- •Раздел 3 неопределенный интеграл
- •1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •4.2. Линейная подстановка (метод введения нового аргумента)
- •4.3. Метод замены переменной (метод подстановки)
- •4.4. Метод интегрирования по частям
- •1. , 4.,
- •4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей
- •4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций
1. , 4.,
2., 5.,
3., 6..
В интегралах 1-3 качествеu принимают. Тогда, послеn-кратного применения формулы (19) придем к одному из табличных интегралов
, ,.
В интегралах 4-6 при дифференцировании упроститься трансцендентный множитель,или, который следует принять заu.
Вычислить следующие интегралы.
Пример 7.
Пример 8.
Приведение интегралов к самому себе
Если подынтегральная функция имеет вид:
,,и так далее,
то после двукратного интегрирования по частям получим выражение, содержащее исходный интеграл :
,
где - некоторая постоянная.
Разрешая полученное уравнение относительно , получим формулу для вычисления исходного интеграла:
.
Этот случай применения метода интегрирования по частям называется «приведение интеграла к самому себе».
Пример 9. Вычислить интеграл .
В правой части стоит исходный интеграл . Перенеся его в левую часть, получим:
.
Пример 10. Вычислить интеграл .
Отсюда: .
4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей
Определение. Простейшими правильными дробями I, II и III типов называются следующие дроби:
I. ;
II. ; (- целое положительное число);
III.; (корни знаменателя комплексные, то есть:.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей.
I. ; (20)
II. ; (21)
III. ;
Преобразуем числитель дроби таким образом, чтобы выделить в числителе слагаемое , равное производной знаменателя.
= .
Рассмотрим первый из двух полученных интегралов и сделаем в нем замену:
.
Во втором интеграле дополним знаменатель до полного квадрата:
Окончательно, интеграл от дроби третьего типа равен:
=+. (22)
Таким образом, интеграл от простейших дробей I-го типа выражается через логарифмы,II–го типа – через рациональные функции,III-го типа – через логарифмы и арктангенсы.
4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций
Одним из классов функций, которые имеют интеграл, выраженный через элементарные функции, является класс алгебраических рациональных функций, то есть функций, получающихся в результате конечного числа алгебраических операций над аргументом.
Всякая рациональная функция может быть представлена в виде отношения двух многочленови:
. (23)
Будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.
Дробь вида (23) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть,m<n. В противном случае –неправильной.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:
, (24)
где - многочлен,- правильная дробь, причем степень многочлена- не выше степени (n-1).
Пример.
Так как интегрирование многочлена сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
В алгебре доказано, что всякая правильная дробь разлагается на сумму рассмотренных вышепростейшихдробей, вид которых определяется корнями знаменателя.
Рассмотрим три частных случая. Здесь и далее будем считать, что коэффициент при старшей степени знаменателяравен единице=1, то естьмногочлен приведенный.
Случай 1. Корни знаменателя, то есть, корниуравнения=0, действительны и различны. Тогда знаменатель представим в виде произведения линейных множителей:
, (25)
а правильная дробь разлагается на простейшие дроби I-готипа:
, (26)
где – некоторые постоянные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.
Для этого необходимо:
1. Привести правую часть разложения (26) к общему знаменателю.
2. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях тождественных многочленов, стоящих в числителе левой и правой частей. Получим систему линейных уравнений для определения .
3. Решить полученную систему и найти неопределенные коэффициенты .
Тогда интеграл дробно-рациональной функции (26) будет равен сумме интегралов от простейших дробей I-готипа, вычисляемых по формуле (20).
Пример. Вычислить интеграл.
Решение. Разложим знаменатель на множители, используя теорему Виета:
.
Тогда, подынтегральная функция разлагается на сумму простейших дробей:
.
Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:
.
. (27)
В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х:
Запишем систему трех уравнений для нахождения . Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степеняххв левой и правой частях:
.
Укажем более простой способ нахождения неопределенных коэффициентов, называемый методом частных значений.
Полагая в равенстве (27) получим, откуда. Полагаяполучим. Наконец, полагаяполучим.
Тогда
.
Случай 2. Корня знаменателядействительны, но среди них есть кратные (равные) корни. Тогда знаменатель представим в виде произведения линейных множителей, входящих в произведение в той степени, какова кратность соответствующего корня:
, (28)
где .
Правильная дробь будет разлагаться сумму дробейI–го иII-го типов. Пусть, например,- корень знаменателя кратностиk, а все остальные (n-k) корней различны.
Тогда разложение будет иметь вид:
. (29)
Аналогично, если существуют другие кратные корни. Для некратных корней в разложение (28) входят простейшие дроби первого типа.
Пример. Вычислить интеграл.
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей первого и второго рода с неопределенными коэффициентами:
.
Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:
.
В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х:
Запишем систему четырех уравнений для нахождения и. Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степеняххв левой и правой части
.
Тогда
Случай 3. Среди корней знаменателяесть комплексные однократные корни. То есть, в разложение знаменателя входят множители второй степени, не разложимые на действительные линейные множители, причем они не повторяются.
Тогда в разложении дроби каждому такому множителю будет соответствовать простейшая дробь IIIтипа. Линейным множителям соответствуют простейшие дробиI–го иII-го типов.
Пример. Вычислить интеграл.
Решение. .
.
.
.