- •Министерство науки и образования российской федерации
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге 13
- •Тема 1.2. Балансовые модели 49
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений 64
- •Тема 2.2. Линейное программирование 77
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа 105
- •Тема 2.4. Математические основы управления проектами 131
- •Тема 2.5. Математические методы логистики 163
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания 177
- •Тема 2.7. Состязательные задачи 196
- •Тема 2.8. Динамическое программирование 236
- •Тема 2.9. Многокритериальная оптимизация 268
- •Введение
- •Раздел 1. Применение математического анализа и алгебры
- •Тема 1.1. Математические методы в маркетинге
- •1.1.1. Основы моделирования спроса и потребления.
- •1.1.2. Коэффициенты эластичности спроса по цене: практическое значение, оценивание, свойства.
- •1.1.3. Функции спроса, уравнение Слуцкого
- •1.1.4. Производственные функции.
- •1.1.5. Функции выпуска продукции; функции затрат ресурсов.
- •1.1.6. Экономические примеры производственной деятельности фирм.
- •Пример 5. Предположим, что необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли y, затраты трудовых ресурсов l и объем используемого капитала к:
- •Исходя из теоретических знаний можем предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается пф Кобба-Дугласа .
- •Задания и задачи
- •1.1.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 1.2. Балансовые модели
- •1.2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •1.2.2. Модель равновесных цен
- •1.2.3. Модель международной торговли.
- •1.2.4. Практический блок Пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •1.2.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Раздел 2. Экономико-математические методы
- •Тема 2.1. Моделирование задач принятия решений
- •2.1.1. Этапы математического моделирования.
- •2.1.2. Основные понятия математического моделирования.
- •2.1.3. Основные типы экономических моделей
- •2.1.4. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
- •Что представляет собой целевая функция экстремальной задачи.
- •Приведите примеры экономико-математических моделей.
- •2.1.5. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.2. Линейное программирование
- •2.2.1. Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования.
- •2.2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •2.2.3. Общая задача линейного программирования.
- •2.2.4. Устойчивость оптимального решения.
- •2.2.5. Обьективно-обусловленные оценки.
- •2.2.6. Двойственная задача линейного программирования.
- •2.2.7. Применение основной задачи линейного программирования к решению некоторых экономических задач
- •1. Задача использования ресурсов.
- •2. Задача оптимального использования удобрений.
- •3. Задача составления диеты.
- •4. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)
- •5. Задача о раскрое материалов.
- •2.2.8. Практический блок Пример
- •2. Графическое решение системы и определение оптимальных объемов производства.
- •5. Объективно обусловленные оценки ресурсов
- •6. Устойчивость решения при изменении удельной прибыли.
- •8. Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.2.9. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.3. Задачи транспортного типа
- •2.3.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи.
- •2.3.2. Исходный опорный план.
- •2.3.3. Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •2.3.5. Вырожденные случаи. Открытая транспортная задача.
- •2.3.6. Практический блок Пример
- •1. Математическая модель.
- •2. Получение начального (опорного) плана методом северо-западного угла
- •3. Итерации по улучшению плана до получения оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.3.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.4. Математические основы сетевого моделирования
- •2.4.1. Построение сетевых графиков.
- •2.4.2. Временные параметры сетевого графика
- •2.4.3. Методы оптимизации сетевого графика
- •2.4.4. Организационные аспекты применения сетевых моделей
- •2.4.5. Практический блок Примеры
- •1. Построение сетевых графиков, согласно заданному порядку предшествования работ.
- •8. Критическое время это:
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.4.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.5. Математические методы логистики
- •2.5.1. Экономическое содержание задач управления запасами.
- •2.5.2. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2.5.3. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •2.5.4. Простая вероятностная модель.
- •2.5.5. Практический блок Примеры
- •1. Детерминированная статическая модель без дефицита.
- •2. Детерминированная статическая модель с дефицитом.
- •3. Вероятностная модель
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.5.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.6. Задачи массового обслуживания
- •2.6.1. Общие понятия теории очередей.
- •2.6.2. Одноканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
- •2.6.4. Прикладные аспекты теории массового обслуживания.
- •2.6.5. Практический блок Примеры
- •1. Одноканальная система обслуживания с неограниченной очередью
- •2. Одноканальная система обслуживания с ограниченной очередью.
- •3. Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.
- •Контрольные воросы
- •Задания и задачи
- •2.6.6. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.7. Состязательные задачи
- •2.7.1. Основные понятия теории игр.
- •2.7.3. Игры с природой
- •2.7.4. Биматричные игры
- •2.7.5. Понятие коалиционных игр.
- •2.7.6. Практический блок Примеры
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.7.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •Тема 2.8. Динамическое программирование
- •2.8.1. Область применения моделей динамического программирования.
- •2.8.2. Основные идеи динамического программирования.
- •2.8.3. Распределение q средств между n предприятиями.
- •2.8.4. Динамическая задача управления запасами.
- •2.8.5. Стохастическое динамическое программирование.
- •2.8.6. Задачи износа и замены оборудования
- •2.8.7. Практический блок Пример 1
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.8.8. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •2.9. Многокритериальная оптимизация.
- •2.9.1. Понятие многокритериальности.
- •2.9.2. Оптимальность по Парето.
- •2.9.3. Метод идеальной точки.
- •Заданы две целевые функции
- •2.9.4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий
- •2.9.5. Общая классификация эвристических методов решения многокритериальных задач
- •2.9.6. Практический блок Пример 1
- •Пример 2
- •Контрольные вопросы
- •Задания и задачи
- •2.9.7. Самостоятельная работа студентов Рекомендуемые темы рефератов
- •Литература для самостоятельной работы
- •1. Математические методы в маркетинге
- •2. Исследование производственных функций
- •Вопросы для подготовки к зачету
- •Итоговые тесты
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный указатель
2.6.3. Многоканальные системы массового обслуживания.
Модель 3.
Пусть параллельно могут обслуживаться не более s клиентов. Такие модели называются многоканальными (s – число каналов обслуживания). Здесь n = (n0), n = n при n s , n = s при n s. Рассмотрим случай неограниченной длины очереди.
Для данной модели расчетные формулы (Эрланга) имеют вид:
Рn = Р0(/)n / n (n s), (2.6.9)
Рn = Р0(/)n / s/sn-s (n s), (2.6.10)
(2.6.11)
Для –среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:
= Р0(/)s+1/(s–1)/(s–/)2, (2.6.12)
для общего числа клиентов, находящихся в системе, имеем
n = +/, (2.6.13)
для –среднее время ожидания обслуживания:
=/. (2.6.14)
Вероятность обязательного пребывания в очереди равна вероятности занятости всех каналов обслуживания. Обозначим ее через W. Тогда
W= Р0(/)s/s. (2.6.15)
Известный интерес представляет вероятность того, что суммарное время обслуживания и его ожидания превзойдет заданную величину t. Обозначим эту вероятность через Р(>t).
Р(>t)=e–t(1+(W/s)(1– e–st(1–/s–1/s))/(1–/s–1/s)). (2.6.16)
Вычисления в соответствии с данной моделью могут оказаться весьма громоздкими, тогда используют приближенные методы. Например, при /1 можно принять Р0 1 – /, (/)s+1/s2, тогда как для значений /, близких к 1,
Р0 (s – /)(s – 1)! /ss и (/)/(s – /).
Пример 2.6.4. Пусть на нашей станции 3 канала обслуживания (исполнителя), а мест для ожидания неограниченное число. Пусть, как и прежде = 5 и =6. Имеем / =0.833, s =3 и
Р0 = 1/(0.8330/0+0.8331/1+0.8332/2!+ 0.8333 /(3!(1 –0.833/3))) = 0.432,
=0.4320.8334/2/(3–0.833)2 = 0.022,
=0.022/5 = 0.0044 часа.(16 сек.)
Таким образом, при данных условиях 43.2% времени станция простаивает, среднее время ожидания обслуживания составляет 16сек. С точки зрения клиента отлично, но простой оборудования (исполнителей) влетает в копеечку. Кроме того, имеем:
Р1 =0.40, Р2 =0.15, Р3 =0.04.
Вычислим параметры системы при 2 исполнителях.
Р0 = 1/(0.8330/0+0.8331/1+ 0.8332 /(2!(1 –0.833/2))) = 0.412,
= 0.4120.8333/1/(2–0.833)2 = 0.17,
= 0.17/5 = 0.034 часа.(2 мин.)
Простой составляет 41.2% времени, среднее время ожидания 2 мин.
Сравним с результатами примера 2.6.2, где при наличии только одного исполнителя простой составлял 17%, а среднее время ожидания 50 мин. В силу малого времени ожидания параметры W и Р(>t) в данном примере интереса не представляют. Р1 =0.34, Р2 =0.14, Р3 =0.06.
Модель 4.
Рассмотрим теперь модель, которая отличается от предыдущей только тем, что число мест для ожидания обслуживания ограничено величиной k. Здесь n = при 0≤n < k+s и n =0 при n k+s; n = n при ns, n = s при s ≤ n ≤ s+k.
Формулы для характеристик модели имеют вид:
Рn = Р0(/)n / n (n s), (2.6.17)
Рn = Р0(/)n / s/sn-s (s ≤ n ≤ s+k ), (2.6.18)
, /≠s, (2.6.19)
, /=s, (2.6.20)
Для –среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:
=Р0(/)s+1(1–(/s)k–k(/s)k(1–/s))/(s–1)/(s–/)2, /≠s, (2.6.21)
=Р0(/)sk(k+1)/(2s), /=s, (2.6.22)
для –среднее время ожидания обслуживания:
=//(1– Рk+s). (2.6.23)
Пример 2.6.5. Пусть в дополнение к последнему примеру наша станция располагает двумя местами для ожидания обслуживания (k=2 и s=2). Тогда получим:
Р0=1/(0.8330/0+0.833/1!+0.8332(1–(0.833/2)2+1)/2!/(1–0.833/2)) = 0.423,
=0.4230.8333(1–(0.833/2)2–2(0.833/2)2(1–0.833/2))/1/(2–0.833)2=0.25,
и =0.25/5/(1– Р2+2)= 0.25/5/(1 – 0.4230.8334 /2/22)=0.05 час.
Для двух каналов обслуживания входной поток заказов очень слабый, изменим его, пусть =12, тогда /=2= s и мы имеем
Р0=1/(20/0 +2/1!+22(2+1)/2!)= 0.111,
=0.111*22*2*3/(2*2)=0.67,
=0.67/12/(1–Р2+2)=0.67/12/(1–0.11124/2/22)=0.07 ч.
При таком входном потоке простой оборудования составляет 11.1%, а среднее время ожидания обслуживания 0.0760= 4.3 мин.
Рассмотрим более крупный пример, на котором нагляднее иллюстрируются формулы моделей 3 и 4.
Пример 2.6.6.
Вариант 1. Имеем станцию с 4 каналами обслуживания и с неограниченным количеством мест для ожидания. Пусть =20 заявок в час, время обслуживания одной заявки 11.5 мин. (=60/11.5=5.217), тогда /=20/5.217=3.83 и s=4. Используем (2.6.11):
Р0= 1/(3.830/0!+3.83/1!+3.832/2+3.833/3+3.834/4/(1–3.83/4))=0.0042.
Из (2.6.12)–(2.6.14) получаем среднее время ожидания:
=0.00423.835/3!/(4–3.83)2/20= 1 час.
Вероятность обязательного пребывания в очереди (2.6.15):
W= 0.00423.834/4=0.886.
Найдем вероятность того, что суммарное время обслуживания и ожидания превзойдет величину t=0.5 (30 мин.). Применим (2.6.16):
Р(>0.5) =e–5.217/2(1+0.886/4)(1–e–5.2174/2(1–3.83/4–1/4))/(1–3.83/4–1/4))=0.7.
Таким образом, 88.6% клиентов обязательно проходят через очередь, причем 70% находятся в ней более получаса (правда, включая время обслуживания).
Вариант 2. Добавим к варианту 1 ограничение на количество мест для ожидания. Пусть k=16, тогда из (2.6.19) находим сначала
Р0=1/(1+3.83+3.832/2!+3.833/3+3.834(1–(3.83/4)17)/4!/(1–3.83/4))=0.00759
и, следовательно, из (2.6.21) получаем
=0.007593.835(1–(3.83/4)16–16(3.83/4)16(1–3.83/4))/3/(4–3.83)2=5.82.
Поскольку Р20=3.83200.00759/4!/416=0.03397, используя (2.6.23), имеем для среднего времени ожидания обслуживания:
=5.82/20/(1–0.03397) =0.301 часа.(18 мин.)
Сравнивая варианты 1 и 2, видим, что при ограничении мест для ожидания, продолжительность ожидания сокращается более чем в три раза, причем это достигается ценой потери около 3.4% потенциальных клиентов (Р20=0.03397).