Обласний комунальний вищий навчальний заклад

Інститут підприємництва "Стратегія"

Кафедра «Економічна кібернетика»

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

з дисципліни: „Чисельні методи в інформатиці”

напряму підготовки: 6.050103 „Програмна інженерія”

освітньо-кваліфікаційного рівня: бакалавр

Розглянуто та затверджено

на засіданні кафедри

протокол № ____

від ____________ 2009 р.

м. Жовті Води

2009р.

Зміст

1. Прямі методи знаходження коренів системи лінійних алгебраїчних рівнянь

2. Ітераційні методи знаходження коренів системи лінійних алгебраїчних рівнянь Метод Гаусса-Жордана обчислення значення детермінанта

3. Методи знаходження зворотної матриці

4. Знаходження коренів нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь

5. Знаходження коренів систем нелінійних рівнянь

6. Знаходження екстремальних значень функцій одної змінної .

7. Знаходження екстремальних значень функцій декількох змінних .

8. Чисельне диференцювання

9. Знаходження значень означених інтегралів .

10. Методи інтерполяції таблично заданих функцій

11. Методи наближення таблично заданих функцій

12. Задача Коші для звичайних диференційних рівнянь першого порядку .

13. Задача Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь та звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків

14. Гранична задача для звичайних диференційних рівнянь

15. Методи знаходження рішень задач математичної фізики.

16. Рекомендована література .

Тема 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами.

Системами линейных алгебраических уравнений (сокращенно - СЛАУ) называются системы уравнений вида

(2.1)

или, в матричном виде,

Ax = B, (2.2)

где :

A - матрица коэффициентов системы размерности nn

x - вектор неизвестных, состоящий из n компонент

B - вектор правых частей системы, состоящий из n компонент.

A= x= B= (2.3)

Решением СЛАУ является такой набор из n чисел, который будучи подставленным вместо значений x₁, x₂, … , x_n в систему (2.1) обеспечивает равенство левых частей правым во всех уравнениях.

Каждая СЛАУ в зависимости от значений матриц A и B может иметь

• одно решение

• бесконечно много решений

• ни одного решения.

В данном курсе будем рассматривать только те СЛАУ, которые имеют единственное решение. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A.

Методы решения СЛАУ делятся на две больших группы, называемые - прямые методы и итерационные методы. Имеется также способ сведения задачи решения СЛАУ к задаче поиска экстремума функции нескольких переменных с последующем решением ее методами поиска экстремума (об этом подробнее - при прохождении соответствующей темы). Прямые методы обеспечивают получения точного решения системы (если оно существует) за один шаг. Итерационные методы (если при этом обеспечена их сходимость) позволяют многократно улучшать некоторое начальное приближение к искомому решению СЛАУ и, вообще говоря, точного решения не дадут никогда. Однако, учитывая то, что прямые методы решения из-за неизбежных ошибок округления на промежуточных этапах расчетов тоже дают не идеально точные решения, итерационные методы могут тоже обеспечить примерно такой же результат.

Прямые методы решения СЛАУ. Наиболее часто используемыми прямыми методами решения СЛАУ являются :

• метод Крамера,

• метод Гаусса (и его модификация - метод Гаусса-Жордана)

• матричный метод (с использованием обращения матрицы A).

Метод Крамера основан на вычислении определителя основной матрицы A и определителей матриц A₁, A₂, …, A_n, которые получаются из матрицы A заменой в ней одного (i-го) столбца (i = 1, 2,…, n) на столбец, содержащий элементы вектора B. После этого решения СЛАУ определяются как частное от деления значений этих определителей. Точнее, расчетные формулы имеют такой вид

(2.4)

Пример 1. Найдем методом Крамера решение СЛАУ, у которой

A=, B=.

Имеем

A₁=, A₂=, A₃=, A₄=.