Двійкові дроби.

Означення 1.4.2. Двійковим дробом називається сума ряду ∑∞ αk , де

k=1 2k

αk = 0 або 1.

Цей ряд збігається, сума його невід’ємна і не перевищує одиниці тому, що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Отже кожному

двійковому

дробу

відповідає

∞

α

k . Двійковий дріб

число – сума ряду ∑

k=1

2k

будемо

зображати

символом

0,α1α2 ...αn ... і також

називати

двійковим

дробом.

Двійковий

дріб

виду

k

αk

, де

αk

=1, називається

двійково-

∑0

k=1 2k

0

m

раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу

, де m

2k0

непарне

число менше за

2k0 . Двійково-раціональне

число

k0 αk крім

k∑=1 2k

зображення

0,α1α2 ...αk0 −11(0) (запис

(0) («0 в періоді») означає, що усі

αk = 0 ,

якщо k > k0 ) має зображення

0,α1α2 ...αk0 −1 0(1).

Теорема 1.4.2. Кожному числу x з інтервала (0; 1), що не є двійково-

раціональним числом, відповідає єдиний двійковий дріб.

Доведення. Нехай

x (0;1) і не є

двійково-раціональним числом.

Необхідно побудувати αk

для будь-якого k

і довести, що частинна сума

Sk

∞ α

k

прямує до числа x . Визначимо спочатку число α1 . Якщо x <1/ 2 ,

ряду ∑

k=1

2k

α1 = 0 .

Тоді

S1 = 0

і

S1 < x < S1 +1/ 2 .

Якщо x >1/ 2,

то

покладемо

покладемо

α1 =1 .

Тоді

S1 =1/ 2

і

S1 < x < S1 +1/ 2 .

Припустимо,

що

визначені числа α1,α2 ,...,αm ,

m ≥1

такі, що

Sm < x < Sm +1/ 2m . Знову

розглянемо

два випадки.

Якщо

x < Sm +1/ 2m+1 ,

то покладемо

αm+1 = 0 .

Sm+1 = Sm і

Sm+1 < x < Sm +1/ 2m+1 .

Якщо x > Sm +1/ 2m+1 , то

покладемо

αm+1 =1 . Тоді Sm+1 = Sm +1/ 2m+1

і Sm+1 < x < Sm +1/ 2m = Sm+1 +1/ 2m+1. Число

x не може дорівнювати Sm +1/ 2m+1 ,

тому що x

не є двійково-раціональним

числом. Слід, в силу принципу математичної індукції,

αk визначено для

будь-якого

натурального

k

і

Sk

< x < Sk

+1/ 2k . З

останній

нерівності

випливає 0 < x − Sk <1/ 2k . Теорема доведена.

12