1.5. Дисконтирование и наращение по процентной и учетной ставкам.

Часто при выдаче кредита необходимо найти первоначальную сумму при известной конечной сумме. В зависимости от типа процентной ставки используют два типа дисконтирования. Дисконтирование по процентной ставкеназывается математическим дисконтированием, а дисконтирование по учетной ставкеназывается банковским дисконтированием. Для того, чтобы различать формулы для банковского и математического дисконтирования или наращения, далее будем использовать следующие обозначения:

- начальная и наращенная сумма по процентной ставке ;

-начальная и наращенная сумма по учетной ставке .

Математическое дисконтирование.

Начальная сумма , которая выдается в кредит, находится из формул наращения для простых и сложных процентов (1.8-1.9) и (1.10; 1.12):

для простых процентов , (1.31)

для сложных процентов с начислением процентов m раз в году , (1.32)

для непрерывных процентов . (1.33)

Сумма  это начальная сумма, а  наращенная (будущая) сумма. Индекс t обозначает временной интервал, для которого рассчитывается наращенная сумма. Например, при ежегодном начислении простых процентов в течении n лет t = n.

Банковское дисконтирование.

При банковском⁶ дисконтировании, так же как и при математическом дисконтировании, требуется найти начальную сумму , выданную в кредит при известной сумме погашения кредитачерез периодt. Процентный доход за кредит выплачивается сразу при выдаче суммы кредита, которая меньше на величину наращенных процентов, рассчитанных по учетной ставке d. Рассмотрим виды банковского дисконтирования.

Дисконтирование по простой учетной ставке. Учет векселя

При простой ставке дисконтирования d за n периодов дисконтирования начальная сумма равна

. (1.34)

Дисконтирование по простой учетной ставке применяется для краткосрочных кредитов. Коммерческий кредит – это предоставление товаров и услуг с оплатой через определенное время. Условия оплаты кредита весьма разнообразны. Распространенным инструментом коммерческого кредита является коммерческий вексель.⁷ Процедура учета векселя (дисконтирования) заключается в продаже его векселедержателем банку или другому субъекту по цене ниже номинальной стоимости векселя. Сумма, выдаваемая банком держателю векселя при учете по простой учетной ставке d за периодов дисконтирования равна

, (1.35)

где - номинал векселя, или сумма, которую должен получить векселедержатель при его погашении через времяТ – число дней, оставшееся до погашения векселя, d –учетная ставка или величина дисконта ( процента), по которой банк или другое лицо приобрело вексель у векселедержателя до срока его погашения, – сумма, которую получит векселедержатель при досрочном погашении,– временная база обычно равная 360 дней. Учетная ставка должна учитывать риски, связанные с погашением векселя. Дисконт при учете векселя равен.

Дисконтирование по сложной учетной ставке.

При дисконтировании по сложной учетной ставке начальная сумма равна

, (1.36)

где – сумма в конце n-го периода,d – учетная ставка за период, – число периодов дисконтирования. Если дисконтирование проводитсяm раз в год, то дисконтированная сумма равна

, (1.37)

где d – годовая учетная ставка, которая называется номинальной учетной ставкой.

При непрерывном дисконтировании по учетной ставке дисконтированная сумма равна

. (1.38)

Пример 11. Фирма продала товар на условиях коммерческого кредита с оформлением простого векселя номинальной стоимостью 2,5 млн. руб., сроком 60 дней. Через 45 дней фирма решила учесть вексель в банке. Предложенная банком учетная ставка равна 12%. Найти сумму, полученную векселедержателем и дисконт.

Решение. При учете векселя банком владелец векселя получит сумму (1.34) равную

руб.

Дисконт равен ; или;руб.

Существуют другие способы учета векселей, например, по методу математического дисконтирования (1.31). Владелец векселя в этом случае получит сумму равную =2487562 руб.

Дисконт равен руб. Как видно, при учете векселя по методу математического дисконтирования величина дисконта меньше. В зависимости от условий кредитования возможны различные варианты учета векселей.

Наращение по учетной ставке.

Наращенная сумма по учетной ставке d легко находится из формул дисконтирования для учетной ставке (1.35.-1.37). Наращенная сумма

для простой учетной ставки равна , (1.39)

для сложной учетной ставки с начислением m раз в году . (1.40)

Для операций наращения важным является также момент начисления процентов. Начисление процентов возможно в начале периода или в конце периода. Подробнее эти методы описаны в гл.2. Декурсивный (последующий) метод – начисление процентов происходит в конце расчетного периода. При этом наращенная сумма рассчитывается по процентной ставке r по формулам (1.8-1.13). Антисипативный (предварительный) метод – начисление процентов происходит в начале расчетного периода на сумму, которую следует вернуть, наращенная сумма рассчитывается по учетной ставке d (1.39; 1.40).

Пример 12. Срочный вклад в размере 800 тыс. руб. положен в банк на 2,5 года. На вклад начисляются сложные проценты по учетной ставке d = 15% годовых. Рассчитать наращенную сумму по двум методам а) декурсивному , б) антисипативному.

Решение. Наращенная сумма по декурсивному методу находится по формуле (1.35)

= руб.

Наращенная сумма по антисипативному методу находится по формуле (1.39)

==1201тыс. руб.

Как видно, при антисипативном способе начисления процентов наращенная сумма больше.