- •Міністерство освіти і науки України
- •Приклади:
- •§2. Відкриті множини метричних просторів та їх властивості
- •§3. Топологія. Топологічні простори. Приклади
- •§4. Замкнені підмножини топологічного простору
- •§5. Внутрішні точки. Внутрішність підмножини топологічного простору
- •§6. Точки дотику. Замикання підмножин топологічного простору
- •§7. Ізольовані, граничні, межові точки
- •§8. База топологічного простору. Введення топології за допомогою бази
- •§9. Неперервне відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми
- •§10. Компактні топологічні простори
- •Список використаної літератури.
§4. Замкнені підмножини топологічного простору
- топологічний простір, називаєтьсязамкненою, якщо - відкрита множина.
Приклад 1:
- метричний простір, як було доведено раніше і- відкриті множини, тому множинитає множинами замкненими
.
Приклад 2:
У дискретній топології замкненими будуть усі підмножини, оскільки в ній всі підмножини відкриті.
Приклад 3:
У топології скінченних доповнень, задані на нескінченній множині Т (топології Заріського) замкненими будуть та усі скінченні підмножини з Т.
Теорема 1 (властивості замкнених підмножин):
Нехай - топологічний простір.-сукупність усіх замкнених підмножин цього простору, тодімає наступні властивості:
1.
2.Перетин будь-якої сукупності замкнених підмножин з Т є підмножина замкнена.
3. Об’єднання будь-якої скінченної сукупності замкнених підмножин з Т є підмножина замкнена.
підмножиною, оскільки її доповнення не є відкритою.
Теорема 2 (про введення топології за допомогою системи замкнених підмножин):
Нехай Т – деяка множина, , що задовольняє вимогам (1)-(3) попередньої теореми, тоді на множині Т існує топологія, для якоїє системою замкнених підмножин.
§5. Внутрішні точки. Внутрішність підмножини топологічного простору
Т – топологічний простір, Довільна відкрита підмножина з Т, що містить А називається(відкритим) околом множини А.
Нехай Т – топологічний простір, Точканазиваєтьсявнутрішньою точкою А, якщо .
Сукупність усіх внутрішніх точок множини А називають внутрішністю цієї множини (Int A)
Твердження 1: Нехай Т – топологічний простір, ТодіInt A співпадає з об’єднанням усіх відкритих підмножин, що містяться в А.
Наслідок 1: IntA є найбільшою відкритою підмножиною, що міститься в А.
Наслідок 2: Множина А є відкритою тоді і тільки тоді, коли А=IntA.
Приклад 1: Розглянемо простір R, тоді Int [a, b]=(a, b)
Приклад 2: РозглянемоR, . Оскільки будь-який відкритий окіл як раціональні, так і ірраціональні числа, то
§6. Точки дотику. Замикання підмножин топологічного простору
Нехай Т – топологічний простір, називаєтьсяточкою дотику до підмножини А, якщо .
Сукупність усіх точок дотику А називається замиканням підмножини А. ([А])
Теорема (властивості операції замикання):
Нехай Т – топологічний простір, тоді операція замикання в Т має такі властивості:
1.
2.
3.
4.
Наслідок. Нехай Т – топологічний простір, - замкнена тоді і тільки тоді, коли
.
Твердження: Нехай Т – топологічний простір, Тоді- перетин усіх замкнених підмножин з Т, що містять А.
§7. Ізольовані, граничні, межові точки
Нехай Т – топологічний простір, Тоді
Точка К, яка належить множині А, називається ізольованою точкою множини А, якщо
Множина усіх ізольованих точок з А позначається IsA.
Точка х, яка належить множині Т, називається граничною, якщо
. Множина усіх граничних точок А позначається і називається похідною множини А.
Точка х, яка належить множині Т, називається межовою точкою множини А, якщо . Сукупність межових точок – це межа А (FrA).
Твердження 1: Нехай Тодірозпадається на три множини, що не перетинаються:
IsA.
- граничні точки А, що належать А.
- граничні точки А, що не належать А.
Наслідок 1: Підмножина А множини Т є замкненою тоді і тільки тоді, коли вона містить усі свої граничні точки.
Твердження 2: Нехай Тодірозпадається в об’єднання трьох підмножин, що не перетинаються:
Наслідок 2: є замкненою тоді і тільки тоді, коли вона містить усі свої межові точки.
Наслідок 3: Тоді:
1.
2.
3.
Приклади: 1.
2.