y = x − cos x − ϕ =

ϕ + ψ

− ϕ − cos x =

ψ − ϕ

− cos x . Так как

a2

− a

a

=1 > 0 ,

то исходное

22

2

2

12

11

~

уравнение – уравнение гиперболического типа. Его первая каноническая форма

uϕψ// = −

F

,

~

где a12

= a11ϕx ψx

+ a12

(ϕx

ψy

+ ϕy ψx )

+ a22

ϕy ψy , F = F(ϕ, ψ,u(ϕ, ψ),uϕ ,uψ ),

2a12

а F определяется

~

/

/

/

/

/

/

/

/

~

/

/

из исходного уравнения

a

u //

+ 2a

u //

+ a

22

u //

+ F (x, y, u(x, y),u / ,u

/

)= 0 . В нашем случае

11

xx

12

xy

yy

x

y

F = cos x ∂u

+

1

sin 2x

∂u , cos x = cos

ϕ+ ψ ,

1

sin 2x = cos x sin x = cos

ϕ + ψ sin

ϕ + ψ

. Далее

2

2

2

∂x

∂y

2

2

вычисляем

необходимые

производные:

∂ϕ

=1 + sin x ,

∂ϕ

= −1,

∂ψ

=1 −sin x,

∂ψ

=1 ,

∂x

∂y

∂y

∂y

∂u

=

∂u

∂ϕ

+

∂u

∂ψ

= uϕ/ (1 +sin x)+uψ/ (1 −sin x),

∂u

=

∂u

∂ϕ

+

∂u

∂ψ

= uϕ/ (−1)+uψ/

. Тогда

∂x

∂y

∂ψ

∂y

∂ϕ ∂x

∂ψ ∂x

∂ϕ

∂y

~

ϕ+ ψ

[uϕ/ (1 + sin x)+ uψ/ (1 −sin x)]+ sin

ϕ+ ψ

ϕ+ ψ

∂u

∂u

ϕ + ψ

F

= cos

cos

−

= uϕ/

cos

+

2

2

2

∂ψ

∂ϕ

2

+ uϕ/ sin

ϕ + ψ cos ϕ + ψ + uψ/

cos ϕ + ψ

−uψ/

sin

ϕ + ψ cos

ϕ + ψ

+ uψ/

cos ϕ + ψ sin ϕ + ψ −

2

2

2

2

2

2

2

−uϕ/

cos ϕ + ψ sin ϕ + ψ = cos ϕ + ψ (uϕ/

+ uψ/ ),

2

2

2

x) (−1)=1

a12 =1 (1 + sin x)(1 −sin x)+ sin x[(1sin x) 1

+ (−1) (1 − sin x)]+ (− cos

−sin

x +

~

2

2

+ sin x(1 + sin x −1 + sin x)+ cos2 x = 2 cos2 x + 2sin 2

x = 2,

~

cos

ϕ+ ψ

/

/

1

ϕ+ ψ

−

F

= −

2

(uϕ + uψ )

= −

cos

(uϕ/

+ uψ/ ). Тогда, окончательно, канонический вид

~

2 2

4

2

2a12

1

+ uψ/ )cos ϕ + ψ .

исходного уравнения второго примера будет таким uϕψ//

= −

(uϕ/

4

2

8.2. Простейшие задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных

Температура тела (уравнение теплопроводности). Рассмотрим тело объемом V .

Пусть температура в его точке M (x, y, z) в мо-

z

мент

t

равна

u = u(x, y, z, t).

Покажем, что

σ

эта

функция

удовлетворяет

уравнению

∂u = a

∂

2

u

+ ∂

2

u + ∂

2

u

z σ

V

σ

где

2

= a2 u ,

∂t

∂x

2

∂y

2

∂z

2

y

x

∂2

∂2

∂2

=

+

+

- оператор Лапласа или дельта-

∂x2

∂y2

∂z2

y

оператор. Это уравнение называется уравнением

x

теплопроводности.

Рассмотрим левую и правую

грани тела V . Количество тепла, проходящего че-

M(x,y,z)

рез левую грань σ

справа налево (из V ) за проме-

y

x

∂u(x, y, z)

жуток (t, t +

t), с точностью до бесконечно малых

второго порядка равно: α

y

z t . Действительно,

α -

коэффициент теплопровод-

∂x

193

ности тела, он постоянен везде в V , y z - площадь σ , ∂∂ux - скорость изменения темпера-

туры в направлении оси абсцисс. Эту скорость в пределах тела V также будем считать постоянной.

Количество тепла, проходящее через правую грань σ справа налево, также, очевидно,

равно: α

∂u(x + x, y, z)

y

z

t . Количество же тепла,

оставшееся в V , за время

t

тогда

∂x

равно: α

∂u(x + x, y, z)

y

z

t − α

∂u

(x, y, z)

y z

t = α

∂u(x + x, y, z)

−

∂u(x, y, z)

y z

t =

∂x

∂x

∂x

∂x

∂u(x + x, y, z)−

∂u(x, y, z)

∂x

∂x

∂2u

= α

x

y z t ≈ α

x y z t

x

∂x2

с точностью до членов второго порядка. Через две оставшиеся пары граней процесс передачи тепла будет идти так же. Следовательно, общее количество тепла, вошедшего в тело V через

∂

2

u

+

∂

2

u

+

∂

2

u

x

y

z

t .

все грани, будет равно: α

∂x2

∂y2

∂z 2

Но, с другой стороны,

это количество тепла равно: β ∂u

x

y

z t ,

где

β - удельная

∂u

∂t

теплоемкость тела,

- скорость остывания или нагрева тела,

x

y

z =V ,

t - время ос-

∂t

тывания или нагрева.

Тогда

∂

2

u

+

∂

2

u

+ ∂

2

u

x

y

z

t = β ∂u

x

y

z

t или

α u = β ∂u . Окончательно,

α

∂x

2

∂y

2

∂z

2

∂t

∂t

положив a2

= α , получим ∂u

= a

∂

2

u

+

∂

2

u

+ ∂

2

u

= a2

u .

2

β

∂t

∂x

2

∂y

2

∂z

2

Данное уравнение имеет бесконечное множество решений. Чтобы их найти, надо на-

ложить на функцию u = u(x, y, z,t)

дополнительные начальные и граничные условия.

Поперечные малые колебания струны. Струной называется тонкая нить, работаю-

щая на растяжение, но не на изгиб. Струна не сопротивляется изгибу. Пусть T

- сила напря-

x

жения в струне постоянна в любой ее точке, ρ -

линейная плотность массы. Концы струны за-

креплены в точках a и b . Рассмотрим функ-

С

цию u = u(x, t) - отклонение струны от оси абс-

B

α

цисс под действием силы. Будем считать от-

A

клонение

u = u(x, t) малым.

На

элемент

x

струны от точки

A до точки B действуют две

u

D

силы: натяжения

BC

= T и

AD

= T .

BC

при-

a

x

x+

x

b

ложена к точке B и направлена по касательной

к струне,

причем

tg α = ∂u(x +

x, t). Так

как

u(x, t)

мала,

то

sin α ≈ tg α

и

∂x

sin α ≈ ∂u(x +

x,t). Проекция силы

на ось ou , очевидно,

равна: T sin α ≈ T

∂u(x + x,t).

BC

∂x

sin α ≈ −T ∂u(x, t)

∂x

Проекция же силы

равна:

−T

. Тогда сумма этих проекций будет

AD

A

∂x

194

∂u(x +

x,t)

∂u(x,t)

∂u(x + x, t)

− ∂u(x,t)

∂2u(x, t)

иметь следующий вид: T

∂x

∂x

≈ T

x

−T

= T

x

∂x2

∂x

∂x

x

с точностью до членов второго порядка.

∂2u(x, t)

С другой стороны,

по второму закону Ньютона ρ

x

- сила, действующая на

∂t 2

∂2 u(x, t)

элемент

x струны по направлению оси

ou . Тогда ρ

x

∂2u(x, t)

= T

x или, если по-

∂t 2

∂x2

T

∂2u

∂2u

ложить

a2 =

, то

= a2

- уравнение поперечных колебаний струны в отсутствие

ρ

∂t

2

∂x2

внешней силы,

то есть уравнение свободных колебаний. Если положить к тому же y = at , то

уравнение превращается в

∂2u

−

∂2u

= 0 .

∂x2

∂y2

Задачи, приводящие к уравнению Лапласа . Пусть имеется однородное тело V ,

ограниченное поверхностью σ. Температура в различных точках этого тела удовлетворяет

уравнению теплопроводности:

∂u

= a

2

∂2u

+

∂2u

+

∂2u

. Если процесс стационарный, то

2

2

2

∂t

∂x

∂y

∂z

z

∂u

= 0

и

данное уравнение превращается в

∂t

σ∂2u + ∂2u + ∂2u = u = 0 . Чтобы температура тела оп-

∂x2 ∂y2 ∂z2

	ределялась однозначно, необходимо знать температуру
	на поверхности	σ .	Таким	образом,	при наличии
V	y источников	тепла		получим	уравнение
	u = − f (x, y, z) или		u = − F	, где F - плотность теп-
	ловых источников, k		k
x			- коэффициент теплопроводно-
	сти. Неоднородное уравнение u = − f (x, y, z) называ-

ется уравнением Пуассона. Итак, задача о стационарном распределении температуры внутри тела V формулируется следующим образом: найти функцию u(x, y, z), удовлетворяющую

внутри V

уравнению

u = − f (x, y, z) и специальному граничному условию, которое может

быть взято в одном из следующих видов:

1)

u = f

1

(x, y, z)

наσ

. Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой за-

дачей;

∂

u

u

2)

= f2 (x, y, z)

, где

- нормаль к поверхности σ , а

∂

- поток тепла через эту

n

∂n

на σ

∂n

поверхность. Данная задача называется задачей Неймана или второй краевой задачей;

3)

∂

u

+ h(u − f3 (x, y, z))= 0

- третья краевая задача.

∂n

на σ

Пьер Симон Лаплас (1749-1827) - французский математик.

Петер Густав Лежен-Дирихле (1805-1859) - немецкий математик.

195

8.3. Граничные и начальные условия дифференциальных уравнений с частными производными

Если уравнение (8.1.2) является уравнением параболического типа, то, как было показано в подразд. 8.1, с помощью замены независимых переменных, то есть путем перехода к некоторой криволинейной системе координат, это уравнение может быть преобразовано к виду uxx// = Φ или, подробно,

	a(x, t)	∂2u	+ d(x, t)∂u	+ e(x, t)∂u	+ g(x, t)u = f (x, t).	(8.3.1)
		∂x2
			∂x	∂t

В физических задачах переменная x обычно играет роль пространственной координаты, а вторая независимая переменная – роль времени, поэтому для нее использовано обозначение t вместо y .

Уравнение (8.3.1) имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений, поэтому, чтобы обеспечить единственность решения и корректность задачи, необходимо, кроме самого уравнения, задать краевые и начальные условия аналогично тому, как это было сделано для обыкновенных дифференциальных уравнений в седьмой главе.

Рассмотрим важный для приложения в физике и технике случай, когда коэффициенты a(x,t) и e(x,t) имеют разные знаки, причем требуется найти решение уравнения (8.3.1) в

прямоугольнике D = {(x, t)

0 < x < l,

0 < t < T }. При этом должно быть выполнено начальное

условие

u(x,0)= ϕ0 (x),

0 ≤ x ≤ l ,

(8.3.2)

где ϕ0 (x)

- заданная функция, определяющая значения решения u(x,t) в начальный момент

времени t = 0 . К условию (8.3.2) необходимо добавить краевые условия при

x = 0 и x =l ,

которые могут иметь, например, следующий вид:

где ψ1 (t)

u(0, t)= ψ1 (t), u(l, t)= ψ2 (t), 0 ≤ t ≤ T,

(8.3.3)

и ψ2 (t) - заданные функции. Если уравнение (8.3.1) описывает, например, измене-

ние температуры

в

однородном

t

стержне

длины

l

(см. подразд.

8.4), то условия (8.3.3) означают,

T

что температура

в

начальном и

конечном сечениях стержня зада-

на, в частности поддерживается

D

постоянной. Геометрической ин-

терпретацией искомого решения

u(x,t) является поверхность в про-

u = ψ1 (t)

u = ψ2 (t)

странстве (u, x, t), которая проеци-

u = ϕ0 (x)

руется

в область

D

плоскости,

0

l

x

причем

согласно

(8.3.2) – (8.3.3)

заданы три кривые, которые представляют собой края этой поверхности и проецируются на нижнюю и боковые стороны прямоугольника D . Внутри прямо-

угольника и на его верхней стороне значения u(x,t) неизвестны, поэтому форма поверхности

неизвестна и ее требуется найти путем решения начально-краевой задачи (8.3.1)-(8.3.3) (см. рисунок).

Подразд. 8.3 - 8.8 написаны проф. каф. Б4 А.Г. Кузьминым.

196

u

u = ψ1 (t)

T

0

u (x, t )

t

D	u = ψ2	(t )
u = ϕ0 (x)	l	x

Если уравнение (8.1.2) является уравнением гиперболического типа, то, как показано в подразд. 8.1, с помощью некоторой замены независимых переменных это уравнение может быть приведено к виду uxx// − u yy// = Φ или

∂2u	−a(x,t)∂2u	+ d(x,t)∂u	+e(x,t)∂u	+ g(x,t)u = f (x,t),	(8.3.4)
∂t 2	∂x2	∂x	∂t

где a(x,t)> 0 . Для обеспечения единственности решения и корректности задачи необходимо

задать начальные и краевые условия. Физически задачи, приводящие к уравнению (8.3.4),

показывают, что обычно требуется

решить

уравнение (8.3.4)

в

прямоугольнике

(x, t)

при начальных условиях

D =

0 < x

< l, 0 < t < T

u(x,0)= ϕ

0

(x), ∂u

= ϕ (x), 0 ≤ x ≤ l ,

(8.3.5)

∂t

1

где ϕ0 (x), ϕ1 (x)

t=0

- заданные функции. К условиям (8.3.5) следует добавить краевые условия,

t

например, вида (8.3.3). Геометрической

интерпретацией

искомого

решения

T

u(x,t)

по-прежнему

является

поверх-

ность, которая проецируется на область

D , причем согласно (8.3.3), (8.3.5) за-

D

даны три кривые, которые представля-

u = ψ1

(t)

ют собой края этой поверхности и про-

u

= ψ2

(t)

ецируются на нижнюю и боковые сто-

роны прямоугольника D . Внутри и на

верхней стороне прямоугольника форма

поверхности u(x,t)

неизвестна, и

ее

0

u = ϕ0 (x)

∂u

l

x

= ϕ1

(x)

требуется найти путем решения постав-

∂t

ленной начально-краевой задачи.

Уравнения

параболического

и

гиперболического типов (8.3.1) и (8.3.4) называют также нестационарными уравнениями математической физики, так как они описывают физические процессы, в которых пространственное распределение величины u изменяется с увеличением t , причем значения u(x,t) за-

висят только от начальных и краевых условий при меньших значениях t . Как будет показано в подразд. 8.4 - 8.5, решения начально-краевых задач для нестационарных уравнений можно находить последовательно для возрастающих значений t0 = 0 < t1 < t2 <... < tm =T .

Если уравнение (8.1.2) является уравнением эллиптического типа, то с помощью замены независимых переменных оно может быть приведено к виду

				uxx//		+ u yy// = Φ или
	∂2u	+	∂2u	+ d(x, y)∂u	+ e(x, y)∂u		+ g(x, y)u = f (x, y).	(8.3.6)
	∂x2		∂y2
				∂x		∂y
						197