10

(b) спектр цифрового сигнала осложняется высокими частотами за пределами частоты Найквиста, которая могла присутствовать в непрерывном сигнале. Если с первой проблемой ничего нельзя сделать, вторая проблема представляет практическую важность. Чтобы сохранить полосу восстановимых частот между нулем и частотой Найквиста свободной от зеркальных частот, в поле перед преобразованием сигнала из аналоговой формы в цифровую применяется антиалиасный ФНЧ (high-cut antialiasing filter). Этот фильтр устраняет те частотные составляющие, которые при оцифровке могут дать зеркальные частоты. Обычно антиалиасный ФНЧ имеет частоту среза, которая равна 0.75 или 0.5 частоты Найквиста. Этот фильтр обеспечивает ослабление частот выше частоты Найквиста.

Рис.1-11 Суммирование дискретного	Рис.1-12 Те же синусоидальные состав-
количества синусоид без задержек по	ляющие, что на рис.1-11, но с постоян-
фазе с одной и той же максимальной	ной временной задержкой, равной –
амплитудой дает симметричный им-	0.2мс. При суммировании они дают
пульс в ограниченной полосе пропус-	симметричный импульс в ограниченной
кания, который представлен в виде	полосе пропускания, который пред-
трассы справа (обозначена звездочкой).	ставлен в виде трассы справа (обозна-
Это нуль-фазовый импульс.	чена звездочкой). Это смещение во
	времени относится к линейному фазо-
	вому спектру, который ассоциируется с
	суммированными частотными компо-
	нентами.

1.2.2 Рассмотрение фазы

В разделе 1.2 был синтезирован зависящий от времени сигнал из его частотных составляющих. Рассмотрим сигнал с нуль-фазовым спектром. На рис.1-11 показаны синусоиды с частотами от 1 до 32Гц. Все эти синусоиды имеют нулевую задержку по фазе, поэтому пики выровнены по линии t=0. Сигнал во временной области на трассе, обозначенной звездочкой на рис.1-11, получен путем суммирования всех этих синусоид. Это суммирование называется обратным преобразованием Фурье. Сигнал во временной области называется импульсом. Обычно импульс считается переходным сигналом, т.е. сигналом конечной длительности. Сигнал имеет начальное время, конечное время и его энергия ограничена двумя этими временами. Полученный импульс симмет-

11

ричен относительно t=0 и имеет положительную амплитуду (амплитуду пика) при t=0. Такой импульс называется нуль-фазовым. Фактически он был синтезирован из нульфазовых с одинаковыми амплитудами максимума.

Нуль-фазовый импульс симметричен относительно времени, равного 0. На рис.1-12 показан результат применения линейного смещения по фазе к синусоидам, изображенным на рис.1-11. Линейное смещение по фазе определяется следующим образом: фаза = константа 5 частота. Импульсы обозначенный звездочкой, смещен во времени на –0.2с, но его форма не изменилась. Следовательно, линейное смещение по фазе эквивалентно постоянному смещению во времени. Угол наклона линии, описывающей фазовый спектр, пропорционален смещению во времени.

Рис.1-13 Начиная с нуль-фазового импульса (а), применяются линейные смещения по фазе с целью сдвига импульса во времени без изменения его формы; угловой коэффициент линейной функции фазы относится к смещению во времени.

Рис.1-14 Те же самые синусоидальные составляющие, что на рис.1-11, но к каждой из них применено постоянное смещение по фазе на 90°. Переходы через 0 выровнены по линии t=0. Суммирование этих синусоид дает несимметричный импульс, который представлен трассой справа (обозначена звездочкой).

Импульс может быть смещен на любое время; для этого нужно просто изменить угол наклона линии, описывающей фазовый спектр (рис.1-13). Изменяя знак углового

12

коэффициента на фазовом спектре, импульс можно сместить во времени в противоположном направлении.

Если к каждой из синусоид на рис.1-11 применить смещение по фазе, равное 90° (см. рис.1-14), переходы через нуль будут выровнены по линии t=0. В результате суммирования таких синусоид получен импульс, который показан на трассе, обозначенной звездочкой. Получится антисимметричный импульс. Два импульса на рис.1-11 и 1-14 имеют одинаковые амплитудные спектры, т.к. их частотный состав один и тот же. Разовые спектры этих импульсов различаются. Импульс на рис.1-11 имеет нуль-фазовый спектр, а импульс на рис.1-14 имеет постоянно-фазовый спектр (constant-phase spectrum) (90°). Следовательно, различие форм импульсов обусловлено различием их фазовых спектров.

На рис.1-15 показано действие на нуль-фазовый импульс смещения по фазе на различную величину. Смещение по фазе на 90° преобразуем нуль-фазовый импульс в антисимметричный импульс. Смещение по фазе на 180° изменяет полярность нульфазового импульса. Смещение на 270° изменяет полярность нуль-фазового импульса, преобразуя его в антисимметричный импульс. При смещении на 360° сохраняется пер-

воначальная форма импульса. Постоянный фазовый сдвиг изменяет форму импульса. В частности, сдвиг фазы на 90° преобразует симметричный импульс в антисимметрич- ный, а сдвиг на 180° изменяет полярность импульса.

Рис.1-15 Начиная с нуль-фазового импульса (а), его форма изменяется путем применения постоянных фазовых сдвигов. Сдвиг на 90° преобразует нуль-фазрвый импульс в антисимметричный (b), а сдвиг на 180° приводит к обращению его полярности (с). Сдвиг на 270° обращает полярность импульса и делает его антисимметричным (d). Сдвиг на 360° не приводит к изменению импульса.

Итак, исследованы два основных фазовых спектра: линейного и постоянного фазового сдвигов. Рассмотрим их комбинированное действие. Фазовый спектр представляет собой функцию, определенную как a+b5частота, где а – постоянный фазовый сдвиг; b – угловой коэффициент линейного фазового сдвига. На рис.1-16 показаны ре-

зультаты применения постоянного фазового сдвига на 90° плюс линейной фазовой составляющей на синусоиды, показанные на рис.1-11. Нуль-фазовый импульс таким же амплитудным спектром, как на рис.1-11, был смещен во времени на –0.2с, поскольку применен линейный фазовый сдвиг, и преобразован в антисимметричный импульс вследствие применения постоянного фазового сдвига на 90°.

13

Другие изменения фазового спектра показаны на рис.1-17. Нуль-фазовый импульс (рис.1-17а) может быть модифицирован в различные формы путем изменения фазового спектра. Модифицирование может быть таким, что форма импульса не будет походить на первоначальную (рис.1-17d). Сохраняя амплитудный спектр неизменным, можно получить импульс другой формы путем модифицирования фазового спектра.

Рис.1-16 Сочетание линейного (рис.1-12) и постоянного фазового сдвига (рис.1- 14) дает антисимметричный импульс, смещенный во времени Импульс представлен трассой, обозначенной звездочкой (справа).

1.2.3 Операции во временной области

Рассмотрим последовательность коэффициентов отражения, представленную временным рядом (1, 0, 12 ). Рассмотрим также импульсный источник, который дает

взрыв на время t=0 с амплитудой 1. Отклик последовательности коэффициентов отражения на импульс называется импульсным откликом (impulse response). Этот физический процесс может быть описан следующим образом:

Через одну единицу времени предположим, что источник формирует импульс

(impulsion) с амплитудой - 12 . Этот процесс описывается следующим образом:

14

Обратите внимание, что отклик представляет собой последовательность коэффициентов отражения, масштабированную интенсивностью импульса. Поскольку функция источника рассматривается как последовательность взрывных импульсов и импульсов, вызванных резким уменьшением давления в ограниченном объеме (implosive impulses), отдельные импульсные отклики складываются с целью получения комбинированного отклика. Этот процесс называется линейной суперпозицией и описан в таблице 1-1.

Рис.1-17 Форма нуль-фазового импульса (а) может быть модифицирована путем введения не нуль-фазового спектра любой формы (изображения b, c, d).

В таблице 1-1 звездочка обозначает свертку. Отклик последовательности коэф-

фициентов отражения (1, 0, 12 ) на импульс источника (1, 12 ) ,был получен путем сверт-

ки двух последовательностей. Это выполняется путем расчетов, как показано в таблице

1-2.

Фиксированный ряд задан по последовательности коэффициентов отражения. Импульс источника обращается (складывается) и перемещается (задерживается) на одну выборку за один раз. При каждой задержке выровненные элементы перемножаются и полученные произведения складываются. Механизм сверки показан в таблице 1-3. Количество элементов выходного ряда c(k) задается как m + n – 1, где m и n – длины соответственно ряда операндов a(i) и ряда операторов a(j).

Когда функции рядов в таблице 1-2 меняются местами, получается ряд, показанный в таблице 1-4. Выходная характеристика получается такая же, как в таблице 1-2. Следовательно, не имеет значения, какой ряд при свертке является фиксированным, а какой – скользящим.

Сейсмическая обработка часто требует измерения сходства или выравнивания времен двух трасс. Корреляция представляет собой другую операцию во временной области, которая используется для импульса:

Импульс 1: (2, 1, -1, 0, 0)

Импульс 2: (0, 0, 2, 1, -1)

Хотя эти импульсы идентичны по форме. Импульс 2 смещен на 2 выборки относительно импульса 1. Можно определить временную задержку, при которой импульсы

15

будут иметь наибольшее сходство. Для этого выполним операцию на импульсе 1, как описано в таблице 1-3, не обращая импульс 2 (т.е. шаг 0 пропускается). Это называется взаимной корреляцией, результат которой показан в таблице 1-5. Взаимная корреляция измеряет степень сходства двух последовательностей. Взаимная корреляция временной последовательности с ней самой называется автокорреляцией.

Из таблицы 1-5 видно, что максимальная корреляция наблюдается при задержке, равной –2. Это предполагает, что импульс 2 был смещен на две выборки назад во времени, эти два импульса (импульс 1 и импульс 2) будут иметь максимальное сходство.

Таблица 1-6 показывает значения взаимной корреляции. Являющиеся результатом перестановки рядов местами. Теперь максимальная корреляция наблюдается при задержке равной 2. Следовательно, если импульс 1 смещается во времени на две выборки вперед, эти два импульса будут характеризоваться максимальным сходством. Отметим также, что, в отличии от свертки, взаимная корреляция не обладает свойством коммутативности, т.е. результат зависит от того, какой ряд является фиксированным, а какой – скользящим (сравните результаты в таблицах 1-5 и 1-6).

В таблице 1-7 показаны задержки автокорреляции импульса 1. Отметим, что максимальная корреляция имеет место при нулевой задержке – это важное свойство автокорреляции. Более того функция автокорреляции является симметричной: это свойство действительной временной последовательности. Следовательно, необходимо рассчитывать только одну сторону ФАК.

В разделе 1.2.4 показано с эвристической точки зрения, что свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области (Bracewell, 1965). Поскольку корреляция представляет собой свертку без обращения скользящего ряда (см. таблицу 1-3), к корреляции также применяется сходная операция в частотной области. На рис.1-18 в обобщенном виде дается описание свертки и корреляция в частотной области.

Таблица 1-1 Линейная суперпозиция.

Суперпозиция:

В другом виде: (1, 0, 12 )*(1, - 12 ) = (1, - 12 , 12 , - 14 )

Таблица 1-2 Сверка импульса источника (1, - 12 ) с последовательностью коэф-

фициентов (1, 0, 12 ).

16

Таблица 1-3 Механика процесса сверки.

Фиксированный ряд:

а(1) а(2) а(3) а(4) а(5) а(6) а(7) а(8)

Скользящий ряд: b(1) b(2) b(3)

При двух данных рядах а(i) и b(j):

Шаг 0 = обратить скользящий ряд b(j).

Шаг 1 = выполнить умножение по вертикали.

Шаг 2 = сложить произведения и записать в виде результирующей точки c(k). Шаг 3 = сместить ряд b(j) на одну выборку вправо и повторить шаги 1 и 2

Таблица 1-4 Свертка последовательности коэффициентов отражения (1, 0, 12 ) с

импульсом источника (1, - 12 ).

Таблица 1-5 Взаимная корреляция импульса 1 с импульсом 2.

17

Таблица 1-6 Взаимная корреляция импульса 2 с импульсом 1.

Таблица 1-7 Автокорреляция импульса 1.

	Из рис.1-18 видно, что свертка и
	корреляция дают результат, спектральная
	полоса пропускания которого является
	общей для обеих входных последователь-
	ностей. Примером может служить процесс
	полосовой фильтрации. Отметим также,
	что фазы являются аддитивными при
	свертке и субтрактивными при корреля-
	ции (Bracewell, 1965). Для автокорреляции
	это означает, что выходная последова-
	тельность является нуль-фазовой. Этот
	факт уже был проверен примером в таб-
	лице 1-7, где показано, что ФАК является
	симметричной относительно нулевой за-
	держки. Взаимная корреляция широко ис-
Рис.1-18 Описание свертки и корреляции	пользуется в качестве меры сходства на
в частотной области.	различных стадиях обработки данных.

Например, рассчитывается ФВК трасс в выборке ОСТ (общих средних точек) с опорной трассой с целью расчета смещений, вызванных остаточной статикой (см. Раздел 3.4). Основой для расчета скоростного спектра также является взаимная корреляция.