- •1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ; ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ
- •1.1. Источники и классификация погрешностей результата численного эксперимента
- •1.2. Погрешности чисел
- •1.3. Погрешности арифметических операций
- •1.4. Погрешности функций
- •1.5. Особенности машинной арифметики
- •1.6. Лабораторная работа № 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей приближенных чисел. Оценка погрешностей результата
- •1.7. Корректность вычислительной задачи
- •1.8. Обусловленность вычислительной задачи
- •1.9. Вычислительные методы, их классификация
- •2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
- •2.1. Задача приближения функций
- •2.2. Интерполяция обобщенными многочленами
- •2.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
- •2.4. Погрешность интерполяции
- •2.5. Конечные разности и их свойства
- •Доказательство
- •2.6. Разделенные разности и их свойства
- •2.9. Лабораторная работа № 2. Интерполирование и экстраполирование данных. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.10. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями
- •2.11. Лабораторная работа № 3. Интерполирование и экстраполирование данных. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.12. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя
- •3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
- •3.1. Постановка задачи и вывод формул метода наименьших квадратов
- •3.3. Глобальная полиномиальная интерполяция
- •3.4. Чувствительность интерполяционного многочлена к погрешностям входных данных
- •3.5. Многочлены Чебышева
- •3.6. Решение задачи минимизации оценки погрешности
- •3.8. Лабораторная работа №5. Экономизация степенных рядов
- •3.9. Локальная интерполяция
- •3.10. Сплайны, их свойства и построение
- •3.11. Погрешность приближения кубическими сплайнами
- •3.13. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье и его реализация на ЭВМ
- •3.14. Матричная форма записи дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
- •3.15. Алгоритм реализации ДПФ
- •3.16. Пример реализации алгоритма ДПФ при
- •3.17. Лабораторная работа № 7. Дискретное преобразование Фурье
- •4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •4.1. Простейшие формулы численного дифференцирования для первой производной
- •4.2. Формулы численного дифференцирования для второй производной
- •4.3. Формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяции алгебраическими многочленами
- •4.4. Обусловленность формул численного дифференцирования
- •4.5. Простейшие квадратурные методы численного интегрирования
- •4.6. Оценка погрешностей простейших квадратурных формул
- •4.7. Квадратурные формулы интерполяционного типа
- •4.8. Квадратурные формулы Гаусса
- •4.9. Лабораторная работа № 8. Численное дифференцирование и численное интегрирование функций
- •5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
- •5.1. Нормы векторов и матриц и их свойства
- •5.2. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений
- •5.3. Метод Гаусса (схема единственного деления)
- •5.4. Метод прогонки
- •5.5. Метод простых итераций
- •5.6. Сходимость метода простых итераций
- •5.10. Постановка задачи нахождения собственных чисел
- •5.11. Подобные матрицы
- •5.12. Локализация собственных значений
- •5.13. Степенной метод
- •5.14. Вычисление собственных векторов методом обратных итераций
- •6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
- •6.1. Решение нелинейных уравнений
- •6.2. Метод Ньютона для уравнений
- •6.3. Сходимость метода Ньютона и трудности его применения
- •6.4. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •6.6. Модификации метода Ньютона
- •6.7. Лабораторная работа № 11. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
- •7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •7.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
- •7.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения
- •7.3. Решение с помощью рядов Тейлора
- •7.5. Анализ ошибок, возникающих при использовании методов Рунге - Кутты
- •7.6. Методы прогноза и коррекции
- •7.7. Сравнение методов
- •7.8. Лабораторная работа № 12. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.9. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.11. Лабораторная работа № 13. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений первого порядка
- •8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ)
- •8.1. Классификация уравнений математической физики
- •8.2. Простейшие задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных
- •8.4. Уравнения параболического типа. Явные и неявные схемы
- •Доказательство
- •8.5. Уравнения гиперболического типа
- •8.6. Уравнения эллиптического типа
- •8.7. Свойства разностных схем для дифференциальных уравнений: способность аппроксимировать исходную дифференциальную задачу, устойчивость и сходимость
- •8.8. Некоторые обобщения
- •8.9. Лабораторная работа № 14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •8.10. Лабораторная работа № 15. Решение однородного уравнения колебаний струны методом сеток по неявной схеме.
5 |
5.375470 |
0.320293 |
0.811308 |
-0.051321 |
6 |
4.703964 |
0.461342 |
0.886644 |
-0.032067 |
7 |
5.425668 |
0.404845 |
0.914362 |
0.006624 |
8 |
5.085983 |
0.439969 |
0.897778 |
-0.020557 |
9 |
5.298928 |
0.417814 |
0.908526 |
-0.002034 |
10 |
5.171134 |
0.431704 |
0.901906 |
-0.014094 |
11 |
5.251758 |
0.422957 |
0.906120 |
-0.007328 |
12 |
5.226316 |
0.426272 |
0.904522 |
-0.011520 |
13 |
5.216012 |
0.426340 |
0.904508 |
-0.009965 |
14 |
5.220049 |
0.426316 |
0.904519 |
-0.009929 |
15 |
5.219940 |
0.426331 |
0.904513 |
-0.009940 |
16 |
5.220039 |
0.426322 |
0.904517 |
-0.009933 |
Видно, что при вычислении по формуле Кардано не достигнута даже точность ε = 10−3 , так как λ 1≈ 5.220 , а не 5.242, как в предыдущем примере. Главный недостаток этого мето-
да - медленная сходимость, пропорциональная λ 2 λ 1 .
|
Для вычисления следующего собственного числа можно использовать сдвиг на |
|
~ |
σ = λ 1 |
. После сдвига рассматривается матрица A = A − σ E , собственными числами кото- |
рой являются числа λ i − σ. В этом случае число λ 1− λ 1 будет минимальным по модулю,
следовательно, степенной метод даст другое число, например, λ 2 − λ 1 , сдвиг |
которого |
||||
максимален. |
|
||||
5.14. Вычисление собственных векторов методом обратных итераций |
|
||||
Если найдено достаточно точное приближение λ j к собственному числу λ j , то, ка- |
|||||
залось бы, можно вычислить |
|
j из уравнения по определению |
|
||
e |
|
||||
|
|
(A − λ j E) |
|
j = 0. |
(5.14.1) |
|
|
e |
|||
Однако из-за приближенности λ j матрица A − λ j E будет плохо обусловленной, |
но невы- |
рожденной и, следовательно, e j = 0. Таким образом, уравнение (5.14.1) мало подходит для
определения e j .
В методе обратных итераций приближения к собственному вектору определяются как последовательные решения системы уравнений
(A − λ j E) |
|
|
(k +1) = |
|
(k ), |
||||||
y |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k +1) |
|
|
||
|
(k +1) = |
|
y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(k +1) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем в качестве |
|
(0) |
берут любой ненулевой вектор, например, |
|
(0) |
= (1,1,...,1)T . |
|||||||||||||||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
(0) |
и |
|
|
(1) |
в виде |
разложения по базису |
из |
собственных |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
x(0) |
= ∑ci ei , y(1) = ∑α i ei . |
Тогда |
(A − λ j E)y(1) |
= (A − λ j E)∑α i ei |
= ∑α i (λ i − λ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
1 |
|
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
как в базисе {e |
i }in=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A = |
|
0 |
|
|
... |
0 |
. Система (5.14.2) преобразуется к виду |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ n |
|
|
|
|
|
|
(5.14.2)
векторов
j )ei , так
146
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ci |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∑α i (λ i − λ |
|
j )ei |
= ∑ci ei , |
|
|
то |
|
есть α i (λ i − λ |
|
j |
|
)= ci , |
|
α i |
= |
|
|
|
|
|
|
|
. Отсюда |
y |
|
|
= ∑α i ei |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
− λ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
ci |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
λ |
|
|
j |
− λ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
e j |
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
ei |
.Если |
|
λ |
|
|
достаточно близко |
к |
|
|
λ |
|
|
, |
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− λ |
|
|
|
λ |
|
|
− λ |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
− λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i=1 λ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
i≠ j |
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
λ |
j |
− λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
λ j − λ j |
|
<< |
λ i − λ j |
|
для всех i ≠ j |
|
и второе слагаемое в скобке, то есть ∑ |
|
|
|
|
j |
|
ci e , бу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
λ |
|
|
− λ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i≠ j |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дет мало. Тогда |
y |
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e j = ke j |
, |
|
то есть векторы |
y |
и e j будут почти коллинеар- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
λ |
|
j |
− λ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ными. Тогда вектор |
|
(k ) |
будет сходиться к |
|
|
|
j |
|
по направлению со скоростью геометрической |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
e |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
j |
− λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
прогрессии со знаменателем |
|
|
q = max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
. Чаще всего q << 1 и метод сходится очень |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
λ |
|
|
− λ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i≠ j |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
быстро. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Практически метод обратных итераций используют вместе с отношением Релея: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
(k )= ρ (x |
(k ) )= (A |
|
|
(k ), |
|
|
(k ) ), k ≥ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A − λ (k )E ) |
|
(k +1) = |
|
(k ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.14.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k +1) |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
= (1,1,1)T |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Пример. Найдем |
e |
1 |
для матрицы из предыдущего примера, положив |
x |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приняв λ 1= 5.220. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4.220y1 + 2 y2 |
+ y3 =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Запишем систему из (5.14.3) при k = 0 : |
|
|
|
|
|
|
9 y1 − 4.220y2 |
+ 2 y3 =1, |
Решим ее |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y1 |
|
|
− y2 − 5.220y3=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
методом Гаусса с выбором главного элемента: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.000000y1 − 4.220000y2 |
|
+ 2.000000y3 |
|
=1.000000, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.021289 y2 |
+1.937778y3 |
=1.468889, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0.062222 y2 |
|
− 5.664444 y3= 0.777778. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.000000y1 − 4.220000y2 + 2.000000y3 |
|
=1.000000, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0.062222 y2 −5.664444 y3= 0.777778, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.097 10 |
−6 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1.734963. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
y |
|
= 560207.58, |
y |
|
= −6153.83, |
|
y |
= |
|
|
264043.38. Наконец, нормируя вектор |
|
|
(1), по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.426327 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучим e1 |
= x1 = |
0.904514 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0.009936 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147
5.15. Лабораторная работа № 10. Вычисление собственных значений (чисел) и векторов матриц
К настоящему времени имеется много различных алгоритмов решения проблемы собственных значений. Все они эффективны, но достаточно сложны и трудоемки. К наиболее простым методам нахождения собственных чисел относится степенной метод. К сожалению, им можно определить лишь два максимальных по модулю собственных значения.
Также довольно простой метод обратных итераций, очень похожий на степенной по алгоритму, позволяет находить собственный вектор, соответствующий заданному собственному числу. Это итеративный метод, он дает приближение к собственному вектору, сходящееся к нему по направлению. Следует заметить, что при вычислении собственных векторов имеется определенный произвол. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие определенному собственному числу, образуют линейное пространство. Различные способы вычисления собственных векторов дают разные базисы этого пространства и, следовательно, разные координаты собственных векторов, удовлетворяющих, однако, основному определению собственного вектора Ax = λ x .
В среде Mathcad собственные значения и векторы находятся функциями eigenvals, ei-
genvec, eigenvecs, genvals и genvecs. Рассмотрим их все по порядку.
Встроенная функция eigenvals(A) вычисляет вектор собственных значений матрицы
A , функция genvals – вектор обобщенных собственных значений |
λi |
|
матрицы |
A , |
||||||||||||||||||||
удовлетворяющий условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ax |
= λi N x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.15.1) |
|||||
где N - матрица с действительными элементами. Если задать N = E , то результаты работы |
||||||||||||||||||||||||
этих двух подпрограмм будут одинаковыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Введем с клавиатуры начало программы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 0 |
|||||||||||
|
0 |
|
2 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 0 |
|
|||||
ORIGIN := 1 A := |
|
TOL = 10−3 |
E |
:= identity(4) E = |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 0 |
|
||
|
0 0 1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 0 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c := eigenvals(A) c = |
|
|
c1 := genvals(A, E) c1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично вычисляются и собственные вектора, соответствующие заданным собст- |
||||||||||||||||||||||||
венным числам: |
|
− 0.643 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.643 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v := eigenvec(A, c ) v = |
− 0.685 |
|
v1 := eigenvec(A, c |
2 |
) |
|
v1 = |
0.737 |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
0.343 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0.187 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.093 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Эти вектора удовлетворяют основному определению |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Ax |
= λ x (см. ниже). Функции |
eigenvecs и genvecs также дают все нормированные собственные векторы заданной матрицы. Координаты собственных векторов расположены по столбцам результирующей матрицы, порядок расположения собственных векторов соответствует порядку собственных чисел,
148
возвращаемых функциями eigenvals и genvals. Однако в данном случае собственные векторы относятся к иному базису линейного пространства и имеют другие координаты.
|
|
− 0.643 |
|
|
|
|
− 0.643 |
|
|
|
|
1.287 |
|
|
|
1.287 |
|
|
|
− 0.685 |
|
|
|
|
− 0.685 |
|
|
|
|
1.473 |
|
|
|
1.473 |
|
A v = |
|
|
c |
v = |
|
|
A v1 |
= |
|
|
A v = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0.343 |
1 |
|
0.343 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0.373 |
|
|
− 0.373 |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0.187 |
|
|
|
0.187 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.707 |
|
|
0 |
|
|
0.408 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.707 |
|
|
0.894 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
vv := eigenvecs(A) |
vv = |
|
|
|
|
|
|
vm := genvecs(A, E) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
− 0.447 |
|
0.816 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
− |
0.408 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
0.707 |
|
|
0 |
|
|
|
− 0.408 |
|
|
|
|
1 |
1.414 |
|
|
|
0 |
|
0.816 |
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
0.707 |
|
− 0.894 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1.414 |
|
0.894 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
vm = |
0 |
|
|
0 |
|
|
0.447 |
|
|
− 0.816 |
|
|
A vv = |
0 |
0 |
|
|
− 0.447 |
1.633 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0.408 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
− 0.816 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1.414 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.816 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.894 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
c |
vv |
1 |
= |
|
|
c |
|
vv |
2 |
= |
1.414 |
|
c |
|
vv |
3 |
= |
|
|
c |
|
vv |
4 |
= |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.633 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0.447 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0.816 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Противоположные знаки компонент векторов vv 3 |
и vv 4 |
в матрицах vv и vm объ- |
ясняются противоположной направленностью собственных векторов, получаемых подпро-
граммами eigenvecs и genvecs.
Поскольку функции, реализующей формулы (5.13.1) степенного метода, в пакете Mathcad нет, составим такую подпрограмму сами. В качестве исходных данных будем рас-
сматривать саму матрицу A и произвольный вектор x0 , необходимый для запуска процесса итераций по формулам (5.13.1). Сама подпрограмма весьма проста и имеет следующий вид:
Найдем два первых максимальных по модулю собственных числа матрицы
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
λ1 := λ(x0, A) λ1 = 2 |
A1 := A − λ1 E λ2 := λ(x0, A1)+ λ1 λ2 = 1 |
|
x0 := |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Вычисление собственного вектора можно встроить в подпрограмму λ(x0, A) по формулам (5.14.2) или (5.14.3). Запрограммируем, однако, его нахождение отдельно:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.632 |
|
|
|
|
1.265 |
|
|
|
|
|
1.265 |
|
|
|
|
|
|
0.738 |
|
|
|
|
1.476 |
|
|
|
|
|
1.476 |
|
|
v1 := evect (λ1, A) |
v1 = |
|
|
A v1 |
= |
|
|
v1 λ1 |
= |
|
|
||||||
|
− 0.211 |
|
|
− 0.422 |
|
|
− 0.422 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0.105 |
|
|
|
|
0.211 |
|
|
|
|
|
0.211 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 1. Определить собственные значения и собственные вектора матрицы A
средствами пакета Mathcad, затем найти максимальное по модулю собственное число и соот- |
|||||||||||||||
ветствующий ему собственный вектор с помощью подпрограмм λ(x0, A) |
и evect(λ1, A). |
||||||||||||||
|
|
1 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
|
|
|
1 |
1.2 |
2 |
0.5 |
|
|
|
|
|
1.5 |
1 |
2 |
1.6 |
|
|
|
|
1 |
0.4 |
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
|
|
||||||||
1. |
A = |
2.5 |
2 |
1 |
1.7 |
|
2. |
A = |
2 |
0.4 |
2 |
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3.5 |
1.6 |
1.7 |
1 |
|
|
|
0.5 |
1.2 |
1.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
1.2 |
2 |
0.5 |
|
|
|
2.5 |
1 |
− 0.5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0.5 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
1.2 |
0.4 |
|
||
|
1.2 |
|
|
|
|
||||||||||
3. |
A = |
2 |
0.5 |
2 |
1.5 |
|
4. |
A = |
− 0.5 |
1.2 |
−1 |
1.5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0.5 |
1 |
1.5 |
0.5 |
|
|
|
2 |
0.4 |
1.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150
|
|
|
2 |
1 |
1.4 |
0.5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
0.5 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
A = |
|
|
0.5 |
2 |
1.2 |
|
|
|
|
|||
|
|
1.4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0.5 |
1 |
1.2 |
0.5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
1.5 |
3.5 |
4.5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1.5 |
2 |
2 |
1.6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
A = |
3.5 |
2 |
2 |
1.7 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4.5 |
1.6 |
1.7 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1.2 |
0.5 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0.5 |
1 |
0.8 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
A = |
2 |
0.8 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1.2 |
0.5 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
1 |
|
0.6 |
|
2 |
|
|
|
|
11. |
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
0.6 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1.6 |
1 |
1.4 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0.5 |
|
2 |
|
|
||
13. |
A = |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0.5 |
|
2 |
1.2 |
|
|
||||||
|
|
|
1.4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1.2 |
0.5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0.5 |
1.2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
0.5 |
1.2 |
|
|
|||
15. |
A = |
1.2 |
|
|
|
||||||||
|
2 |
0.5 |
|
1 |
0.5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
1.2 |
|
0.5 |
1.6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
1.5 |
|
1.2 |
|
0.5 |
|
|
||
|
|
|
|
1.5 |
2 |
|
0.4 |
|
2 |
|
|
|
|
17. |
A = |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0.4 |
|
1.5 |
1.4 |
|
|
||||||
|
|
|
1.2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0.5 |
2 |
|
1.4 |
|
1.3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
1.5 |
0.4 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
1.5 |
−1.2 |
1 |
|
− 0.5 |
|
||||
19. |
A = |
|
|
|
|||||||||
|
0.4 |
1 |
|
2 |
|
1.2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
− 0.5 |
1.2 |
|
|
2.5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1.5 |
1.6 |
|
1.7 |
1.8 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2.5 |
|
1.2 |
1.3 |
|
|
|
||
21. |
A = |
1.6 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1.2 |
|
3.5 |
1.4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
1.7 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1.3 |
|
1.4 |
4.6 |
|
|
|||
|
|
|
1.8 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1.6 |
1.6 |
|
1.7 |
1.8 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
2.6 |
|
1.3 |
1.3 |
|
|
|||
23. |
A = |
1.6 |
|
|
|
||||||||
|
|
1.3 |
|
3.6 |
1.4 |
|
|
||||||
|
|
|
1.7 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1.3 |
|
1.4 |
|
4.6 |
|
|
||
|
|
|
1.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1.2 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|||
|
1.2 |
|
|
|
|
|||||||||
6. |
A = |
−1 |
2 |
−1.5 |
0.2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
−1 |
0.2 |
1.5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
0.5 |
1.2 |
−1 |
|
|
|||||
|
|
0.5 |
2 |
− 0.5 |
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
A = |
|
|
|
− 0.5 |
−1 |
1.4 |
|
|
|
||||
|
1.2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
−1 |
0 |
1.4 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0.5 |
1.2 |
1 |
0.9 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
0.5 |
1.2 |
|
|
|
|
|
|||
10. |
1.2 |
|
|
|
|
|
||||||||
A = |
|
1 |
0.5 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0.5 |
1.2 |
1 |
2.2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
1.5 |
4.5 |
5.5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1.5 |
3 |
2 |
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = |
4.5 |
2 |
3 |
1.7 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5.5 |
1.6 |
1.7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2.4 |
0.5 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0.5 |
1 |
0.8 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
14. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
A = |
2 |
0.8 |
1 |
0.5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
0.5 |
1.2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1.8 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2.8 |
1.5 |
1.3 |
|
|
|
|
|
||||
16. |
1.6 |
|
|
|
|
|
||||||||
A = |
|
1.5 |
3.8 |
1.4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
1.7 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1.3 |
1.4 |
4.8 |
|
|
|
|
|||||
|
1.8 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
0.5 − 0.5 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
0.5 |
−1 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|||
18. |
A = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
− 0.5 2 |
1 |
|
|
|
−1.5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
0 |
−1.5 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1.9 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2.9 |
1.6 |
1.3 |
|
|
|
|
|||||
20. |
A = |
1.6 |
|
|
|
|
||||||||
|
1.6 |
3.9 |
1.4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1.7 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1.3 |
1.4 |
4.9 |
|
|
|
|
|||||
|
|
1.8 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0.5 |
1 |
1.2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
1.2 |
− |
0.5 |
|
|
|
0.6 |
|
|
||
22. |
A = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− 0.5 |
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|||||
|
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
0.6 |
−1 |
|
|
1.2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
1.7 |
1.3 |
|
|
|
|
|
|||
24. |
A = |
1.6 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1.7 |
4 |
1.4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1.7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1.3 |
1.4 |
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1.8 |
|
|
|
|
|
|||||||
151 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
1.4 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
1.2 |
0.3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1.5 |
|
|
|
|
0.5 |
1 |
0.7 |
|
||
25. |
1.4 |
|
26. |
1.2 |
|
||||||||||
A = |
2 |
0 |
2.5 |
2 |
|
A = |
0.3 |
1 |
− 0.4 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
1.5 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
0.7 |
1 |
1.5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1.7 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
|
|
|
2 |
1.7 |
1.6 |
4.5 |
|
|
||
|
|
|
2.7 |
1.4 |
1.3 |
|
|
|
1.7 |
2 |
2 |
3.5 |
|
|
|
27. |
1.6 |
|
28. |
|
|
|
|||||||||
A = |
|
1.4 |
3.7 |
1.4 |
|
A = |
1.6 |
2 |
1 |
1.5 |
|
|
|||
|
1.7 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1.3 |
1.4 |
4.7 |
|
|
|
4.5 |
3.5 |
1.5 |
1 |
|
|
|
|
1.8 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1.6 |
0.4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
1.7 |
1.6 |
5.5 |
|
|
|
|
0.4 |
1 |
0.5 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4.5 |
|
|
29. |
|
|
|
30. |
1.7 |
|
|
||||||||
A = |
1 |
0.5 |
0 |
0.2 |
|
A = |
|
2 |
3 |
1.5 |
|
|
|||
|
|
|
|
1.6 |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
1 |
0.2 |
0.5 |
|
|
|
5.5 |
4.5 |
1.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152