§10. Компактні топологічні простори

Нехай X – топологічний простір. Деяка сукупність підмножин називаєтьсяпокриттям простору X, якщо .

Якщо , то система підмножинназиваєтьсяпокриттям множини А, якщо .

Якщо всі - відкриті, то покриття називаєтьсявідкритим. Підпокриттям називається деяка сукупність множин з покриття. Топологічний простір X називається компактним, якщо з будь-якого відкритого його покриття можна виділити скінченне підпокриття.

Приклади:

1. Числова пряма не є компактним простором, оскільки з його покриття інтервали вигляду неможливо виділити скінченне підпокриття.

2. Скінченний відкритий інтервал (0, 2) не є компактним простором, оскільки з його покриття інтервали вигляду неможливо виділити скінченне підпокриття.

3. Замкнений інтервал є компактним простором, що доводиться в лемі Гейне-Бореля.

Нехай Х – деяка множина, - деяка система підмножин з множини Х.називаєтьсяцентрованою, коли кожна скінченна підсистема підмножин з має непустий перетин.

Твердження 1 (критерій компактності простору):

Топологічний простір Х є компактним тоді і тільки тоді, коли кожна центрована система його замкнених підмножин має непустий перетин.

Підмножина А топологічного простору Х називається компактною, якщо підпростір є компактним.

Твердження 2: Підмножина А топологічного простору Х є компактною тоді і тільки тоді, коли з кожного покриття множини А відкритими в Х підмножинами можна виділити скінченне підпокриття.

Твердження 3: Всяка замкнена підмножина А топологічного простору Х є компактною множиною цього простору.

Список використаної літератури.

1. Александрян Г.А. , Мирзаханян Э.А. Общая топология . – М.: Высш. шк. 1979. – 396 с.

2. Колмогоров А.Н. , Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989. – 624 с.

3. Мищенко А.С. , Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: МГУ. 1980. – 439с.