ГОС / 25
.doc25. Вынужденные колебания линейного гармонического осциллятора в отсутствии и при наличии сил трения. Явление резонанса. Автоколебания.
Вынужденные колебания при гармоническом внешнем воздействии.
В том случае, когда на колебательную систему оказывается периодическое внешнее воздействие, подчиняющееся гармоническому закону, колебания описываются уравнением вида:
С учетом трения:
, (1) где - коэффициент затухания, - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания, - частота вынуждающего воздействия на систему.
В
Рис.2. Колебательный
контур с вынуждающим воздействием
Рис.1. Пружинный
маятник
с вынуждающей
силой
Описываемый им режим движения называется установившимся режимом вынужденных колебаний. Соответствующее выражение имеет вид
. (2)
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы:
. (3)
Величина (4)
характеризует отставание по фазе вынужденного колебания от обусловившего это колебание внешнего воздействия. Следует отметить, что установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающего воздействия W, а не с собственной частотой. При W = 0 выражение (3) дает статическое отклонение . (5)
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающего воздействия (рис. 3) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной колебательной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к некоторому значению называют явлением резонанса (резонансом). Резонансную частоту находят, приравнивая нулю производную , откуда (6). (7)
Рис.3. Резонансная кривая |
В
В установившемся режиме вынужденных колебаний энергия колебательной системы остается неизменной. Система непрерывно поглощает от источника внешнего воздействия энергию, которая восполняет потери, связанные с наличием затухания (сила трения при механических колебаниях, выделение теплоты на активном сопротивлении при колебаниях в контуре).
Найдем среднюю энергию, поглощаемую в единицу времени. Вычисления проведем для пружинного маятника при наличии силы трения и периодически изменяющейся внешней силы. При смещении груза на dx внешняя сила совершит работу Fdx.
Работа, совершенная в единицу времени, будет равна . Среднее значение поглощаемой в единицу времени энергии равно: . (9)
Здесь усреднение производится по одному периоду колебаний . Подставляя в интеграл (9) выражение для силы, и производную от смещения из выражения (2), получаем
, (10)
где величина j определяется выражением (4). После интегрирования находим:
. (11)
Преобразование с учетом (4) приводит к выражению:
. (7.3.12)
Учитывая, что , получаем:
. (7.3.13)
К
Рис. 4. Зависимость
поглощенной энергии от частоты
без учета трения: , (2.1) , (2.2), где . Найдем частное решение неоднородного уравнения. Решение будем искать в виде . Подставив в уравнение (2.2) получим уравнение для :. Откуда.
Общее решение однородной части уравнения является линеиной комбинацией и . Зная общее решение однородной части уравнения и частное решение можно составить общее решение неоднородного уравнения (3.2): .
Раскачка из состояния покоя.
Пусть .
-резонансный член, возникает неограниченный рост амплитуды.
Резонансные кривые при различных уровнях затухания. 1 - колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 - реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной силой трения: Fтр4>Fтр3>Fтр2. На низких частотах () . На высоких частотах () .
Автоколебания, незатухающие колебания, которые могут существовать в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, причём амплитуда и период колебаний определяются свойствами самой системы. Этим автоколебания отличаются от вынужденных колебаний, амплитуда и период которых определяются характером внешнего воздействия (приставка «авто» и указывает на то, что колебания возникают в самой системе, а не навязываются внешним воздействием). Автоколебания отличаются и от свободных колебаний (например, колебаний свободно подвешенного маятника, колебаний силы тока в электрическом контуре) тем, что, во-первых, свободные колебания постепенно затухают, во-вторых, их амплитуда зависит от первоначального «толчка», создающего эти колебания. Примерами автоколебания могут служить колебания, совершаемые маятником часов, колебания струны в смычковых или столба воздуха в духовых музыкальных инструментах, электрические колебания в ламповом генераторе. Системы, в которых возникают автоколебания, называются автоколебательными. Автоколебательные системы во многих случаях можно разделить на 3 основных элемента: 1) колебательную систему (в узком смысле); 2) источник энергии, за счет которого поддерживаются А., и 3) устройство, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему. Эти 3 основных элемента могут быть отчётливо выделены, например, в часах, в которых маятник или баланс служит колебательной системой, пружинный или гиревой завод — источником энергии, и, наконец, анкерный ход — механизмом, регулирующим поступление энергии из источника в систему. В часах, например, автоколебания осуществляются следующим образом (рис.). При прохождении качающегося балансира 1 через определённое положение (обычно дважды за период) спусковое устройство 2 и 3 подталкивает колесо балансира, сообщая ему энергию, необходимую для того, чтобы компенсировать потерю энергии за полпериода колебаний. Балансир часов совершает автоколебания с амплитудой, целиком определяемой свойствами часового механизма. Однако для того, чтобы эти автоколебания возникли, обычно нужно не только завести пружинный завод, но и слегка встряхнуть часы, т. е. сообщить начальный толчок балансиру. Т. о., часы — это в большинстве случаев автоколебательная система без самовозбуждения. В духовых инструментах продувание струи воздуха поддерживает автоколебания столба воздуха в трубе инструмента, а в струнных смычковых инструментах автоколебания поддерживаются силой трения, действующей между смычком и струной.
Спусковой механизм часов: 1 — балансир; 2 — анкерная вилка; 3 — спусковое колесо.