10.0000x1 − 2.4000x2		− 30.5000x3 − 2.2000x4		= 34.1000,
		+ 5.5765x4					= 13.4646,
3.2160x1 − 30.3438x2
0.6880x		− 3.5789 x	4				= −0.2834,
	1
9.8424 x		+ 4.4588x			4		= 0.2350.
	1
В третьем и четвертом уравнениях наибольший коэффициент						a(2) = 9.8424. Поэтому пере-
ставим четвертое уравнение на место третьего и исключим x1.							14
							Тогда получим следующую
систему:
10.0000x1 − 2.4000x2		− 30.5000x3 − 2.2000x4		= 34.1000,
		+ 5.5765x4				=13.4646,
3.2160x1 − 30.3438x2
	9.8424x	+ 4.4588x		4			= 0.2350,
	1
		+ 3.8906x4					= 0.2998.

Прямой ход закончен. Вычислим неизвестные при помощи обратного хода. Последовательно получим

x4 = 0.077, x1 = (0.2350 − 0.3438)9.8424 = −0.011, x2 = (13.4646 − 0.4299 + 0.0354)− 30.3438 = −0.431,

x3 = (34.1000 + 0.1850 + 0.1110 −1.0337)− 30.5000 = −1.094.x1 = −0.011,

x = −0.431,

Итак, с точностью ε = 10−3 2

x3 = −1.094,x4 = 0.077.

5.4. Метод прогонки

Метод прогонки, так же как и метод Гаусса, разделяется на два этапа: прямой и обратный ход. В результате выполнения прямого хода вычисляются вспомогательные переменные - так называемые прогоночные коэффициенты. Обратный ход дает значения неизвестных.

Метод прогонки специально создан для решения линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, то есть для систем вида

b1 x1 + c1 x2										= d1,
	a	2	x	+ b x	2	+ c	2	x	3	= d	2	,
			1	2
												(5.4.1)
	..........			..........		..........				....................................
						an−1 xn−2				+ bn−1 xn−1 + cn−1 xn = dn−1 ,
										an xn−1 + bn xn = dn .

Системы такого вида часто возникают при решении различных задач математической физики и интерполяции сплайнами.

Выведем формулы метода. Из первого уравнения b1 x1 + c1 x2 = d1

найдем x1 :

x =

d1 − c1 x2

=

d1

−

c1

x

2

= α

x

2

+ β .

(5.4.2)

1

b1

b1 b1

1

1

Подставим полученное выражение для x1 во второе уравнение системы (5.4.1):

a2 (α1 x2 + β1 )+ b2 x2 + c2 x3 = d2 , a2 α1 x2 + b2 x2 = d2 − a2β1 − c2 x3 ,

130

x	2	= −		c2			x	3	+	d2 − a2β1				= α	2	x	3	+ β	2	.	(5.4.3)
			b + a		α
						1				b + a		α	1
			2	2					2		2
Последнее уравнение для x2			подставим в третье уравнение системы (5.4.1) и так далее.
На i -м шаге процесса (1 < i < n)				i -е уравнение системы преобразуется к такому же виду:

На последнем даст an (αn−1 xn

		xi	= αi xi+1		+ βi ,	где
αi	= −		ci		, βi =		di − aiβi−1	.
		bi	+ ai αi−1
							bi + ai αi−1

n -м шаге подстановка в последнее уравнение системы + βn−1 )+ bn xn = dn . Отсюда

d− a β

xn = b n + a nαn−1 . n n n−1

(5.4.4)

xn−1 = αn−1 xn + βn−1

(5.4.5)

Значения остальных неизвестных вычисляются в процессе обратного хода по формулам (5.4.4). Итак, прямойходметодапрогонкисостоитввычислении прогоночных коэффициентов

	i =
i = 2,3,..., n −1 :
	i = n :

1 :

α

1

= −

c1

, β

1

=

d1

,

γ

= b

,

γ1

γ1

1

1

α

i

= −

ci

, β

i

=

di − ai

βi−1

, γ

i

= b

+ a

α

i−1

,

γi

γi

i

i

βn

=

dn − anβn−1

, γn = bn + an αn−1 .

γn

Обратный ход метода прогонки дает значения неизвестных по формулам xn = βn , xi = αi xi+1 + βi , i = n −1, n − 2,...,2,1.

(5.4.6)

(5.4.7)

Несложный подсчет показывает, что для реализации вычислений по описанному алгоритму требуется примерно 8n арифметических операций, что гораздо меньше числа опе-

раций в методе Гаусса 23 n3 . Кроме того структура матрицы коэффициентов системы

(5.4.1) позволяет использовать для ее хранения лишь 3n − 2 машинных слова. Теоретические исследования показали, что для существования решения системы

(5.4.1) и его единственности необходимо выполнение следующих условий.

Теорема 5.3. Пусть коэффициенты системы (5.4.1) удовлетворяют условиям диа-

гонального преобладания:

bk

≥

ak

+

ck

,

bk

>

ak

, 1 ≤ k ≤ n, тогда γi ≠ 0 и

αi

≤1 для

всех i =

.

1, n

Условие γi ≠ 0 и

αi

≤ 1 для всех i =

означает, что метод прогонки устойчив по

1, n

входным данным.

В качестве примера решим следующую систему, уже встречавшуюся нам при рассмотрении кубических сплайнов:

x1 − x2

= 0.8,

x

+

4x

2

+ x

3

= 3.6,

1

x2

+ 4x3 + x4

= −1.2,

x3 + 4x4 + x5 = −3.6,

x4 − x5 = −0.8.

Прямой ход. i = 1, γ

= b = 1, α

= −

c1

= 1,

β

=

d1

= 0.8,

1

1

1

γ

1

1

γ

1

i = 2, γ2 = b2 + a2 α1 = 4 +1 = 5, α2

= −

c2

= −

1

= −0.2, β2 =

d2 − a2β1

=

3.6 − 0.8

= 0.56.

γ2

5

γ2

5

131

i = 3, γ

3

= b

+ a

α

2

= 4 −

0.2 = 3.8, α

3

= −

c3

= −

1

= −0.263158,

3

3

γ3

3.8

d3

− a3β2

= −1.2 − 0.56

β3

=

= −0.463158.

γ3

3.8

c4

i = 4,

γ4 = b4 + a4 α3

= 4 − 0.263158 = 3.736842, α4

= −

= − − 0.267606,

γ4

d4

− a4β3

− 3.6 + 0.463158

β

4

=

=

= −0.839437.

γ

4

3.736842

d5

− a5β4

i = 5, γ

5

= b

+ a

α

4

= −1 − 0.267606 = −1.267606,

β

5

=

=

− 0.8 + 0.839437

=

5

5

γ5

−1.267606

= −0.031111.

Обратный ход.

x5 = β5 = −0.031111,

x4

= α4 x5

+ β4 = (− 0.267606) (− 0.031111)+ (− 0.839457) = −0.831132,

x3

= α3 x4

+ β3

= (− 0.263158) (− 0.831132)+ (− 0.463158)= −0.244439,

x2

= α2 x3

+ β2

= (− 0.200000) (− 0.244439)+ 0.560000 = 0.608888,

x1

= α1 x2

+β1

=1.000000 0.608888 + 0.800000 =1.408888.

5.5. Метод простых итераций

Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений технического характера. Большие системы уравнений, возникающие в приложениях, как правило, являются разреженными. При использовании метода Гаусса, например, большое число нулевых элементов превращаются в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. Использование итерационных методов не меняет матрицу коэффициентов, она остается разреженной.

Однако применение итерационных методов для качественного решения требует серьезного использования структуры системы уравнений, специальных знаний и опыта.

Пусть дана система Ax = b, где A - квадратная невырожденная матрица. Преобразуем

ее к виду

x

= B

x

+

c,

где B - квадратная матрица такой же размерности что и A , той форме записи система (5.5.1) имеет вид

x		= b x	+ b x		2	+... + b	x	n		+ c ,
	1	11 1	12			1n				1
x2 = b21 x1 + b22 x2						+... + b2n xn + c2 ,
.....................................................
x	n	= b x	+ b	x	2	+... + b x			n	+ c	.
		n1 1	n2			nn				n

(5.5.1) c - вектор -столбец. В разверну-

(5.5.2)

Операция приведения системы Ax = b к виду (5.5.2) не является очевидной и простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы. Са-

мый простой способ приведения системы Ax = b к виду (5.5.2) состоит в последовательном исключении из первого уравнения системы Ax = b переменной x1 , из второго уравнения - переменной x2 и так далее. Метод итерации в такой реализации называется методом Якоби . Система уравнений метода Якоби имеет вид

Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851 ) - немецкий математик.

132

x

=

b

x

2

+ b x

3

+... + b

x

n−1

+ b

x

n

+ c

,

1

12

13

1n−1

1n

1

x2

= b21 x1

+ b23 x3

+... + b2n−1 xn−1 + b2n xn

+ c2 ,

(5.5.3)

.....................................................

x

n

= b x

+ b

x

2

+ b

x

3

+...

+ b

x

n−1

+ c

n

.

n1 1

n2

3n

nn−1

На главной диагонали матрицы

B системы (5.5.3) стоят нули, а остальные элементы, оче-

aij

b

видно, выражаются по формулам b

c

, i, j =1, n,

i ≠ j.

= −

,

i

=

i

ij

aii

aii

Практически метод работает следующим способом. Выбирается начальное прибли-

жение

(0) = (x(0), x(0),..., x(0))T и подставляется в правую часть системы (5.5.1). Решая систе-

x

1

2

n

(1)

(0)

му, находят первое приближение

= B

+

.

Это приближение опять подставляют в пра-

x

x

c

вую часть (5.5.1). Таким образом, получается

(2)

= B

(1) +

. Продолжая этот процесс далее,

x

x

c

получим последовательность

(0),

(1),

(2),...,

(n),...

приближений, вычисляемых по формуле

x

x

x

x

(k +1)

= B

(k ) +

,

k = 0,1,2,...

(5.5.4)

x

x

c

В развернутой форме записи система (5.5.4) выглядит таким образом:

x1(k +1)

= b11 x1(k ) + b12 x2(k )

+... + b1n xn(k ) + c1 ,

x(k +1)

= b

x(k ) + b

x(k )

+... + b

x(k ) + c

,

(5.5.5)

2

21

1

22

2

2n

n

2

.....................................................

x(k +1)

= b

x(k ) + b

x(k )

+...

+ b

x(k ) + c

.

n

n1 1

n2

2

nn n

n

5.6. Сходимость метода простых итераций

Теорема 5.4. Пусть

B

<1.

Тогда решение

системы

= B

+

существует и

x

точн.

x

x

c

единственно. При любом начальном приближении

(0)

метод простых итераций сходит-

x

ся и справедлива оценка погрешности

(n)

n

(0)

(5.6.1)

x

− xточн.

≤

B

x

− xточн.

.

Доказательство

Пусть в (5.5.5) k +1 = n, тогда

(n ) = B

(n−1)

+

.

Если

точн. - точное решение системы,

x

x

c

x

то оно удовлетворяет уравнению (5.5.1),

то

есть

точн.

= B

точн. +

. Вычтем

два

x

x

c

последних уравнения друг из друга. Получим

(n )

−

точн.

= B(x

(n−1)

−

точн. ). Найдем

x

x

x

норму

этого

выражения:

(n ) −

=

B(x

(n −1) −

точн. )

≤

B

(n −1) −

точн.

≤

x

x

точн .

x

x

x

(n−2 )

(0 ) −

B

B

B

n

точн.

, так как неравенство верно для всех ин-

≤

−

точн.

≤ ... ≤

x

x

x

x

дексов от 0 до n .

Итак, метод простых итераций сходится со скоростью геометрической прогрессии,

знаменатель которой q =

B

.

Скорость сходимости тем выше,

чем меньше величина

B

.

Хотя метод сходится при любом начальном приближении x(0), ясно, что начальное приближение нужно выбирать ближе к точному решению. Приведенная в теореме 5.4 оценка точности решения является априорной. Ее практическое использование затруднительно, так как

x(0) − xточн. неизвестно, а его грубое оценивание заведомо приведет к завышению числа итераций n .

133

Теорема 5.5. (Апостериорная оценка погрешности решения). Если B <1 , то справедлива следующая оценка:

(n) −

точн.

≤

B

(n) −

(n−1)

.

(5.6.2)

x

x

x

x

1

−

B

Доказательство

= B(x

точн. ).

В предыдущей теореме имели равенство

(n)

−

точн.

(n−1)

−

Преобразуем

x

x

x

его

алгебраически:

(n) −

точн.

= B(x

(n−1)

−

(n)

+

(n)

−

точн. )= B(x

(n−1)

−

(n) )+B(x

(n) −

точн. ).

x

x

x

x

x

x

x

Тогда

(n)

−

≤

B

(n)

−

(n−1)

+

B

(n ) −

точн.

.

Отсюда

легко

получаем

x

x

точн.

x

x

x

x

B

(n)

−

точн.

≤

(n) −

(n−1)

.

x

x

x

x

1 −

B

Если требуется найти решение с точностью ε, то следует проводить итерации до вы-

полнения неравенства

B

(n) −

(n−1)

< ε.

Таким образом, в качестве критерия оконча-

x

x

1 −

B

ния итерационного процесса может быть использовано неравенство

(n)

−

(n−1)

< ε1 , где ε1 =

1 −

B

ε.

x

x

B

5.7. Метод Зейделя

Пусть система Ax = b методом Якоби приведена к виду (5.5.3):

x

=

b x

2

+ b x

3

+... + b

x

n−1

+ b

x

n

+ c

,

1

12

13

1n−1

1n

1

x2 = b21 x1

+ b23 x3 +... + b2n−1 xn−1 + b2n xn + c2 ,

.....................................................

x

n

= b x

+ b

x

2

+ b

x

3

+... + b

x

n−1

+ c

n

.

n1 1

n2

3n

nn−1

Метод Зейделя является лишь модификацией метода Якоби. Его основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (k +1)-го приближения к неизвестному xi при i >1 ис-

пользуют уже найденные (k +1)-е приближения к неизвестным x1 , x2 ,..., xi−1 , а не k -е приближение, как в методе Якоби. Система (5.5.3) на (k +1)-й итерации будет выглядеть так:

x1(k +1) =

b12 x2(k ) + b13 x3(k ) +... + b1n xn(k ) + c1 ,

(k +1)

= b x

(k +1)

+ b x

(k )

+ + b

x

(k )

+ c

,

x

(5.7.1)

2

21

1

23

3

2n

n

2

.....................................................

x(k +1) = b

x(k +1) + b

x(k +1) +

... + c

n

.

n

n1

1

n2

2

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы

Людвиг Зейдель (1821-1896) - немецкий астроном и математик.

134

				0		0		0			...						0																												0								b			b	...	b
																																															12									13		1n
				b21		0		0			...						0																												0		0									b23	...	b2n
		B	= b			b		0			...						0								и							B							=						0		0									0	...	b .
1				31		32					...																					2																								...	...	3n
				... ... ...													...																											... ...														...
				b		b		b			...						0																												0		0									0	...	0
				n1			n2		n3
Тогда расчетная формула метода Зейделя примет такой вид
										(k +1)				= B						(k +1)			+ B				(k )					+							.																			(5.7.2)
									x									x								x											c
																	1						2
								5.8. Сходимость метода Зейделя
		Теорема 5.6. Пусть выполнено условие																													B1					+							B2				<1.									Тогда при любом выборе
		(0) метод Зейделя сходится и верна оценка погрешности
	x
					(n) −		точн.		≤ qn							(0)	−					точн.			, где							q						=								B2										< 1.		(5.8.1)
				x		x									x						x
																																											1 −						B
																																																	1

Это опять априорная оценка. Ее практическое использование затруднительно. Теорема 5.6 сформулирована для матриц B1 и B2 , однако для метода Зейделя справедлива теорема, ана-

логичная теореме 5.4, использующая только норму матрицы B . Апостериорная оценка погрешности метода Зейделя дается следующей теоремой.

Теорема 5.7. Если B <1 , то для метода Зейделя справедлива следующая

апостериорная оценка погрешности:

(n)

B2

(n)

(n−1)

x

− xточн.

≤

x

− x

, n ≥ 1.

(5.8.2)

1 −

B

Существует устойчивое заблуждение, что метод Зейделя сходится всегда быстрее, чем метод простых итераций. Это действительно так только в случае, когда матрица A симметрична и положительно определена. Однако в общем случае возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя или сходится медленнее, или вообще расходится. Возможны и противоположные ситуации. Дело в том, что эти методы ориентированы на решение разных классов задач: метод Якоби - на системы с матрицами, близкими к диагональным, а метод Зейделя - на системы с матрицами, близкими к нижним треугольным.

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом простых итераций и методом Зейделя с ε = 10−4 :

38.1000x1 + 0.1601x2 + 0.1916x3 + 0.2230x4 = 124.0015,0.1237 x1 + 37.2000x2 + 0.1866x3 + 0.2180x4 = 128.3760,0.1187 x1 + 0.1502 x2 + 36.3000x3 + 0.2131x4 = 132.3800,0.1137 x1 + 0.1452 x2 + 0.1766 x3 + 35.4000x4 = 136.0134.

Дана система Ax = b , преобразуем ее к виду x = Bx + c :

x

=

− 0.0042 x

2

− 0.0050x

3

− 0.0059 x

4

+ 3.2546,

1

x2

= −0.0033x1

− 0.0050x3 − 0.0059 x4

+ 3.4510,

x

3

= −0.0033x

− 0.0041x

2

− 0.0059 x

4

+ 3.6468,

1

x

4

= −0.0032 x

− 0.0041x

2

− 0.0050x

3

+ 3.8422.

1

Вычислим норму (5.1.11) для матриц B, B1 и B2 . Имеем

135

0

− 0.0042

− 0.0050

− 0.0059

− 0.0033

0

− 0.0050

− 0.0059

n

B =

− 0.0033

− 0.0041

0

− 0.0059

,

B

∞

= max ∑

bij

.

1≤i≤n j=1

− 0.0032

− 0.0041

− 0.0050

0

Отсюда

B

∞ = max(0.0033, 0.0042, 0.0050, 0.0059)= 0.0059 <<1.

Аналогично

B1

∞ = 0.042 ,

B2 ∞ = 0.059. Оба метода должны сходиться очень быстро. Пусть x(0) = (0, 0, 0, 0)T . Тогда по

методу Якоби x(1) = (3.2546, 3.4510, 3.6468, 3.8422)T . Далее

x1(2) = −0.0042 3.4510 − 0.0050 3.6468 − 0.0059 3.8422 + 3.2546 = 3.1992 , x2(2) = −0.0033 3.2546 − 0.0050 3.6468 − 0.0059 3.8422 + 3.4510 = 3.3994 , x3(2) = −0.0033 3.2446 − 0.0041 3.4510 − 0.0059 3.8422 + 3.6468 = 3.5992 ,

x4(2) = −0.0032 3.2546 − 0.0041 3.4510 − 0.0050 3.6468 + 3.8422 = 3.7994 .

Дальнейшие итерации проводятся аналогично:

x1(3) = −0.0042 3.3994 − 0.0050 3.5992 − 0.0059 3.7994 + 3.2546 = 3.1992 , x2(3) = −0.0033 3.1992 − 0.0050 3.5992 − 0.0059 3.7994 + 3.4510 = 3.4000 , x3(3) = −0.0033 3.1992 − 0.0041 3.3994 − 0.0059 3.7994 + 3.6468 = 3.5999 , x4(3) = −0.0032 3.1992 − 0.0041 3.3994 − 0.0050 3.5992 + 3.8422 = 3.8000 .

Последняя итерация дает

x1(4) = −0.0042 3.4000 − 0.0050 3.5999 − 0.0059 3.8000 + 3.2546 = 3.2000 , x2(4) = −0.0033 3.1999 − 0.0050 3.5999 − 0.0059 3.8000 + 3.4510 = 3.4000 , x3(4) = −0.0033 3.1999 − 0.0041 3.4000 − 0.0059 3.8000 + 3.6468 = 3.6000 , x4(4) = −0.0032 3.1999 − 0.0041 3.4000 − 0.0050 3.5999 + 3.8422 = 3.8000 .

B

= 0.0059 <<1, то

B

(n) −

(n) −

(n−1)

. Таким образом, дос-

Поскольку

≈1 и

точн.

=

x

x

x

x

1

−

B

тигнута точность ε = 10−4 за четыре итерации.

Вычисления по методу Зейделя для этого примера мало отличаются от выше приве-

денных. Действительно, x(0) = (0, 0, 0, 0)T , x(1) = (3.2546, 3.4510, 3.6468, 3.8422)T . x1(2) = 3.1992, то есть то же выражение, что и в предыдущем случае.

x2(2) = −0.0033 3.1992 − 0.0050 3.6468 − 0.0059 3.8422 + 3.4510 = 3.3995 , x3(2) = −0.0033 3.1992 − 0.0041 3.3995 − 0.0059 3.8422 + 3.6468 = 3.5996 , x4(2) = −0.0032 3.1992 − 0.0041 3.3995 − 0.0050 3.5996 + 3.8422 = 3.8000 .

Третья итерация, оказавшаяся последней, дает

x1(3) = −0.0042 3.3995 − 0.0050 3.5996 − 0.0059 3.8000 + 3.2546 = 3.2000 , x2(3) = −0.0033 3.2000 − 0.0050 3.5996 − 0.0059 3.8000 + 3.4510 = 3.4000 , x3(3) = −0.0033 3.2000 − 0.0041 3.4000 − 0.0059 3.8000 + 3.6468 = 3.6000 , x4(3) = −0.0032 3.2000 − 0.0041 3.4000 − 0.0050 3.6000 + 3.8422 = 3.8000 .

Достигнут тот же результат за три итерации.

136

5.9. Лабораторная работа № 9. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простых итераций

Метод простых итераций используется для решения разреженных систем большой размерности (~104 ÷106 ), причем матрица такой системы помимо разреженности должна быть близкой к диагональной. Метод сходится тем быстрее, чем меньше норма матрицы ко-

эффициентов B , при этом для сходимости метода необходимо

B

<1. Основная формула

метода

(k +1) = B

(k ) +

, k = 0,1,2...

(5.9.1)

x

x

c

Если система линейных уравнений задана в традиционной форме A x = b , ее сначала нужно привести к форме (5.9.1) методом Якоби.

Рассмотрим пример решения такой системы в пакете Mathcad:

	0.4000	ORIGIN :=1 TOL :=10-7					0.1220
		0.0003	0.0008	0.0014
	− 0.0029	− 0.5000	− 0.0018	− 0.0012			− 0.2532
A :=	− 0.0055	− 0.0050	−1.4000	− 0.0039		b :=	− 0.9876	.
	− 0.0082	− 0.0076	− 0.0070	− 2.3000			− 2.0812

norm1(A) = 2.306

0.305

b

0.5064

n := 4 i := 1...n

ci :=

i

c =

A

0.7054286

i,i

0.9048696

− Ai, j

i := 1...n

j := 1...n B

:=

i := 1...n B

:= 0

i, j

,i

Ai,i

i

0

− 7.5 10−4

− 2 10−3

− 3.5 10−3

− 5.8 10−3

0

− 3.6 10−3

− 2.4 10−3

B =

− 3.9285714 10

−3

− 3.5714286 10

−3

0

− 2.7857143 10

−3

− 3.5652174 10

−3

− 3.3043478 10

−3

− 3.0434783 10

−3

0

norm1(B) = 0.013.

Встроенная подпрограмма norm1 вычисляет первые нормы матриц A и B. Так как B = 0.013, то по теореме 5.4 подразд. 5.6 метод итераций должен сходиться при любом на-

чальном приближении.

Предыдущие операторы программы приводят систему уравнений, заданную в виде

A x = b , к виду x = B x + c по формулам подразд. 5.5. Сам процесс последовательных приближений можно записать в векторно-матричной форме всего лишь одной строкой программы:

xx 1 := c k := 2...11 xx k := c + B xx k −1

Здесь в качестве начального приближения выбран вектор c ; видно, что из десяти заказанных итераций для достижения заданной точности 10−7 потребовалось лишь три.

xx k - k -й столбец матрицы xx размерности (4 ×11), где хранятся все приближения к точному решению.

Для проверки решим эту же систему A x = b встроенной программой lsolve, которую

мы уже использовали в лабораторной работе № 4.
			0.3000750
			0.4999797
zz := lsolve(A, b)	zz =
				.
			0.6999569
			0.9000173

В заключение приведем две подпрограммы, реализующие приведение исходной сис-

темы линейных уравнений A x = b к нужной форме и итерационные вычисления по методу Якоби:

ε := 10−7 z := Jakobi(A, b, ε)

0.3000750

⎜0.4999797 z = 0.6999569 .

0.9000173

138

Задание № 1. Методом простых итераций с точностью ε = 10−7 решить систему линейных алгебраических уравнений, заданную в форме A x = b :

	№ вари-																					Вектор
									Матрица A													правой
	анта
																						части b
				1.70				0.03				0.04				0.05					0.6810
	1				0.00				0.80				0.01				0.02					0.4803
					-0.03				-0.02				-0.10				0.00					-0.0802
					-0.05				-0.04				-0.03				-1.00					-1.0007
					3.00				0.38				0.49				0.59					1.5136
	2			0.11				2.10				0.32				0.43					1.4782
				-0.05				0.05				1.20				0.26					1.0830
				-0.22				-0.11				-0.01				0.30					0.3280

№ вари-

Вектор

Матрица

A

правой

анта

части b

		0.77	0.04	-0.21	0.18	1.2400
	3	-0.45	1.23	-0.06	0.00	-0.8800
		-0.26	-0.34	1.11	0.00	-0.6200
		-0.05	0.26	-0.34	1.12	-1.1700
		0.79	-0.12	0.34	0.16	-0.6400
	4	-0.34	1.08	-0.17	0.18	1.4200
		-0.16	-0.34	0.85	0.31	-0.4200
		-0.12	0.26	0.08	0.75	0.8300
		0.99	-0.02	0.62	-0.08	-1.3000
	5	-0.03	0.72	-0.33	0.07	1.1000
		-0.09	-0.13	0.58	-0.28	-1.7000
		-0.19	0.23	-0.08	0.63	1.5000
		3.68	0.16	0.18	0.22	1.1604
	6	0.12	3.59	0.18	0.21	1.2025
		0.11	0.14	3.50	0.21	1.2409
		0.11	0.14	0.17	3.11	1.2757
		3.55	0.15	0.18	0.21	1.0834
	7	0.11	3.46	0.16	0.19	1.1239
		0.12	0.14	3.37	0.20	1.1607
		0.10	0.13	0.17	3.28	1.1938
		2.38	0.10	0.12	0.14	5.0897
	8	0.08	2.29	0.11	0.14	5.3487
		0.07	0.09	2.20	0.15	5.5712
		0.06	0.08	0.11	1.10	5.7570
		1.00	-0.17	0.33	-0.18	-1.2000
	9	0.00	0.82	-0.43	0.08	0.3300
		-0.22	-0.18	0.79	-0.07	0.4800
		-0.08	-0.07	-0.21	0.96	-1.2000
		0.68	0.18	-0.02	-0.21	1.8300
	10	-0.16	0.88	0.14	-0.27	-0.6500
		-0.37	-0.27	1.02	0.24	2.2300
		-0.12	-0.21	0.18	0.75	-1.1300
	11	0.58	0.32	-0.03	0.00	0.4400
		-0.11	1.26	0.36	0.00	1.4200
					139

				-0.12				-0.08				1.14				0.24				-0.8300
				-0.15				0.35				0.18				1.00				-1.4200
				0.82				0.34				0.12				-0.15				-1.3300
	12			-0.11				0.77				0.15				-0.32				0.8400
			-0.05				0.12				0.86				0.18				-1.1600
				-0.12				-0.08				-0.06				1.00				0.5700
				0.87				-0.23				0.44				0.05				2.3000
	13			-0.24				1.00				0.31				-0.15				-0.1800
				-0.06				-0.15				1.00				0.23				1.4400
				-0.72				0.08				0.05				1.00				2.4200
				0.85				-0.05				0.08				-0.14				-0.4800
	14			-0.32				1.13				0.12				-0.11				1.2400
				-0.17				-0.06				1.08				-0.12				1.1500
			-0.21				0.16				-0.36				1.00				-0.8800

	№ вари-																					Вектор
									Матрица A													правой
	анта
																						части b
				0.97				0.05				-0.22				0.33					0.4300
	15			-0.22				0.45				0.08				-0.07					-1.8000
					-0.33				-0.13				1.08				0.05					-0.8000
					-0.08				-0.17				-0.29				0.67					1.7000
				4.30				0.22				0.27				0.32					2.6632
	16				0.10				3.40				0.21				0.26					2.7779
					0.04				0.09				2.50				0.20					2.5330
					-0.03				0.03				0.08				1.60					1.9285
					5.60				0.27				0.33				0.39					4.0316
	17			0.15				4.70				0.27				0.33					4.3135
					0.09				0.15				3.80				0.27					4.2353
					0.03				0.09				0.15				2.90					3.7969
					6.90				0.32				0.39				0.46					5.6632
	18				0.19				6.00				0.33				0.41					6.1119
					0.13				0.21				5.10				0.35					6.2000
					0.08				0.15				0.22				4.20					5.9275
					8.20				0.37				0.45				0.53					7.5591
	19				0.23				7.30				0.39				0.48					8.1741
				0.18				0.26				6.40				0.42					8.4281
					0.12				0.21				0.29				5.50					8.3210
					9.50				0.42				0.51				0.60					9.7191
	20				0.28				8.60				0.46				0.55					10.5000
					0.22				0.32				7.70				0.50					10.9195
					0.17				0.26				0.35				6.80					10.9775
					0.87				-0.22				0.33				-0.07					0.1100
	21				0.00				0.55				0.23				-0.07					-0.3300
					-0.11				0.00				1.08				-0.18					0.8500
				-0.08				-0.09				-0.33				0.79					-1.7000
					0.68				0.16				0.08				-0.15					2.4200
	22				-0.16				1.23				-0.11				0.21					1.4300
					-0.05				0.08				1.00				-0.34					-0.1600
					-0.12				-0.14				0.18				0.94					1.6200
	23			1.00				-0.08				0.23				-0.32					1.3400
					-0.16				1.23				-0.18				-0.16					-2.3300

140