- •1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ; ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ
- •1.1. Источники и классификация погрешностей результата численного эксперимента
- •1.2. Погрешности чисел
- •1.3. Погрешности арифметических операций
- •1.4. Погрешности функций
- •1.5. Особенности машинной арифметики
- •1.6. Лабораторная работа № 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей приближенных чисел. Оценка погрешностей результата
- •1.7. Корректность вычислительной задачи
- •1.8. Обусловленность вычислительной задачи
- •1.9. Вычислительные методы, их классификация
- •2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
- •2.1. Задача приближения функций
- •2.2. Интерполяция обобщенными многочленами
- •2.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
- •2.4. Погрешность интерполяции
- •2.5. Конечные разности и их свойства
- •Доказательство
- •2.6. Разделенные разности и их свойства
- •2.9. Лабораторная работа № 2. Интерполирование и экстраполирование данных. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.10. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями
- •2.11. Лабораторная работа № 3. Интерполирование и экстраполирование данных. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.12. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя
- •3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
- •3.1. Постановка задачи и вывод формул метода наименьших квадратов
- •3.3. Глобальная полиномиальная интерполяция
- •3.4. Чувствительность интерполяционного многочлена к погрешностям входных данных
- •3.5. Многочлены Чебышева
- •3.6. Решение задачи минимизации оценки погрешности
- •3.8. Лабораторная работа №5. Экономизация степенных рядов
- •3.9. Локальная интерполяция
- •3.10. Сплайны, их свойства и построение
- •3.11. Погрешность приближения кубическими сплайнами
- •3.13. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье и его реализация на ЭВМ
- •3.14. Матричная форма записи дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
- •3.15. Алгоритм реализации ДПФ
- •3.16. Пример реализации алгоритма ДПФ при
- •3.17. Лабораторная работа № 7. Дискретное преобразование Фурье
- •4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •4.1. Простейшие формулы численного дифференцирования для первой производной
- •4.2. Формулы численного дифференцирования для второй производной
- •4.3. Формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяции алгебраическими многочленами
- •4.4. Обусловленность формул численного дифференцирования
- •4.5. Простейшие квадратурные методы численного интегрирования
- •4.6. Оценка погрешностей простейших квадратурных формул
- •4.7. Квадратурные формулы интерполяционного типа
- •4.8. Квадратурные формулы Гаусса
- •4.9. Лабораторная работа № 8. Численное дифференцирование и численное интегрирование функций
- •5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
- •5.1. Нормы векторов и матриц и их свойства
- •5.2. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений
- •5.3. Метод Гаусса (схема единственного деления)
- •5.4. Метод прогонки
- •5.5. Метод простых итераций
- •5.6. Сходимость метода простых итераций
- •5.10. Постановка задачи нахождения собственных чисел
- •5.11. Подобные матрицы
- •5.12. Локализация собственных значений
- •5.13. Степенной метод
- •5.14. Вычисление собственных векторов методом обратных итераций
- •6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
- •6.1. Решение нелинейных уравнений
- •6.2. Метод Ньютона для уравнений
- •6.3. Сходимость метода Ньютона и трудности его применения
- •6.4. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •6.6. Модификации метода Ньютона
- •6.7. Лабораторная работа № 11. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
- •7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •7.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
- •7.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения
- •7.3. Решение с помощью рядов Тейлора
- •7.5. Анализ ошибок, возникающих при использовании методов Рунге - Кутты
- •7.6. Методы прогноза и коррекции
- •7.7. Сравнение методов
- •7.8. Лабораторная работа № 12. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.9. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.11. Лабораторная работа № 13. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений первого порядка
- •8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ)
- •8.1. Классификация уравнений математической физики
- •8.2. Простейшие задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных
- •8.4. Уравнения параболического типа. Явные и неявные схемы
- •Доказательство
- •8.5. Уравнения гиперболического типа
- •8.6. Уравнения эллиптического типа
- •8.7. Свойства разностных схем для дифференциальных уравнений: способность аппроксимировать исходную дифференциальную задачу, устойчивость и сходимость
- •8.8. Некоторые обобщения
- •8.9. Лабораторная работа № 14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •8.10. Лабораторная работа № 15. Решение однородного уравнения колебаний струны методом сеток по неявной схеме.
15. |
y/ = cos(1.5x + y)+1.5(x − y), |
y(0)=1. |
|||||||||||||||
16. |
y/ = 1 − sin(2x + y)+ |
0.3y |
, |
y(0)= 0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
cos y |
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
||||||
17. |
y / = |
|
|
− 0.5y2 , |
y(0)= 0.1. |
||||||||||||
1.75 + x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18. |
y/ =1 + (1 − x)sin y − |
(2 + x)y, |
y(0)= 0.5. |
||||||||||||||
19. |
y/ = (0.8 − y2 )cos x + 0.3y, y(0)= 0. |
||||||||||||||||
20. |
y/ =1+ 2.2sin x +1.5y, y(0)= 0. |
||||||||||||||||
21. |
y/ = cos(x + y)+ 0.75(x − y), |
|
|
y(0)= 0.3. |
|||||||||||||
22. |
y/ = 1 − sin(1.25x + y)+ |
|
0.5y |
|
|
, |
y(0)= 0.5. |
||||||||||
|
x + 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
y/ = |
− 0.3y2 , y(0)= 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
0.1y |
|
|
|
|
|
|||
24. |
y/ = 1 − sin(1.75x + y)+ |
|
|
|
, |
y(0)= 1. |
|||||||||||
|
x + 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
25. |
y / = |
|
|
− 0.5y2 , |
y(0)= 0. |
|
|||||||||||
1.25 + x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
26. |
y/ = cos(1.5x + y)− 2.25(x + y), y(0)= 2. |
||||||||||||||||
27. |
y/ = |
|
cos y |
−1.25y2 , |
y(0)= 1. |
|
|||||||||||
1.5 + x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28. |
y/ =1 − (x −1)sin y + 2(x + y), |
y(0)= 0.5. |
|||||||||||||||
29. |
y / = 1 − sin(0.75x − y)+ |
1.75y |
, |
y(0)= 0. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
30.y / = cos(x − y)+ 1.25y , y(0)= 0.5.
1.5+ x
7.9.Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Как правило, на практике приходиться решать задачу Коши не для одного дифференциального уравнения, а для системы вида
|
|
|
|
|
y1/ (x)= f1 |
(x, y1 (x), y2 |
(x),..., yn |
(x)), |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y/ |
(x)= f |
|
(x, y |
(x), y |
|
|
(x),..., |
y |
n |
(x)), |
(7.9.1) |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
..................................................... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
y/ |
(x)= f |
n |
(x, y |
(x), y |
2 |
(x),..., |
y |
n |
(x)). |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь y1 (x), y2 (x),..., yn (x) - искомые функции, |
значения которых подлежат определению на |
|||||||||||||||||||||||
[x0 , X ]. В момент x = x0 задаются начальные условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
(x0 )= y10 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
(x0 )= y20 , |
|
|
|
(7.9.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 )= yn0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определяющие начальное состояние системы (7.9.1). |
|
|
|
|
|
(x, |
|
)= |
||||||||||||||||
Введем |
|
вектор-функции |
|
|
|
|
|
(x)= (y1 (x), y2 (x),..., yn (x))T , |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
f |
y |
|||||||||||||||||
= (f1 (x, |
|
), f2 (x, |
|
),..., fn (x, |
|
))T |
и вектор |
|
|
0 = (y10 , y20 ,..., yn0 )T . Тогда задачу |
Коши (7.9.1), |
|||||||||||||
y |
y |
y |
|
y |
(7.9.2) можно записать в компактной форме:
177
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)= f (x, |
|
y), |
|
||||||||||
y |
|
|
(7.9.3) |
|||||||||||
|
|
|
(x |
|
)= |
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
0 |
y |
0 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 7.3. (Теорема существования и единственности решения). Пусть век-
тор - функция |
|
|
(x, |
|
|
) определена и непрерывна в области GX |
и удовлетворяет условию |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Липшица |
|
|
(x, |
|
1 )− |
|
(x, |
|
2 ) |
|
≤ L |
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
|
L = const, |
L > 0, |
|
|
|
|
|
(7.9.4) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
y |
f |
y |
y |
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для x [x |
|
0 , X ] и произвольных |
|
|
1 , |
|
|
2 . |
|
|
Тогда для каждого начального значения |
|
0 су- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
y |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ществует единственное решение |
|
(x) задачи Коши, определенное на отрезке [x0 , X ]. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если функции f1 , f2 ,..., fn |
непрерывно дифференцируемы по |
y1 , y2 ,..., yn , то усло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вие (7.9.4) эквивалентно условию |
|
f y/ (x, |
|
) |
|
≤ L, где матрица Якоби |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y) |
(x, y) |
... |
yn |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 y1 |
f1 y2 |
f1 |
(x, y) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f / |
(x, |
|
) |
f / |
(x, |
|
) |
... |
f / |
|
(x, |
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
y |
(7.9.5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f y/ (x, y)= |
2 y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y2 |
|
|
|
... |
2 |
yn |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn/ y1 |
(x, |
|
) |
fn/ y2 |
(x, |
|
) |
... |
fn/ |
|
(x, |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
yn |
y |
|
|
|
На практике методы решения задачи Коши одного уравнения можно использовать и для систем, причем уравнения претерпевают минимальные изменения. Следует лишь заме-
нить в расчетных формулах числа yi |
|
на векторы |
|
|
i |
|
= (y1, y2 ,..., yn )T , а функцию f |
- на век- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тор - функцию |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
расчетная формула метода Эйлера yi+1 = yi + hf (xi , yi ) применительно к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Например, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
системе (7.9.3) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi , |
|
|
i ) или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i+1 = |
|
|
|
i |
+ h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
f |
y |
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
= y |
1i |
|
+ hf |
|
(x |
|
, y |
, y |
2i |
,..., y |
ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y2i |
|
+ hf2 (xi , y1i , y2i ,..., yni ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.9.6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2,i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y |
|
|
|
+ hf |
|
|
(x |
|
|
, y |
|
, y |
|
|
|
,..., y |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
n,i+1 |
ni |
|
n |
i |
|
2i |
ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Метод Рунге - Кутты четвертого порядка точности (7.4.13) порождает следующие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
yi+1 = yi + hk i , k i = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(k i |
|
|
|
2k i |
|
|
|
+ 2k i |
+ k i |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= f |
(xi , yi ), |
|
|
= f |
|
|
+ |
|
, yi + |
|
|
|
|
|
|
(7.9.7) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k i |
|
|
k i |
|
|
xi |
|
|
2 |
|
2 |
k i , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|||||||||||||||
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|||||||||||||||
|
|
= f |
|
|
|
|
, yi + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k i |
xi + |
2 |
2 |
k i |
|
|
, k i |
|
|
= f (xi + h, yi + hk i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория численных методов решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений имеет много общего с соответствующей теорией решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения.
7.10. Сведение задачи Коши для уравнения n -го порядка к задаче Коши для системы
уравнений первого порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение n -го порядка в нормальной форме y(n )(x)= f (x, y(x), y/ (x),..., y(n−1)(x))
178
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x0 )= y10 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
с начальными условиями |
|
|
|
y/ (x0 )= y20 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.10.1) |
|||||||
|
|
|
................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(n−1) |
(x0 )= yn0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Положим |
y (x)= y(x), |
y |
2 |
(x)= y / (x),..., y |
n |
(x)= y(n−1)(x). Кроме |
того, |
очевидно, что |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)= y // (x)= (y / |
(x))/ = (y / |
(x))/ = y / |
|
||
y |
k |
(x)= y/ |
(x), например, y |
2 |
(x)= y/ (x) |
= y |
/ |
(x), y |
3 |
(x) и так |
||||||||||||
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||
далее. Тогда уравнение (7.10.1) с заданными начальными условиями примет вид |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1/ (x)= y2 (x), |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 (x)= y3 (x), |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................... |
|
|
|
|
(7.10.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y/ |
(x)= y |
n |
(x), |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
(x)= f (x, y1 (x), y2 (x),..., yn (x)). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|||||||||||||||
Начальные условия в новых обозначениях будут выглядеть так: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
(x0 ) |
= y10 , |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
(x0 )= y20 , |
|
|
|
(7.10.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................... |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 )= yn0 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
Чаще всего при необходимости решить уравнение (7.10.1) его приводят к виду (7.10.2) и (7.10.3), а далее решают систему дифференциальных уравнений. Редко, но бывают случаи, когда сведение к системе (7.10.2) не требуется. Обычно иными способами решают
дифференциальные уравнения специального вида. |
|
|
|
|
Пример. Методом РунгеКутты |
решить |
|
дифференциальное уравнение |
|
y// − xy/ + 2xy = 0.8 с начальными условиями |
y(1.5)=1, |
на отрезке |
x [1.5,1.8] с шагом |
|
|
2, |
|||
|
y/ (1.5)= |
|
|
h = 0.1.
Сведем это уравнение к системе дифференциальных уравнений первого порядка. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
y(x)= y (x), |
|
y/ (x)= y |
2 |
(x). |
|
Тогда |
|
|
|
|
y/ (x)= y/ (x) |
= y |
2 |
(x), |
y// (x)= |
(y/ (x))/ = |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= y/ (x)= 0.8 − 2xy + xy |
2 |
. Таким образом, нужная система имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
y1/ (x)= y2 (x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.10.4) |
||||||||||
|
|
|
|
y/ (x)= 0.8 − 2xy |
(x) |
+ xy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при начальных условиях |
y |
(1.5) |
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.10.5) |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y2 |
(1.5)= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Удобнее всего все вычисления для y1 (x) |
|
и |
y2 (x) помещать в одну таблицу. Опишем |
||||||||||||||||||||||||||
подробно последовательность действий при заполнении этой таблицы при i = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. При |
i = 0 |
записываем |
x0 |
= 1.5 , |
|
|
а |
|
|
|
в |
столбец |
|
(y1 (xi |
), y2 |
(xi )) |
заносим |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
= f1 (x0 , y10 , y20 )= y20 |
= 2, |
|
|
|
|
|||||||||||
y1 (x0 )=1, |
y2 (x0 )= 2. Вычисляем |
|
|
|
k0 y |
|
|
|
Эти ве- |
||||||||||||||||||||
|
(1) |
|
|
(x |
|
1 |
|
|
|
|
|
)= 0.8 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= f |
|
|
, y |
|
, y |
|
|
y |
+ x |
|
y |
|
= 0.8. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
0 y2 |
2 |
0 |
|
20 |
0 |
0 |
20 |
|
|||||||||||||
личины k0(1)y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|||||||||
заносим также в столбец |
f , так как в формуле интегрирования они использу- |
ются с множителем единица.
2. Для x = x0 + h2 = 1.55 в столбце (y1 (xi ), y2 (xi )) записываем
179
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
+ h k (1) |
=1 + 0.05 2 =1.100000, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
2 |
0 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ h k0(1)y2 = 2 + 0.05 0.8 = 2.040000. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k0(2)y |
|
|
|||||
Вычисляем |
для |
|
|
следующего |
|
|
|
столбца |
|
|
и |
|
записываем |
в |
него |
|
|
= 2.040000, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
h |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
k |
|
|
|
|
= 0.8 − |
2 x |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
y |
+ |
|
|
k |
|
|
|
+ |
x |
|
+ |
|
|
|
y |
20 |
+ |
|
k |
0 y2 |
= 0.8 −2 1.55 |
1.10 |
+1.55 2.04 = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
0 |
y1 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= 0.552000. В столбец |
f |
записываем k0(2)y |
|
|
и k0(2)y |
|
с множителем два (см. формулу (7.4.13)). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3. Следующие две строки таблицы заполняются аналогично пункту два. Именно, в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
столбец |
|
|
|
x |
|
записываем |
|
|
|
|
x |
0 |
+ |
h |
= 1.55 |
. |
|
Для |
|
столбца |
|
(y |
(x |
), y |
2 |
(x |
)) находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
+ h k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
(2) |
=1 + 0.05 2.040000 =1.102000, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
10 |
|
2 |
|
|
0 |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ h k0(2)y2 = 2 + 0.05 0.552000 = 2.027600. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Для |
|
|
h |
|
|
|
|
|
следующего |
|
|
|
|
|
|
|
|
столбца |
|
|
|
|
|
|
|
вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
величины |
||||||||||||||||||||||||||||
k0(3)y |
|
= y20 |
+ |
k0(2)y |
|
= y2 |
= 2.027600, k0(3)y |
|
|
= 0.8 − 2 1.55 1.102 +1.55 2.0276 = 0.526580. На- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
конец, в столбец |
|
|
f |
|
ставим числа |
2k0(3)y и 2k0(3)y |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. В |
|
|
столбец |
|
|
|
записываем |
|
|
x0 |
+ h =1.60. |
|
|
В |
столбец |
(y1 (xi ), y2 (xi )) |
|
|
записываем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y10 |
|
|
|
|
(3) |
|
=1 + 0.1 2.027600 =1.202760, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ hk0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ hk |
(3) |
1 |
= 2 + 0.1 0.526580 = 2.052658. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
20 |
0 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициенты |
|
|
|
k0(4)y |
|
= y2 |
|
= 2.052658, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
= 0.8 − 2 1.60 1.202760 +1.60 2.052658 = 0.235421. |
|
Записываем |
эти |
же |
|
значения в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбец |
|
|
f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k0(1−4)y |
|
k0(1−4)y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
5. Используя |
|
найденные |
|
|
значения |
|
|
коэффициентов |
и |
2 |
|
вычисляем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(k (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
= |
|
1 |
+ 2k |
(2) |
|
+ 2k (3) |
|
+ k |
(4) |
|
1 |
(2.000000 + 4.080000 + 4.055200 + 2.052658)= 2.031310. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 y |
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
6 |
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 y |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично |
y2 = 0.532096. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ h =1.60 , y1 (x1 )= y1 (x0 )+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6. Для i =1 находим x1 |
= x0 |
y1 |
=1 + 2.031310 = 3.031310, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 (x1 )= y2 (x0 )+ |
|
y2 |
|
= 2 + 0.532096 = 2.532096. Далее все вычисления повторяются до дос- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тижения x = xn =1.8. Результаты помещены в следующую таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y1 (xi ), y2 (xi )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ki(1−4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1 6 ∑α k |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1.50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.100000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.040000 |
|
|
|
|
|
|
|
4.080000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.040000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.552000 |
|
|
|
|
|
|
|
1.104000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.102000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.027600 |
|
|
|
|
|
|
|
4.055200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.027690 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.526580 |
|
|
|
|
|
|
|
1.053160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.202760 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.052658 |
|
|
|
|
|
|
|
2.052658 |
|
|
|
|
|
|
|
2.031310 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.052658 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.235421 |
|
|
|
|
|
|
|
0.235421 |
|
|
|
|
|
|
|
0.532096 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|