Задание № 1.

1. Основные понятия и законы динамики.

2. Материальная точка массой m = 2 кг падает вертикально вниз без начальной скорости. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = 0,05mv², Н. Определить величину предельной скорости точки.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону r(t) = 3ti + sin(t)j + 4t³k. Вычислите вектор силы инерции точки.

4. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t + 4, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2sin(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.

5. Материальная точка массой m = 0.1 кг ударяется о неподвижную, горизонтальную негладкую поверхность и отражается от нее. Скорость точки до удара v₁ = 4 м/с, угол падения ₁ = 30^о. Скорость точки после удара v₂ = 2 м/с, а угол отражения ₂ = 60^о. Вычислить величину полного импульса силы взаимодействия между точкой и поверхностью.

6. Материальная точка массой m, кг движется относительно декартовой системы координат по закону r(t) = 2ti + 3t²j + 4k. Вычислите вектор момента количества движения точки относительно начала координат.

7. Однородная квадратная пластина со стороной a, м и массой m, кг вращается вокруг оси, проходящей через середину одной из ее сторон перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью . Вычислите кинетический момент данной механической системы.

8. Пружину с жесткостью с = 150 Н/м сжали до длины l₀ = 0,06 м и отпустили. Работа, совершенная силой упругости при восстановлении пружины равна 0,27 Дж. Чему равна длина восстановленной пружины?

9. Материальная точка массой m = 2 кг начинает движение из состояния покоя и движется вдоль пространственной кривой под действием силы, проекция которой на направление касательной равна F_ = 2s² + 3s + 5, Н, где s– дуговая координата. Начало отчета совмещено с начальным положением точки. Вычислите скорость точки к тому моменту, когда она пройдет вдоль кривой расстояние 10 м.

Задание № 2.

1. Дифференциальные уравнения движения свободной точки в векторной форме и в проекциях на декартовы и естественные оси.

2. Кинетическая энергия материальной точки при ее движении по пространственной кривой под действием постоянной силы увеличилась на 20 Дж за промежуток времени равный 2 с. Вычислите мощность силы, действующей на материальную точку.

3. Однородный круглый горизонтальный диск массой m₁ = 2, кг и радиусом R = 3, м вращается относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону (t) = t³/3, рад. По ободу диска в сторону противоположную вращению движется материальная точка массой m₂ = 4, кг по закону s_r(t) = sin(t²/2), м. Вычислите кинетическую энергию данной системы.

4. Материальная точка массой m = 2 кг движется по шероховатой горизонтальной поверхности под действием силы F = 2, Н с постоянной скоростью. Принимая величину ускорения свободного падения равной 10 м/с². Определить коэффициент трения скольжения.

5. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону x(t) = 3 sin(t²), y(t) = 6t³, z(t) = 3cos(t²). Вычислите величину и проекции силы инерции точки на оси декартовой системы координат.

6. Тележка движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_т(t) = 2t⁴ + 5t² + 4, м. Относительно тележки по желобу, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 3 м, движется материальная точка массой m по закону s_r = 3sin(t/2), м. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

7. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Скорость центра диска постоянна и равна v₁= 4 м/с. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной скоростью v₂ = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 60^о.

8. Материальная точка массой m, кг движется относительно декартовой системы координат по закону r(t) = 2t²i + 6tj + 4t³k. Вычислите величину моментов количества движения точки относительно декартовых осей координат.

9. Однородный стержень длиной 2l, м и массой m, кг лежит на оси OY декартовой системы координат, причем левая граничная точка стержня совпадает с началом координат O. Запишите моменты инерции стержня относительно осей OX, OY, OZ. Чему равен радиус инерции стержня относительно оси OZ?