- •Раздел 3 неопределенный интеграл
- •1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Линейная подстановка (метод введения нового аргумента)
- •4.3. Метод замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Метод интегрирования по частям
- •1. , 4.,
- •4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей
- •4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций
4.2. Линейная подстановка (метод введения нового аргумента)
Пусть - первообразная для функции , то есть
. (11)
Тогда
. (12)
Действительно, по определению, неопределенный интеграл от функции по аргументуравен:
.
Так как то, разделив обе части приведенного выше соотношения наа, получим формулу (12).
Пример 1..
Пример 2.
.
Пример 3.
4.3. Метод замены переменной (метод подстановки)
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной или метод подстановки. Удачная замена переменной позволяет в ряде случаев упростить подынтегральное выражение, а в простейших случаях – свести интеграл к табличному.
Пусть требуется найти интеграл
,
причем непосредственно подобрать первообразную для функции не удается.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив
, (13)
где и ее производная- непрерывные функции и существует обратная функция.
Тогда
, (14)
а
=. (15)
В выражении (15) после интегрирования необходимо подставить в правую часть вместо переменной t первоначальную переменнуюх, выразив ее из соотношения (13).
Для того, чтобы доказать справедливость соотношения (15) нужно показать, что производные от его правой и левой частей равны.
Продифференцируем левую часть:
.
Правую часть продифференцируем по хкак сложную функцию, где- промежуточная функция отх, а ее производная вычисляется как производная обратной функции:.
Тогда,
.
Поскольку производные равны, то формула (15) справедлива.
Функцию необходимо подбирать так, чтобы интеграл, стоящий в правой части формулы (15) можно было вычислить.
Замечание. Иногда при интегрировании бывает целесообразнее делать подстановку вида
, (16)
где
. (17)
Поменяв местами в формуле (15) буквы хиt, получим:
=где. (18)
Пример. Рассмотрим пример 3 и применим общий метод замены переменной.
.
Пример 4.
.
Пример 5. .
Пример 6. .
Отметим, что можно было явно не выписывать подстановку, а воспользоваться свойством 6 инвариантности формул интегрирования.
4.4. Метод интегрирования по частям
Данный метод следует из интегрирования формулы для дифференциала произведения двух функций.
Пусть u иv– две дифференцируемые пох функции. Тогда дифференциал произведения этих функций равен:
или.
Проинтегрируем последнее выражение:
. (19)
Формула (19) называется формулой интегрирования по частям. Поскольку произвольная постоянная входит в интеграл, стоящий в правой части, то в формуле (19) она не записывается, а добавляется к конечному выражению после интегрирования.
Из структуры формулы (19) видно, что множитель u, стоящий в левом интеграле, заменяется наdu, то есть дифференцируется, а множительdv – заменяется наv, то есть интегрируется. Поэтому, можно ожидать, что упрощение интеграла в левой части произойдет либо от дифференцированияu, либо от интегрированияdv. На практике, упрощение зачастую происходит путем дифференцирования.
Таким образом, если в подынтегральном выражении имеется множитель, упрощающийся при дифференцировании, то его принимают за u, а все остальные множители, включая дифференциалdх – заdv. Отметим, что иногда для получения окончательного результата требуется применять формулу (19) несколько раз.
Следующие виды интегралов удобно вычислять по частям: