Означення 1.4.3. Нехай D −множина всіх двійкових дробів, D0 −

множина усіх двійкових дробів, зображення яких містить нескінченну множину чисел αk , що дорівнюють 0, D1 − множина всіх двійкових дробів,

зображення яких містить одиницю в періоді.

В силу теореми 1.4.2 D0 має потужність континуум, а множина D1 −зчисленна, тому що вона нескінченна і є підмножиною множини раціональних чисел. Отже D = D0 D1 − множина потужності континууму.

Приклади важливих множин потужності континууму.

1. Множина H ={(k1,k2 ,...,kn ,...)} всіх зростаючих				послідовностей
натуральних чисел має потужність континууму.
Доведення.	Встановимо	взаємно	однозначну відповідність між
множиною D0 і	H. Кожному	елементу	(k1,k2 ,...,kn ,...)	із множини H

поставимо у відповідність двійковий дріб 0,α1α2 ...αn ... D0 , у якого числа

αk з номерами k1,k2 ,...,kn ,... дорівнюють нулю, а всі інші – одиниці. Різним
елементам множини H відповідають різні двійкові дробі і довільна дріб
0,α1α2 ...αn ... D0	при цьому відповідає	послідовності	натуральних	чисел
k1,k2 ,...,kn ,..., для яких αkn = 0.
2. Множина	S ={(m1,m2 ,...,mn ,...)}	всіх послідовностей натуральних
чисел має потужність континууму.
Доведення.	Встановимо взаємно	однозначну	відповідність	між

множиною S і H. Кожному елементу (k1,k2 ,...,kn ,...) із множини H поставимо
у відповідність послідовність	(k1,k2 − k1,...,kn − kn−1,...). Оскільки

послідовність (k1,k2 ,...,kn ,...) зростає, послідовність (k1,k2 − k1,...,kn − kn−1,...)

є елементом множини S . Різним елементам (k1				,k1	,...,k1 ,...),	(k 2	,k 2	,...,k 2 ,...)
			1	2	т	1	2	т
множини H відповідають різні елементи множини S і довільна послідовність
(m1,m2 ,...,mn ,...)	із	множини	S	відповідає		послідовності

(m1,m2 + m1,...,mn + mn−1 +...+ m1,...) H .

3. Якщо елементи множини А	визначаються			скінченною			або
зчисленною множиною значків, тобто	A ={ax ,x ,...,x	m	} або	A ={ax	,x	,...,x	,...},
	1 2			1	2	m

кожен з яких приймає, незалежно від інших, континуум значень, то А має потужність континууму.

Доведення. В силу транзитивності еквівалентності, можливо вважати, що кожен значок приймає значення з множини S ={(m1,m2 ,...,mn ,...)} − усіх послідовностей натуральних чисел. Тоді кожному фіксованому значенню значка x0j відповідає елемент (m1j ,m2j ,...,mnj ,...) із множини S . Поставимо у

відповідність елементу ax10 ,x20 ,...,xm0 (або ax10 ,x20 ,...,xm0 ,...) послідовність натуральних чисел, яка визначається наступним чином: m11 − перший елемент

13

послідовності, а потім записуємо елементи mkj «пачками» , включаючи в n –

ую пачку усі елементи mkj , сума індексів яких дорівнює n і записуючи

елементи їх відповідно зростанню верхнього індексу j. Легко бачити, що указана відповідність взаємно однозначна.

4. Множина A={(ξ	,ξ	2	,...,ξ	k	),ξ	j	R1	, j =1,2,...,k} − всіх точек к-
1

вимірного евклідового простору Rk , координати яких приймають континуум значень, є множиною потужності континууму.

Дійсно елементи множини A визначаються k значками (координатами точки). Отже, в силу властивості 3 множин потужності континууму, множина A має потужність с.

5. Множина Т всіх послідовностей (α1,α2 ,...,αn ...), де αk = 0 або 1,

має потужність с.

Доведення випливає з того, що між множиною Т і множиною D −всіх двійкових дробів, можливо установити взаємно однозначну відповідність,

зважаючи, що елементу (α1,α2 ,...,αn ...) Т відповідає двійковий дріб

0,α1α2 ...αn ... .

6. Множина H R ={(x1,x2 ,...,xn ,...)} всіх послідовностей дійсних чисел

має потужність континууму.

Дійсно, елементи множини H R визначаються зчисленною множиною

значків – членами послідовності, кожен з яких приймає, незалежно від інших, континуум значень, отже H R має потужність континууму.

5.1 Існування потужності більшої, ніж с

Теорема 1.5.1. Нехай A −довільна

множина

і L(A) −множина усіх

підмножин

множини

A .

Тоді

потужність

множина

A менша

за

потужність множини L(A), тобто

.

<

A

L(A)

Доведення.

Покажимо спочатку, що

≤

. Позначимо літерою S

A

L(A)

множину

усіх

одноелементних

підмножин

множини

A ,

тобто

S ={{a}, a A}.

Кожному

елементу {a} множини S

поставимо

у

відповідність елемент

a A.

Очевидно, що ця

відповідність

взаємно

однозначна.

Тепер доведемо, що

L(A)

не еквівалентна множині

A .

Припустимо

протилежне,

що

L(A) ~ A

і

нехай

ϕ(a), a A,−взаємно

однозначне

перетворення множини A на L(A). Кожен елемент a A або належить

14