§8. База топологічного простору. Введення топології за допомогою бази

Нехай - топологічний простір,- його топологія.називаєтьсябазою топології , якщо будь-яка підмножина зє об’єднанням деякої сукупності підмножин з(при цьому вважається, щоє об’єднанням пустої сукупності підмножин з).

Твердження 1 (критерій бази): - топологічний простір.є базою топологіїтоді і тільки тоді, коли

Доведення: Припустимо, що - база топології. Виберемо довільну точкуі деякий її окіл. Оскількиє відкритою множиною, то він є об’єднанням деякої сукупності підмножин. Оскільки, то з означення об’єднання випливає, що.

Припустимо тепер, що задовольняє умові критерію, і покажемо, що тоді- база топології, тобто будь-яка відкрита підмножинає об’єднанням деякої сукупності підмножин з.

Дійсно, оскільки - відкрита, то. Тоді за умовою критерію:

. Все доведено.

Приклади: 1. З розділу “Відкриті підмножини метричного простору ” випливає, що утворює базу індукованої топології. Оскільки будь-яка відкрита підмножина з М є об’єднанням деякою сукупності відкритих куль. Але ця топологія має і меншу базу:.

2. В природній топології числової прямої R базу утворюють усі обмежені відкриті інтервали . Відзначимо, що хоча ця топологія наR має потужність контінум, але вона має зліченну базу , що випливає з критерію бази.

Твердження 2 (необхідна умова бази): Нехай - топологічний простір. Якщоє базою топології, тозадовольняє наступним умовам:

1.

2.

Теорема( про введення топології за допомогою бази): Нехай Т – деяка множина і . Припустимо, щозадовольняє умовам 1) і 2) попереднього твердження, тоді існує єдина топологіяна Т, для якоїє базою.

§9. Неперервне відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми

Нехай X, Y - топологічні простори. Відображення називаєтьсянеперервним в точці , якщо .

Якщо відображення - неперервне в, то воно називаєтьсянеперервним відображенням топологічних просторів.

Нехай - деяка база просторуХ, - деяка база просторуY. Означення неперервності відображення можна ввести , використовуючи тільки елементи баз цих просторів, а саме:

Твердження 1: Нехай X, Y - топологічні простори, ,- їх бази. Відображеннябуде неперервним втоді і тільки тоді, коли

Розглянемо тепер неперервні відображення метричних просторів.

Оскільки сукупність усіх -околів метричного простору утворює базу його топології, то можна ввести наступні означення неперервності відображень метричних просторів.

Нехай X, Y - метричні простори, ,.Відображення називаєтьсянеперервним в точці х, якщо:

.

Оскільки іє елементами бази просторівX, Y , то згідно твердження 1, це означає еквівалентне означенню неперервності відображення топологічних просторів. В окремому випадку числових функцій (функцій, заданих на просторіR) означення неперервності має наступний вигляд:

Функція f неперервна в точці , якщо:

Твердження 2 (критерій неперервності відображень топологічних просторів):

Нехай X, Y - топологічні простори, неперервне тоді і тільки тоді, коли :

1. Прообраз будь-якої відкритої множини з Y є відкритою множиною в X.

2. Прообраз будь-якої замкненої множини з Y є замкненою множиною в X.

Твердження 3: Композиція (суперпозиція) неперервних відображень топологічних просторів є неперервним відображенням, тобто, якщо X, Y, Z – топологічні простори, і- їх неперервні відображення, тоє неперервним відображенням топологічних просторів.

Нехай X, Y – топологічні простори. Відображення називаєтьсягомеоморфізмом, якщо f – бієктивне, неперервне і зворотне до нього відображення.

також є неперервним.

Якщо між просторами X та Y існує гомеоморфізм, то такі простори називаються гомеоморфними і позначаються так: .

Нехай X, Y – топологічні простори. Відображення називається:

1. відкритим, якщо образ будь-якої відкритої множини є відкритою множиною вY.

2. замкненим, якщо образ будь-якої замкненої множини зX є замкненою множиною в Y.

Твердження 4: Нехай X, Y – топологічні простори, бієктивне неперервне відображення є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли воно є відкритим (замкненим).

Наслідок: Якщо між топологічними просторами X, Y існує гомеоморфізм , то для довільної множинивиконуються співвідношення:

1.

2.

3.

Якщо між топологічними просторами існує гомеоморфізм, то вони мають однакові топологічні властивості. У загальній топології гомеоморфні простори вважаються однаковими.

Твердження 5: Гомеоморфність є співвідношенням еквівалентності на класі усіх топологічних просторів, тобто:

1.

2.

3.

Сукупність усіх топологічних просторів розпадається на класи гомеоморфних просторів і вони не перетинаються. Ці класи називаються топологічними типами. Гомеоморфні простори мають однакові топологічні типи.