§ 3.2. Линейная зависимость векторов

Пусть - линейное пространство над полем . Произвольный конечный набор

векторов из , содержащий по крайней мере один вектор, называется системой векторов.

Если

есть некоторые элементы поля , то вектор называется линейной комбинацией векторов , а скаляры - коэффициентами этой линейной комбинации. Если для некоторого существуют такие скаляры , что , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов линейно выражается через прочие векторы системы, и линейно независимой- в противном случае.

Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства

следуют равенства .

В частности, линейная зависимость системы из двух векторов означает, что либо , либо . Такие векторы и называют коллинеарными.

Пример 1. Докажите, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что в системе векторов, (в противном случае- перенумеруем). Составим векторное равенство :

,

в котором положим . Получим , что возможно при любом , не обязательно равным нулю. Поскольку нам удалось подобрать такой набор одновременно не равных нулю коэффициентов , удовлетворяющих условию , система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Пример 2. Пусть - различные действительные числа. Будет ли линейно зависима следующая система многочленов:

?

Решение. Составим линейную комбинацию данных многочленов, приравняем ее нулю и выясним при каких коэффициентах линейной комбинации это равенство возможно.

Раскроем скобки в левой части полученного равенства и выпишем коэффициентыпри

т.е. имеем нулевую линейную комбинацию векторов с коэффициентами

и соответственно. Учитывая, что мы работаем в пространстве при

(см. задачу 3.1.7 ), где система векторов линейно независима (это следует из того, что ), приравняем

нулю коэффициенты построенной линейной комбинации

запишем однородную систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде и решим её относительно неизвестных методом Гаусса:

т.к.

т.к.

Поскольку система многочленов линейно независима при различных

Пример 3. Докажите линейную независимость следующей “трапецеидальной” системы векторов пространства (см. задачу (3.1.4)):

Здесь - элементы поля , отличные от нуля. Хотя бы один из элементов также не равен нулю.

Доказательство. Покажем, что равенство нулю линейной комбинации системы векторов (3.2.4) возможно только при нулевых коэффициентах линейной комбинации . Для этого составим линейную комбинацию Учитывая, что для линейного пространства перейдем к однородной системе линейных уравнений относительно :

В силу того, что (по условию) хотя бы один из элементов отличен от нуля, из первых уравнений находим , что . Подставив найденное значение в уравнение, получим: Поскольку , имеем и переходим к уравнению с номером С учётом найденных ранее оно принимает вид: Т.к. это равносильно Продолжая процесс, получим, что все т.е. “трапецеидальная” система векторов линейно независима.

3.2.1. Докажите, что любая подсистема линейно независимой системы векторов также линейно независима.

3.2.2. Пусть система векторов линейно независима, а система линейно зависима. Докажите, что вектор однозначно линейно выражается через векторы .

3.2.3. Верно ли, что если линейно независимые векторы, то этим же свойством обладают векторы ?

3.2.4. Какому условию должно удовлетворять число чтобы векторы пространства были линейно зависимы?

3.2.5. Покажите, что для любых векторов и любых чисел система векторов линейно зависима.

3.2.6. Найдите линейную комбинацию векторов пространства . Что можно сказать о системе векторов ?

3.2.7. Дана система многочленов Найдите линейные комбинации многочленов этой системы:

Обсудите полученные результаты. Что можно сказать о заданной системе многочленов?

3.2.8. Для многочлена, полученного в задаче 3.2.7, найдите другие разложения по системе .

3.2.9. Докажите, что линейная зависимость или линейная независимость системы векторов не нарушается при следующих преобразованиях системы, называемых элементарными преобразованиями: перестановка двух векторов системы; умножение вектора системы на ненулевое число; прибавление к одному вектору системы другого вектора, умноженного на произвольное число.

3.2.10. Докажите, что произвольную систему векторов пространства элементарными преобразованиями можно привести к системе векторов типа , дополненной, быть может, несколькими векторами, равными нулю. Как определить, была ли исходная система линейно зависима?

3.2.11. Выясните, являются ли следующие системы векторов действительных линейных пространств линейно зависимыми:

3.2.12. Покажите, что следующие системы векторов линейно независимы:

в пространстве

в пространстве ;

в пространстве над полем ;

в пространстве матриц .