сетка и результаты проверки гипотезы о нормальном законе распределения методом сеток.

11.Анализ полученных результатов.

Контрольные вопросы

1.Что понимается под законом распределения случайной величины?

2.Понятие о ряде, функции и плотности распределения случайной величины.

9

3.Как строятся кумулятивная кривая, гистограмма?

4.Чтопонимаетсяподметодоммоментов, методомвероятностныхсеток?

5.В чем заключена основная идея критерия согласия Пирсона?

Лабораторная работа № 2

ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПАРАМЕТРА КАЧЕСТВА ПО ВЫБОРОЧНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ

Цель работы. Изучение методов оценки генеральных характеристик по выборочным значениям.

Содержание работы

1.Определение доверительного интервала для математического ожидания сопротивления партии резисторов по результатам контроля выборки (закон распределения нормальный).

2.То же для дисперсии.

3.Проверка гипотезы о равенстве дисперсий.

4.Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий.

Методические указания

Выборочные параметры являются случайными величинами. Их отклонения от генеральных параметров (погрешности) также случайны.

Оценка этих отклонений носит вероятностный характер — можно лишь указать вероятность той или иной погрешности. Для этого в математической статистике пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для генерального параметра a получена из опыта несмещен-

ная оценка a* . Требуется оценить возможную при этом ошибку. Назначим достаточно большую вероятность P , такую, что событие с вероятностью

Pможно считать практически достоверным, и найдем такое значение

ε= f (p)=εP , для которого

P(a* − a ≤ εγ )= γ.

10

При этом интервал практически возможных значений ошибки, воз-

никающей при замене a на a*, будет ± εγ . Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью p =1− γ,

называемой уровнем значимости. Выражение можно также интерпретировать как вероятность того, что истинное значение параметра a лежит в пределах

a* − εγ ≤ a ≤ a* + εγ .

Вероятность γ , называемая доверительной вероятностью, характе-

ризует н а д е ж н о с т ь полученной оценки. Интервал Jγ = a* ± εγ на-

зывается доверительным интервалом. Границы интервала называются доверительными границами. Доверительный интервал определяет точность оценки.

Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра a внутри доверительного интервала: чем больше величина γ , тем больше и величина

εγ , то есть чем с большей надежностью хотим гарантировать полученный

результат, тем в большем интервале значений он может находиться. Увеличение числа опытов приводит к уменьшению доверительного

интервала (повышению точности оценки) при постоянной доверительной вероятности или к увеличению доверительной вероятности (повышению надежности) при сохранении доверительного интервала.

Доверительный интервал для математического ожидания mR находится по неравенству

R − SRn t1− p 2 ≤ mR ≤ R + SRn t1− p 2 ,

где R, SR – среднее арифметическое и стандарт сопротивления в вы-

борке;

n – объем выборки (задается преподавателем); p – уровень значимости;

t1− p 2 – квантиль распределения Стьюдента, определяемый по уровню значимости p и числу степеней свободы (табл. П4).

11

Доверительный интервал для дисперсии σ2R при нормальном законе распределения

					f SR2	≤ σ2R ≤	f SR2	,
					χ2		χ2
					1−p		p
				2			2
где SR2 – выборочная дисперсия;
χ2	p	,	χ2	– квантили распределения Пирсона, определяемые из
1−			p
	2			2

табл. П2 по уровню значимости p и числу степеней свободы f = n −3. Сравнение дисперсий. При обработке наблюдений часто возникает

необходимость сравнивать две или несколько выборочных дисперсий. Основная гипотеза, которая при этом проверяется: можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии.

В качестве критерия значимости для сравнения двух дисперсий обычно используется критерий Фишера. Две дисперсии считаются равными с доверительной вероятностью γ , если выполняется неравенство

1

S 2

(f

) ,

≤

1R

≤ F

, f

p (f2 , f1 )

F

S22R

1−p 2

1

2

1−

2

где выборочные дисперсии определяются по формуле

∑ni (R j −

i )2

R

SiR2 =

j =1

, i =1,2 ,

ni −1

F1− p (f1, f2 ),

F1− p

(f2, f1) – квантили распределения Фишера, опреде-

2

2

ляемые из табл. П5 в зависимости от уровня значимости р и чисел степеней свободы;

n1, n2 – объемы выборок, задаваемые преподавателем.

12