- •Банк математического обеспечения учебных курсов общенаучных, общеинженерных и специальных кафедр
- •Работа с банком предполагает:
- •Раздел II Преобразование алгебраических выражений. Уравнения и неравенства.
- •Раздел III Пределы
- •Раздел IV Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Раздел V Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Раздел VI Комплексные числа
- •Раздел VII Векторная и линейная алгебра.
- •Раздел VIII Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Раздел IX Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Раздел X Двойные интегралы
- •Раздел XI Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля
- •Раздел хii Числовые и степенные ряды
- •Раздел хiii Тригонометрические ряды Фурье
- •Раздел хiv Операционное исчисление
- •Банк математического обеспечения учебных курсов общенаучных, общеинженерных и специальных кафедр
Раздел VIII Интегральное исчисление функции одной переменной
1. Знать определение первообразной и неопределенного интеграла .
2. Знать определение определенного интеграла и его геометрический смысл.
3. Знать таблицу основных неопределенных интегралов.
4. Для неопределенного и определенного интегралов знать правило замены переменных и формулы интегрирования по частям.
5. Знать формулу Ньютона-Лейбница.
6. Найти интегралы:
1)2)3)4)5)6)7)8)
9)10)11)12)
13)14)15)
16)17)18)
19)20)21)
22) 23)24)
25)26)27)
28)29)30)
31)32)33)
34)35)36)
37)38)39)
40)41)42)
43)44)45)46)
7. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
1);
2)
3);
4)
5);
6).
Раздел IX Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение дифференциального уравнения (или решить задачу Коши):
1) 2)3)
4) 5)6)7)
8)9)
10) 11)
12) (– пост. величины)
13), 14), 15)
16) 17),
18) 19)
20) 21)22)
23) 24)
25) 26)
27) 28)
-- постоянные величины;
29) 30)
31) 32)
33)34)
35)36)
37)38)
39) 40)41)
42) 43)
44) 45)
46) 47)
2. Показать, что общее решение уравнения гармонических колебаний
может быть представлено в виде
где - произвольные постоянные.
3. Найти общее решение уравнения упругих колебаний
без учета сил сопротивления при наличии периодической внешней силы
.
Использовать запись общего решения из задачи 2.
Раздел X Двойные интегралы
Изменить порядок интегрирования:
1), 2)
Перейти к полярной системе координат в интегралах:
1) 2)
Вычислить двойной интеграл , где областьDограничена линиями .
Используя двойные интегралы, вычислить:
площадь фигуры, ограниченной линиями
объем тела, ограниченного поверхностями
3) массу прямоугольной пластины со сторонамиAO=4,OB=3, поверхностная плотность которой меняется пропорционально расстоянию до стороныOAс коэффициентом пропорциональностиk=2;
4) координаты центра масс однородной пластинки, область Dкоторой ограничена линиями
Указание. Координаты центра масс находят по формулам: гдеS — площадь пластинки,
—статические моменты площади относительно осей координат.
Раздел XI Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля
Знать определения скалярного и векторного полей.
Знать определения операторов Гамильтона и Лапласа:
Оператор Гамильтона в декартовой системе координат
Оператор Лапласа в декартовой системе координат
.
Оператор Лапласа от скалярной функции U
в декартовой системе координат
;
в цилиндрической системе координат в предположении, что
;
в сферической системе координат в предположении, что
.
3. Знать определение производной функции по направлению
и формулу для ее вычисления:
Знать определение градиента скалярного поля и его физический смысл
5. Знать определение дивергенции векторного поля и ее физический смысл:
6. Знать определение ротора векторного поля =
7. Уметь формулировать основные теоремы теории поля.
1) Формула Грина:
2) Формула Остроградского-Гаусса:
в векторной форме:
в координатной форме:
3) Формула Стокса:
в векторной форме:
в координатной форме:
8. Уметь доказывать следующие соотношения:
, , .
9. Вычислить криволинейные интегралы
1) по окружности,
2) по эллипсу,
3) , гдеL— отрезок прямойот точкидо точки,
4) .
10. Найти функцию U по ее полному дифференциалу
1) 2)
11. Найти производную функции в точкев направлении, составляющем равные углы с осями координат.
12. Задано векторное поле радиус-вектора . Найти где.
13. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовать интегралы:
1)
2)
14. Применяя формулу Стокса, показать, что
, где L - любой замкнутый контур.