- •Міністерство освіти і науки України
- •Приклади:
- •§2. Відкриті множини метричних просторів та їх властивості
- •§3. Топологія. Топологічні простори. Приклади
- •§4. Замкнені підмножини топологічного простору
- •§5. Внутрішні точки. Внутрішність підмножини топологічного простору
- •§6. Точки дотику. Замикання підмножин топологічного простору
- •§7. Ізольовані, граничні, межові точки
- •§8. База топологічного простору. Введення топології за допомогою бази
- •§9. Неперервне відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми
- •§10. Компактні топологічні простори
- •Список використаної літератури.
§2. Відкриті множини метричних просторів та їх властивості
Нехай - метричний простір,- елемент простору,.
Множина називаєтьсявідкритою кулею з центром у точці і радіусом.
Множина називаєтьсязамкненою кулею з центром у точці і радіусом.
Множина називаєтьсясферою з центром і радіусом.
Множину називають -околом точки .
В метричному просторі можна ввести означення відстані між його підмножинами,а саме, якщо , то.
Означення відстані між підмножинами дозволяє ввести означення -околу підмножини А метричного простору. А саме, якщо міститься в М, то
Нехай М - метричний простір, U – підпростір простору М, називають відкритою множиною, якщо або U – пуста множина, або будь-яка точка з U входить в U разом з деяким своїм -околом. Тобто
Твердження 1: Нехай М – метричний простір, , тоді:
Відкрита куля - відкрита множина.
- відкрита множина.
Теорема 2 (властивості відкритих множин метричного простору):
Нехай М – метричний простір, тоді сукупність усіх відкритих множин простору М задовольняє наступним властивостям:
Пуста підмножина та вся множина М є відкритими.
Об’єднання будь-якої кількості відкритих підмножин простору М є множиною відкритою.
Перетин будь-якої скінченної сукупності відкритих підмножин з М – відкрита множина в М.
Зауваження: Перетин нескінченної сукупності відкритих підмножин метричного простору може бути відкритим.
Розглянемо відкриті підмножини:
не є відкритою підмножиною, оскільки ніякий окіл числа 1 не попадає в множину (0,1].
Твердження 2: Підмножина U множини М є відкритою тоді і тільки тоді, коли U є об’єднанням деякої сукупності відкритих куль з М.
§3. Топологія. Топологічні простори. Приклади
Нехай Т – деяка множина, тоді булеан - сукупність усіх підмножин.
Деяка сукупність підмножин множининазиваєтьсятопологією на множині Т, якщо задовольняє наступним аксіомам (аксіомам топології)
Т1: пуста множина, сама множина Т містяться в.
Т2:
Об’єднання будь-якої сукупності підмножин з також належить до.
Т3:
Перетин скінченної сукупності підмножин з належить до.
Якщо на множині Т задана деяка топологія , то пару (Т,) називаютьтопологічним простором. При цьому елементи множини Т називаються точками цього простору. А підмножини з називаютьсявідкритими підмножинами з цього простору.
Якщо заздалегідь невідомо, про яку топологію на Т йде мова, то для позначення топологічного простору можна використовувати лише позначення множини Т.
Приклад 1: (М, ) – деякий метричний простір.
Нехай - сукупність всіх відкритих підмножин цього простору. За теоремоюзадовольняє всім аксіомам топології, тоді (М,) є топологічним простором. Цю топологіюназиваютьтопологією на М, індукованою метрикою , і позначається .
Таким чином, поняття топологічного простору є деяким узагальненням метричного простору.
Нехай (Т, ) – деякий топологічний простір. Якщо на множині Т можна задати метрику, так що (Т,)=(Т,), то кажуть, що топологіяєметризованою.
Зазначимо, що далеко не всі топології є метризованими.
Приклад 2: Нехай Т – множина. =, тоді- топологія на Т, яку називаютьдискретною. Зазначимо, що дискретна топологія індукована дискретною метрикою. У цій топології усі підмножини з Т є відкритими. І зокрема, точки дискретного простору є відкритими підмножинами.
Приклад 3: Нехай Т – множина. ,задовольняє всім аксіомам топології. Цю топологію називаютьтривіальною топологією на Т.
Приклад 4: Нехай Т – нескінченна множина, покладемо:
є топологією на Т, яку називають топологією скінченних доповнень (топологією Заріського).
Приклад 5: Нехай (Т, ) – топологічний простір і нехай
Покажемо, що є топологією на множиніА.
Таким чином, - топологія на підмножині А, яку називають топологією, індукованою на А топологієюназивають підгрупою простору.
Таким чином, всяку підмножину простору Т можна розглядати як його підпростір з індукованою топологією.
Якщо , то- слабкіша,- сильніша. Найслабкіша – тривіальна, найсильніша – дискретна