1.2.3. Модель международной торговли.

Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соот­ношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т. е. не было дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможен­ные пошлины и даже торговые войны.

Для простоты изложения рассмотрим три страны-участницы торговли с государственными бюджетами Х₁, Х₂, Х₃, которые условно назовем США, Германия и Израиль. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри стра­ны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, 1/4 бюджета – на товары из Германии, оставшуюся 1/4 бюджета – на товары из Израиля. Германия тратит поровну свой бюджет на закупку товаров в США, внутри страны и у Израиля. Израиль, в свою очередь, тратит 1/2 бюджета на закупку товаров у США, 1/2 бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны.

Введем структурную матрицу торговли:

, (1.2.4)

где коэффициенты матрицы а_ij – часть госбюджета, которую j-я страна тратит на закупки товаров i-й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице.

После подведения итогов торговли за год страна под номером i получит выручку P_i = а_i1Х₁ + а_i2Х₂ + а_i3Х₃.

Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

P_i  Х _i, для всех i.

Справедливо следующее утверждение: условием бездефицитной торговли являются равенства P_i =Х _i, i = 1, 2, 3.

В матричной форме это утверждение выглядит следующим образом

АХ=Х или (А – Е)Х=0, (1.2.5)

где .

Решая систему (1.2.5) с матрицей (1.2.4) методом Гаусса, получим бесконечное множество решений:

Х₁=2Х₃, Х₂= 3/2Х₃,

где Х₃ принимает произвольное значение.

Это означает, что для сбалансированности торговли этих трех стран госбюджет США должен быть в 2 раза, а госбюджет Германии в полтора раза больше госбюджета Израиля.

1.2.4. Практический блок Пример

Задание:

1. Найти объемы выпуска продукции по каждой из отраслей, предварительно обосновав сущность нестандартного решения.

2. Рассчитать новый план выпуска продукции, при условии, что конечный спрос на продукцию U-ой и -ой отраслей возрос соответственно на 85 и 97 единиц. Вычислить абсолютные и относительные приросты объема, выполненные по каждой из отраслей.

3. Скорректировать новый план, с учетом того, что отрасль не может увеличить объемы выпуска своей продукции более чем на 2 единицы.

4. Рассчитать матрицу полных затрат.

Исходные данные:

A =

0.02 0.01 0.01 0.05 0.06

0.03 0.05 0.02 0.01 0.01

0.09 0.06 0.04 0.08 0.05

0.06 0.06 0.05 0.04 0.05

0.06 0.04 0.08 0.03 0.05

C =

235 194 167 209 208

, ,.

0) Проверим матрицу А на продуктивность:

Матрица А является продуктивной матрицей.

1. (I-A) =

J – единичная матрица;

A – заданная матрица прямых затрат;

–вектор (план) выпуска продукции, подлежащей определению;

–вектор конечного спроса.

Произведем расчеты, используя метод Гаусса.

; ;

;

;

;

Решая систему, получим:

2)

;

;

Решение:

3) Скорректировать новый план, с учетом того, что отрасль не может увеличить объем выпуска своей продукции, более чем на 2 единицы.

Подставляя значение в исходную систему уравнений, получим:

;

;

;

Решаем систему уравнений методом Гаусса:

4) Рассчитаем матрицу полных затрат.

Произведем обращение матрицы:

.

Тесты

1. Какое матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель Леонтьева:

1. (E – A)*X = C; б) A*X = X; в) A*X = E.

2. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А:

1. (E – A)*X = Y; б) A*X = B; в) |A - lE| = 0.

1. В основе математического обеспечения статической модели МОБ лежит:

а) математическая статистика;

б) линейная алгебра;

в) теория графов.

3. Коэффициент прямых затрат а_ij характеризует:

а) количество валовой продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы конечной продукции j- й отрасли;

б) количество валовой продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли;

в) количество конечной продукции i-й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли.

4. Матрица прямых затрат А характеризует в экономике:

а) динамику финансовых процессов;

б) динамику технологических процессов;

в) воспроизводственные процессы.

5. Коэффициент полных затрат b_ij показывает:

а) объём валовой продукции i -й отрасли, необходимый для производства единицы конечной продукции j- й отрасли;

б) количество конечной продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли.

в) объём валовой продукции i -й отрасли, необходимый для производства единицы валовой продукции j- й отрасли;

6. Коэффициенты прямых материальных затрат рассчитываются:

   1. ; б) ; в).

7. Экономико–математическая модель Леонтьева в матричной форме имеет вид:

1. Х = ВХ + Y; б) Х = (Е-А)^-1Y; в) Х = АХ + Y.

8. Межотраслевой баланс отражает:

1. производство и распределение валового национального продукта по отраслям;

2. межотраслевое распределение национальной валюты;

3. использование материальных и трудовых ресурсов.

9. Первый квадрант МОБ отражает:

1. отраслевую материальную структуру национального дохода;

2. межотраслевые потоки валовой продукции;

3. конечное распределение и использование национального дохода.

Ответы к тестам

1) б	6) а
2) в	7) б
3) б	8) б
4) б	9) а
5) в	10) б