- •1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ; ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ
- •1.1. Источники и классификация погрешностей результата численного эксперимента
- •1.2. Погрешности чисел
- •1.3. Погрешности арифметических операций
- •1.4. Погрешности функций
- •1.5. Особенности машинной арифметики
- •1.6. Лабораторная работа № 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей приближенных чисел. Оценка погрешностей результата
- •1.7. Корректность вычислительной задачи
- •1.8. Обусловленность вычислительной задачи
- •1.9. Вычислительные методы, их классификация
- •2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
- •2.1. Задача приближения функций
- •2.2. Интерполяция обобщенными многочленами
- •2.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
- •2.4. Погрешность интерполяции
- •2.5. Конечные разности и их свойства
- •Доказательство
- •2.6. Разделенные разности и их свойства
- •2.9. Лабораторная работа № 2. Интерполирование и экстраполирование данных. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.10. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями
- •2.11. Лабораторная работа № 3. Интерполирование и экстраполирование данных. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.12. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя
- •3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
- •3.1. Постановка задачи и вывод формул метода наименьших квадратов
- •3.3. Глобальная полиномиальная интерполяция
- •3.4. Чувствительность интерполяционного многочлена к погрешностям входных данных
- •3.5. Многочлены Чебышева
- •3.6. Решение задачи минимизации оценки погрешности
- •3.8. Лабораторная работа №5. Экономизация степенных рядов
- •3.9. Локальная интерполяция
- •3.10. Сплайны, их свойства и построение
- •3.11. Погрешность приближения кубическими сплайнами
- •3.13. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье и его реализация на ЭВМ
- •3.14. Матричная форма записи дискретного преобразования Фурье (ДПФ)
- •3.15. Алгоритм реализации ДПФ
- •3.16. Пример реализации алгоритма ДПФ при
- •3.17. Лабораторная работа № 7. Дискретное преобразование Фурье
- •4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •4.1. Простейшие формулы численного дифференцирования для первой производной
- •4.2. Формулы численного дифференцирования для второй производной
- •4.3. Формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяции алгебраическими многочленами
- •4.4. Обусловленность формул численного дифференцирования
- •4.5. Простейшие квадратурные методы численного интегрирования
- •4.6. Оценка погрешностей простейших квадратурных формул
- •4.7. Квадратурные формулы интерполяционного типа
- •4.8. Квадратурные формулы Гаусса
- •4.9. Лабораторная работа № 8. Численное дифференцирование и численное интегрирование функций
- •5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
- •5.1. Нормы векторов и матриц и их свойства
- •5.2. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений
- •5.3. Метод Гаусса (схема единственного деления)
- •5.4. Метод прогонки
- •5.5. Метод простых итераций
- •5.6. Сходимость метода простых итераций
- •5.10. Постановка задачи нахождения собственных чисел
- •5.11. Подобные матрицы
- •5.12. Локализация собственных значений
- •5.13. Степенной метод
- •5.14. Вычисление собственных векторов методом обратных итераций
- •6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
- •6.1. Решение нелинейных уравнений
- •6.2. Метод Ньютона для уравнений
- •6.3. Сходимость метода Ньютона и трудности его применения
- •6.4. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
- •6.6. Модификации метода Ньютона
- •6.7. Лабораторная работа № 11. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
- •7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •7.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
- •7.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения
- •7.3. Решение с помощью рядов Тейлора
- •7.5. Анализ ошибок, возникающих при использовании методов Рунге - Кутты
- •7.6. Методы прогноза и коррекции
- •7.7. Сравнение методов
- •7.8. Лабораторная работа № 12. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.9. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.11. Лабораторная работа № 13. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений первого порядка
- •8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ)
- •8.1. Классификация уравнений математической физики
- •8.2. Простейшие задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных
- •8.4. Уравнения параболического типа. Явные и неявные схемы
- •Доказательство
- •8.5. Уравнения гиперболического типа
- •8.6. Уравнения эллиптического типа
- •8.7. Свойства разностных схем для дифференциальных уравнений: способность аппроксимировать исходную дифференциальную задачу, устойчивость и сходимость
- •8.8. Некоторые обобщения
- •8.9. Лабораторная работа № 14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •8.10. Лабораторная работа № 15. Решение однородного уравнения колебаний струны методом сеток по неявной схеме.
|
y / |
= ln(x |
|
+ y |
2 + y |
2 ), |
|
|
|
|
y |
(1)= 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x [1, 4], |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
23. |
y2/ |
|
= sh(xy1 y2 )+ y3 , |
|
|
|
y2 |
(1)=1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y / |
|
= y + 3y |
2 |
|
− xy2 |
, |
|
|
|
y |
3 |
(1)= −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y / |
|
= xy |
|
+ x2 |
y |
2 |
y |
3 |
, |
|
|
|
|
y |
|
(0) |
= −0.3, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [0, 3], |
|
|
1 |
|
|
(0)= 0.5, |
||||||||
24. |
y2/ |
= −y1 − y2 |
|
+ y32 , |
|
|
|
y2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
/ |
= xe |
−(y +y |
2 |
) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 (0)=1. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
y |
/ |
= arctg(xy y |
3 |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(1)= 0, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x [1, 4], |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
25. |
y2/ |
= sin(arctg(y1 y3 )), |
|
y2 (1)= −0.3, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
/ |
= e |
−(y |
|
+y |
2 |
+y |
3 |
|
) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 (1)=1. |
||||||||||||||||
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y / |
= x(y |
|
|
|
+ y |
2 |
sin y |
3 |
), |
|
|
|
|
|
|
|
y |
(1)= 0, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [1, 3], |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
26. |
|
y2/ |
= x cos(y2 |
|
+ y3 ), |
|
|
y2 |
(1)= −0.5, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y / |
= ln(x2 |
|
+ y2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
(1)= 0.5. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y / |
= y y |
2 |
|
y |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
(0)= 0, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [0, 4], |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
27. |
|
y2/ |
= x2 + y12 , |
), |
|
|
|
|
y2 (0)= −0.5, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y3 |
= ln(x |
2 |
|
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 (0)= 0.5. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
/ |
= 2 y |
|
|
|
+ y |
2 |
y |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
y |
|
(0)= 0.2, |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [0, 4], |
|
1 |
|
|
(0)= 0, |
|||||||||||||
28. |
y2/ |
= y1 y2 y3 |
|
+ y12 , |
|
|
|
y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y / |
= xy + y |
2 |
|
− y |
2 |
, |
|
|
|
|
|
y |
3 |
(0)= 0. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y / |
= ln(x2 + y |
2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
(−1)= 0, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x [−1, 3], |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
29. |
|
y2/ |
= arctg(xy1 y3 ), |
|
|
|
|
|
|
y2 |
(−1)= −1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y / |
= sin(arctg(y y |
3 |
)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
(−1)=1. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y / |
|
= sin y |
|
|
cos3 |
|
y |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
y |
(−1)= 0, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [−1, 3], |
|
|
|
|
|
|
1 |
(−1)= 0, |
|||||||
30. |
y2/ |
|
= x cos y1 cos y3 , |
|
|
|
|
|
y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
/ |
= sin(x − y2 |
|
− y3 ), |
|
|
|
|
|
|
|
y3 (−1)= 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ)
8.1. Классификация уравнений математической физики
Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение относительно неизвестной функции u(x, y) двух или более независимых переменных, кото-
рое содержит частные производные этой функции.
Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в это уравнение.
Важнейшее значение с точки зрения приложений в физике и технике имеют уравнения с частными производными второго порядка, поэтому основное внимание будет уделено изучению именно таких уравнений. В общем виде дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции двух независимых переменных u(x, y) записывается следую-
щим образом:
|
∂u |
|
∂u |
, ∂ |
2 |
u |
|
∂ |
2 |
u |
|
∂ |
2 |
u |
|
|
|
F x, y,u, |
, |
|
, |
|
, |
|
|
= 0 , |
(8.1.1) |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
∂x |
|
∂y ∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
где F - заданная функция восьми аргументов.
188
Далее будут рассматриваться, в основном, уравнения более простого вида, чем (8.1.1), а именно, линейные уравнения второго порядка
a(x, y) |
∂2u |
+ 2b(x, y) |
∂2u |
+ c(x, y) |
∂2u |
+ d(x, y)∂u |
+ e(x, y)∂u |
+ g(x, y)u = f (x, y), |
(8.1.2) |
|
∂x2 |
∂x∂y |
∂y2 |
||||||||
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
где коэффициенты a(x, y), b(x, y),..., g(x, y) и правая часть f (x, y) - функции, не зависящие
от u , которые заданы и непрерывны в некоторой области D , называемой областью определения дифференциального уравнения.
Если все коэффициенты уравнения (8.1.2) не зависят от x и y , то оно называется уравнением с постоянными коэффициентами, если же f (x, y)= 0 , уравнение называется од-
нородным.
Естественно возникает вопрос о существовании наиболее компактной формы записи уравнения (8.1.2). Оказывается, этого можно добиться надлежащей заменой переменных.
Перепишем уравнение (8.1.2) в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a u // |
+ 2a u |
// |
+ a |
22 |
u // + F (x, y, u(x, y),u / ,u / )= 0 , |
|
(8.1.3) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
11 |
|
xx |
12 |
xy |
|
|
|
yy |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|||||||||||
где a11 = a11 (x, y), |
a12 = a12 (x, y), |
|
a22 = a22 (x, y), |
f (x, y)= 0 . Это уравнение называется линей- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ным относительно старших производных. |
Сделаем в нем замену переменных ϕ = ϕ(x, y) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ψ = ψ(x, y), обеспечивающую взаимно однозначное соответствие между x, y и ϕ, ψ . Тогда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ϕ = ϕ(x, y), |
|
x = x(ϕ, ψ), |
|
|
|
и |
|
|
|
D |
= |
|
ϕ/x |
|
ψ/x |
|
|
≠ 0 . |
|
Так |
как |
u = u(x, y), |
то |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
= y(ϕ, ψ) |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ/y |
|
ψ/y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
ψ = ψ(x, y), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
/ = [u(ϕ(x, y), ψ(x, y))]/ |
|
= |
|
∂u |
|
∂ϕ |
+ |
∂u |
|
∂ψ |
, |
|
u / |
= |
∂u |
|
∂ϕ |
+ |
∂u |
|
∂ψ |
. |
Найдем |
вторую произ- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
∂ϕ ∂x |
|
∂ψ ∂x |
|
|
y |
|
∂ϕ ∂y |
∂ψ ∂y |
|
|
|
водную по x , расписав подробно получающееся выражение:
|
|
|
∂u |
|
∂ϕ |
|
∂u |
|
∂ψ / |
|
∂u |
|
∂ϕ / |
|
|
|
∂u |
|
∂ψ |
/ |
|
|
∂u |
|
/ |
||||||||
u // |
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
xx |
|
|
∂ϕ ∂x |
|
∂ψ |
|
|
∂x |
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
∂ψ |
|
∂x |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
∂x x |
|
|
|
x |
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
/ |
|
∂u(ϕ(x, y), ψ(x, y)) / |
|
|
||||||||||
|
|
∂u |
/ |
|
∂ψ |
|
|
∂u |
|
|
∂2 |
ψ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
∂ϕ x |
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂ψ ∂x2 |
|
|
|
|
|
∂2u |
|
∂ϕ |
|
∂2u |
|
∂ψ |
|
|
|||||||||
|
|
∂ψ x |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ2 |
∂x + |
∂ϕ∂ψ |
|
∂x |
|
|
∂∂ϕx + ∂ϕ∂u ∂∂x2 ϕ2 +
=∂2u ∂ϕ +∂ϕ2 ∂x
|
|
|
|
∂2u |
|
|
∂ψ |
|
∂ϕ |
|
∂u |
|
|
∂2 ϕ |
|
|
|
∂2u |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
∂2u |
|
|
∂ψ |
|
∂ψ |
|
|
|
∂u |
|
∂2 |
ψ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
∂ϕ∂ψ |
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂ϕ |
|
∂x2 |
|
|
|
∂ϕ∂ψ ∂x |
|
∂ψ2 |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂ψ |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂2u |
|
|
∂ϕ 2 |
|
|
|
∂2u |
|
|
∂ϕ |
|
∂ψ |
|
∂u |
|
|
∂2 |
ϕ |
|
|
|
∂2u |
|
∂ϕ |
|
∂ψ |
|
|
|
|
∂2u |
|
|
∂ψ |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
+ |
|
|
∂x2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
+ |
|
|
|||||||||||
|
|
∂ϕ2 |
|
|
∂ϕ∂ψ |
|
|
∂ϕ |
|
∂ϕ∂ψ |
|
|
∂ψ2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂u |
|
|
∂2 ψ |
|
|
∂2u |
∂ϕ |
|
2 |
|
|
|
∂2u |
|
|
∂ψ 2 |
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
∂ϕ |
|
∂ψ |
|
∂u |
|
|
∂2 |
ϕ |
|
|
∂u |
|
∂2 ψ |
|
|||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
∂x2 |
|
= |
|
|
|
|
∂x |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
+ |
|
|
|
|
∂x2 |
|
+ |
|
|
|
|
∂x |
|
= |
||||||||||||||
∂ψ |
|
∂ϕ2 |
|
|
|
∂ψ2 |
|
|
|
∂ϕ∂ψ |
∂ϕ |
|
|
∂ψ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= uϕϕ// (ϕ/x )2 + uψψ// (ψ/x )2 + 2uϕψ// ϕ/x ψ/x + uϕ/ ϕ//xx + uψ/ ψ//xx .
Аналогично можно записать и uyy// = uϕϕ// (ϕ/y )2 + uψψ// (ψ/y )2 + 2uϕψ// ϕ/y ψ/y + uϕ/ ϕ//yy + uψ/ ψ//yy ,
uxy// = uϕϕ// ϕ/x ϕ/y + uψψ// ψ/x ψ/y + uϕψ// (ϕ/x ψ/y + ϕ/y ψ/x )+ uϕ/ ϕ//xy + uψ/ ψ//xy . Подставляя эти значения в
уравнение (8.1.3), получим
a11 (uϕϕ// (ϕ/x )2 + uψψ// (ψ/x )2 + 2uϕψ// ϕ/x ψ/x + uϕ/ ϕ//xx + uψ/ ψ//xx )+ 2a12 (uϕϕ// ϕ/x ϕ/y +uψψ// ψ/x ψ/y + uϕψ// (ϕ/x ψ/y + |
|||||||||
+ ϕ/y ψ/x )+ uϕ/ ϕ//xy + uψ/ ψ//xy )+ a22 (uϕϕ// (ϕ/y )2 + uψψ// |
(ψ/y )2 + 2uϕψ// ϕ/y ψ/y + uϕ/ ϕ//yy + uψ/ ψ//yy |
)+ |
|||||||
+ F |
(ϕ, ψ,u(ϕ, ψ),u / |
ϕ/ |
+ u / |
ψ/ ,u / |
ϕ/ |
+ u / |
ψ/ )= 0 |
|
|
1 |
ϕ |
x |
ψ |
x |
ϕ |
y |
ψ |
y |
|
189
или |
~ // |
~ // |
~ |
// |
|
~ |
где |
~ |
|
|
|
/ |
|
/ |
|
а |
|
|
||
a11uϕϕ + 2a12uϕψ + a22uψψ + F = 0, |
F |
= F1 (ϕ, ψ,u,uϕ |
,uψ ), |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
/ |
2 |
|
|
/ |
/ |
/ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
= a11 (ϕx ) |
|
+ 2a12 ϕx |
ϕy |
+ a22 (ϕy |
) , |
ψy , |
|
|
|
||||||
|
|
|
a12 |
= a11ϕx ψx + a12 (ϕx ψx + ϕy ψy )+ a22 |
ϕy |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
/ / |
|
|
|
/ |
/ |
/ |
/ |
|
|
/ |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
/ |
2 |
+ 2a12 |
/ |
/ |
|
/ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
= a11 (ψx ) |
|
ψx ψy + a22 (ψy |
) . |
|
~ |
|
||||||||
|
Естественно, для упрощения уравнения |
~ |
// |
~ |
// |
|
~ |
// |
= 0 в новых пе- |
|||||||||||
|
a11uϕϕ + 2a12uϕψ + a22uψψ + F |
ременных ϕ и ψ надо так подобрать эти переменные, чтобы хотя бы некоторые члены рассматриваемого уравнения упрощались или вообще обнулялись. Например, можно выбрать ϕ
и |
ψ |
так, |
чтобы |
~ |
|
|
|
Для |
|
|
|
этого |
|
рассмотрим |
вспомогательное |
|
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||
a11 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
z / 2 |
+ 2a |
z / |
z / |
+ a |
22 |
z |
/ 2 = 0 , где |
|
z = z(x, y). Пусть ϕ(x, y) - какое-нибудь частное решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
x |
|
12 |
x |
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
если ψ(x, y) |
|
|
|
||||||||||
этого уравнения. Если теперь выбрать |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . Аналогично, |
- другое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z = ϕ , то a11 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частное решение этого же уравнения и |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
z = ψ , то a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Теорема |
8.1. |
Если |
|
z = ϕ(x, y) |
является |
частным |
решением |
|
уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
z / 2 |
+ 2a |
z / |
z / |
+ a |
22 |
z |
/ 2 = 0 , то ϕ(x, y)= C есть общий интеграл обыкновенного диффе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
x |
|
12 |
x |
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ренциального уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
dy2 − 2a |
|
dxdy + a |
22 |
dx2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.1.4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Наоборот, если ϕ(x, y)= C |
- |
общий интеграл обыкновенного дифференциаль- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ного |
уравнения |
|
|
|
(8.1.4), |
|
то |
|
функция |
|
z = ϕ(x, y) |
удовлетворяет |
|
|
уравнению |
||||||||||||||||||||||||||||
a z/ 2 |
+ 2a z/ |
z/ + a |
22 |
z/ 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11 |
x |
|
12 |
x |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
2 |
|
|
|
dy |
|
|
|
||||
|
|
Решим |
|
уравнение |
(8.1.4), |
|
|
|
преобразовав |
его: |
|
a |
|
|
|
|
− 2a |
|
|
|
+ a |
|
= 0 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 dx |
|
|
12 |
|
|
22 |
|
||||||
dy |
= |
2a12 |
± 4a122 − 4a11a22 |
|
= |
a12 ± a122 − a11a22 |
. |
|
Таким образом, получим два обыкно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dx 1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
венных дифференциальных уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
a12 + |
a122 |
− a22 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.1.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 − |
a122 |
− a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак подкоренного выражения определяет тип исходного уравнения (8.1.3) в частных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производных. |
|
|
|
|
|
|
M (x, y) |
|
a |
2 |
− a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1. Если в точке |
|
|
22 |
> 0 , то уравнение a |
|
u // |
+ 2a |
|
u // |
+ a |
22 |
u // |
+ F = 0 в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
xx |
12 |
xy |
|
|
yy |
|
|
|
этой точке называется уравнением гиперболического типа.
2. Если в точке M (x, y) a122 − a11a22 < 0 , то уравнение a11uxx// + 2a12 uxy// + a22 u yy// + F = 0 в этой точке называется уравнением эллиптического типа.
3. Если в точке M (x, y) a122 − a11a22 = 0 , то уравнение a11uxx// + 2a12 uxy// + a22 u yy// + F = 0 в этой точке называется уравнением параболического типа.
|
Так |
как |
~ 2 |
~ ~ |
2 |
− a11a22 )D , то сказанное справедливо и для уравнения |
|
~ // |
a12 |
− a11a22 |
= (a12 |
||||
~ |
// |
~ |
// |
~ |
= 0 . |
|
|
a11uϕϕ + 2a12uϕψ |
+ a22uψψ |
+ F |
|
Уравнение (8.1.4) называется характеристическим для уравнения (8.1.3), а интегралы уравнения (8.1.4) - характеристиками уравнения (8.1.3). Пусть в заданной области G уравнение (8.1.3) однотипно. Рассмотрим все три возможные случая подробнее.
190
|
|
|
1. Гиперболический тип. |
|
Два |
общих |
интеграла |
уравнения |
(8.1.3) |
ϕ(x, y)= C |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||
ψ(x, y)= C |
|
|
определяют |
действительные семейства |
|
характеристик. |
Пусть |
ϕ = ϕ(x, y) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ψ = ψ(x, y) |
|
|
- |
новые |
переменные |
|
в |
уравнении |
(8.1.3). |
Тогда |
|
~ |
// |
|
~ |
|
= 0 |
или |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2a12uϕψ |
+ F |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
// |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
uϕψ |
= −(F |
2a12 ) - первая каноническая форма уравнения гиперболического типа. Если по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ϕ = α +β, |
|
|
|
|
ϕ+ ψ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ложить |
|
|
α = |
|
2 |
|
то uϕ/ |
= u(α +β, α −β)ϕ/ |
= uα/ αϕ/ + uβ/ βϕ/ |
= uα/ |
|
1 |
|
+ uβ/ |
1 |
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ψ = α −β, |
|
|
|
|
ϕ−ψ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
1 |
(uα/ |
+ uβ/ ). |
|
Аналогично, uψ/ |
= |
1 |
(uα/ |
− uβ/ ) |
и |
uϕψ// |
= |
|
1 |
|
(uαα// − uββ// ). |
|
В |
результате |
исходное |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
// |
// |
|
|
|
|
= F1 . Это вторая каноническая форма уравнения |
||||||||||||||||||||||||
уравнение примет вид uαα −uββ = −(2F a12 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гиперболического типа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
− a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2. Параболический тип. Для уравнения этого типа |
22 |
= 0 , имеется, следова- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, |
|
лишь |
|
один |
общий |
|
интеграл |
|
|
|
|
характеристического |
|
|
уравнения |
||||||||||||||||||||||||||
a dy2 |
− 2a |
|
dxdy + a |
22 |
dx2 |
= 0 . |
Пусть |
этот |
интеграл |
ϕ(x, y) |
= C , |
положим |
|
ϕ = ϕ(x, y), |
|||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ψ = ψ(x, y) |
, |
|
|
где |
|
ψ |
|
- |
|
любая |
|
функция, |
|
|
не |
зависящая |
от |
|
ϕ . |
Тогда |
|||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
/ |
|
2 |
|
|
/ |
/ |
|
|
/ |
2 |
|
( |
|
/ |
+ |
|
/ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= 0 |
|||
a11 |
= a11 (ϕx ) |
|
+ 2a12 ϕx |
ϕy |
+ a22 (ϕy |
) = |
a11 ϕx |
a22 ϕy ) = 0 , потому что при a12 − a11a22 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
a12 |
= |
a11a22 |
|
. |
Далее |
|
~ |
|
|
|
|
/ |
/ |
|
|
/ / |
|
/ |
|
/ |
|
|
/ |
|
/ |
|
= ( |
|
/ |
+ |
|
|
/ |
)× |
|||||||
|
|
a12 = a11ϕx ψx + a12 (ϕx ψy |
+ ϕy |
ψx )+ a22 ϕy |
ψy |
|
a11 ϕx |
|
a22 ϕy |
||||||||||||||||||||||||||||||||
× ( |
a11 ψ/x + |
|
a22 ψ/y )= 0 . |
Тогда |
|
|
исходное |
для |
этого |
|
|
|
случая |
|
|
уравнение |
|||||||||||||||||||||||||
a11uϕϕ |
+ 2a12uϕψ + a22uψψ + F = 0 |
обратится в следующее: |
uψψ |
= −(F a22 ) = Φ(ϕ, ψ,u,uϕ ,uψ ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
// |
|
~ |
|
|
// |
~ |
|
// |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
// |
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
/ |
/ |
|
|||
Это канонический вид уравнения параболического типа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
a12 |
+ |
a122 − a22 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3. Эллиптический тип. Для этого типа уравнения |
dx |
|
|
|
|
|
|
имеют ком- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a12 |
− |
a122 − a22 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
плексные общие интегралы. По свойству комплексной переменной, если ϕ(x, y)= C - реше- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние уравнения |
a dy2 |
− 2a dxdy + a |
22 |
dx2 |
= 0 , то ϕ (x, y) |
- комплексно-сопряженная функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ = ϕ (x, y), тогда уравнение эл- |
|||||||||||||||
также будет решением этого уравнения. Пусть ϕ = ϕ(x, y), |
липтического типа сведется к тому же виду, что и гиперболическое. Чтобы не иметь дело с
комплексными |
переменными, |
введем новые |
переменные |
|
α = |
ϕ+ ψ |
, β = |
ϕ− ψ |
, тогда |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
ϕ = α + iβ, ψ = α −iβ . При этом предполагается, что a11, a12 , a22 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2i |
|||||||||||||
- аналитические функции. |
||||||||||||||||||||||
Вычислим a |
(ϕ/ |
)2 + 2a |
ϕ/ |
ϕ/ + a |
22 |
(ϕ/ )2 |
= 0 = a (ϕ/ |
α/ |
+ ϕ/ |
β/ |
)2 + 2a |
(ϕ/ |
α/ + |
|||||||||
|
11 |
x |
12 |
x |
y |
|
|
y |
11 |
α |
x |
|
β |
x |
12 |
|
α |
x |
||||
+ ϕβ/ β/x )(ϕα/ |
α/y + ϕβ/ β/y )+ a22 (ϕα/ α/y |
+ ϕβ/ β/y )2 = a11 (1 α/x + i β |
/x )2 + 2a12 (α/x + i β/x ) |
|||||||||||||||||||
(α/y + i β/y ) |
+ a22 (α/y + i β/y )2 = a11 |
(α/x 2 + 2iα/xβ/x − β/x 2 |
)+ 2a12 |
(α/x α/y + iα/yβ/x + iα/xβ/y − |
||||||||||||||||||
− β/xβ/y )+ a22 |
(α/y 2 + 2iα/yβ/y |
− β |
/y 2 |
)= (a 1α/x 2 + 2a12 α/x α/y + a22 α/y 2 )− |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1444442444443 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− (a 1β/x 2 + 2a12β |
|
|
/y 2 )+ 2i(a |
1α/xβ/x + a12 (α |
|
a11 |
|
|
/y ) |
+ α/yβ/y ) |
|
|
|
|
||||||||
/xβ/y + a22β |
/yβ |
/x + α/xβ |
= 0 |
|
||||||||||||||||||
1444442444443 |
|
14444444244444443 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
191 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
по |
свойству комплексных |
чисел |
следует, |
что |
~ |
= 0, |
~ |
~ |
|||||||||
~ |
a12 |
a11 |
= a22 , так как |
||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
~ |
// |
~ |
// |
~ |
// |
~ |
= 0 |
превратится |
в следующее |
||||
a11 |
− a22 = 0 . Тогда уравнение |
a11uϕϕ + 2a12uϕψ + a22uψψ |
+ F |
||||||||||||||||
|
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
// |
// |
|
|
// |
// |
|
F |
|
|
|
/ |
/ |
|
|
||||
уравнение: a11uαα + a22uββ |
= −F |
или |
|
uαα + uββ |
= − |
~ |
= Φ(α,β,u,uα ,uβ ) - |
канонический вид |
|||||||||||
уравнения эллиптического типа. |
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Итак: 1) |
a2 |
− a |
a |
22 |
> 0 - гиперболический тип и u // |
− u // |
= Φ |
или u // |
= Φ - канони- |
|||||||||
|
|
12 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
yy |
|
|
xy |
|
ческий вид уравнения;
2)a122 − a11a22 < 0 - эллиптический тип, а uxx// + uyy// = Φ - канонический вид уравнения;
3)a122 − a11a22 = 0 - параболический тип и uxx// = Φ - канонический вид уравнения.
|
|
Пример. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния uxx// |
+ yu yy// = 0 и привести его к каноническому виду в области гиперболичности. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Дифференциальное уравнение в частных производных, содержащее явно все необхо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
димые |
коэффициенты, |
|
имеет |
|
вид |
|
|
a |
u |
// |
+ 2a |
u |
// |
+ a |
22 |
u |
// |
+ F = 0 . В |
нашем |
|
случае |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
xx |
|
12 |
|
xy |
|
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
=1, |
a |
= 0, |
a |
22 |
= y |
, |
|
то есть |
a2 |
|
|
− a |
|
a |
22 |
= 0 −1 y = −y . Тип уравнения зависит от знака |
||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
выражения |
|
a2 |
− a |
|
a |
22 |
. Если оно отрицательно, то это эллиптический тип, |
положительно - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
гиперболический, равно нулю – параболический: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
− y > 0, |
y < 0 - |
область гиперболического типа; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
− y < 0, |
y > 0 - |
область эллиптического типа; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
эллиптический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
у = 0 - область параболического типа. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
параболический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все области изображены на рисунке слева. Приведем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
теперь исходное уравнение к каноническому виду. Для |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этого решим уравнения (8.1.5): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
a12 ± |
a122 |
−a11a22 |
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
гиперболический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= ± − y |
, ± |
|
dy |
= dx, |
m d(− y) |
= dx, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 − y = x + C . Итак, |
|
|
|
|
− y − x, |
uϕψ// |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = −2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ = 2 |
− y − x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Привести к каноническому виду следующее дифференциальное уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂2u |
+ 2 sin x |
|
∂2u |
|
− cos |
2 |
x |
∂2u |
+ cos x |
∂u |
+ |
1 |
sin 2x |
∂u |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
|
∂x∂y |
|
|
∂y2 |
∂x |
|
2 |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Здесь a |
=1, |
a |
|
|
= sin x, a |
22 |
|
= −cos2 |
x . Составим и решим характеристическое урав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x) = sin x ±1. |
|
|
|
|||||
нение: |
|
|
|
|
dy = |
a ± a2 |
− a a |
22 = sin x |
± |
sin |
2 |
x |
− |
1 |
− |
cos |
2 |
Отсюда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
11 |
|
|
|
( |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −cos x ± x + C , |
то есть два первых интеграла характеристического уравнения имеют вид |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ = C1 |
= x − y − cos x, |
|
|
Обратное |
преобразование, |
нужное |
для нахождения производных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ψ = C2 = x + y + cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ϕ/x , |
|
ϕ/y , |
ψ/x , ψ/y , вычисления |
sin x |
|
и cos x , |
также легко находится: 2x = ϕ + ψ x = |
ϕ + ψ |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|