§ 3.3. Эквивалентные системы векторов.
Две
системы векторов 
и
линейного
пространства 
называются эквивалентными,
если всякий вектор одной системы линейно
выражается через векторы другой системы.
Линейной
оболочкой
системы
векторов 
называется
множество всех линейных комбинаций
этой системы векторов.
Две системы векторов эквивалентны тогда и только тогда, когда их линейные оболочки совпадают.
Базой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема векторов. В общем случае база не единственна, но все базы состоят из одного и того же числа векторов, которое называется рангом.
Пример 1. Опишите линейные оболочки следующих систем векторов:
пространства
пространства
пространства
Решение.
;
т.е.
составляют все многочлены степени 
с корнем 1;
Пример 2. Найдите все базы системы векторов
Решение. Запишем данную систему векторов в виде матрицы и элементарными преобразованиями, не меняющими ранга системы, приведём матрицу к “трапецеидальному” (ступенчатому) виду:
Получили,
что в системе векторов 
векторы
линейно зависимы и ранг этой системы
равен 2.
Будем
рассматривать всевозможные подсистемы
из 2-х векторов (всего таких подсистем
).
Если ранг некоторой такой подсистемы
окажется равен рангу всей системы, то
исследуемая подсистема образует базу
системы векторов. В противном случае
рассматриваемая подсистема линейно
зависима и по определению не может
служить базой системы векторов.
Таким
образом, базами системы векторов 
служат подсистемы 
.
Пример 3. Эквивалентны ли системы векторов
и
?
Решение. Начнем с нахождения рангов каждой системы векторов:
Ранги
систем векторов 
и 
совпадают (равны двум). Следовательно,
данные системы могут быть эквивалентны.
Чтобы проверить это, нужно вычислить
ранг объединенной системы векторов 
.
Если ранг объединенной системы совпадет
с рангом каждой системы векторов, системы
эквивалентны (т.к. линейные оболочки
совпадают). В противном случае- не
эквивалентны.
Поскольку
в системе 
вектор 
линейно зависим, а системе 
линейно зависимы векторы 
и 
,
нам достаточно рассмотреть систему
векторов 
:
.
Поскольку
ранг объединенной системы векторов
равен двум, системы векторов 
и 
эквивалентны.
3.3.1. Опишите линейные оболочки следующих систем векторов:
пространства
;
пространства
;
пространства
.
3.3.2.
Рассмотрим линейную оболочку чисел 
в множестве действительных чисел 
-
векторном пространстве с операциями
сложения действительных чисел и умножения
действительного числа на рациональное
число. Принадлежит ли этой оболочке
число 
?
3.3.3. Докажите, что отношение эквивалентности систем векторов рефлексивно, симметрично и транзитивно.
3.3.4. Докажите, что элементарные преобразования системы векторов приводят к эквивалентной системе.
3.3.5. Найдите все базы для каждой из следующих систем векторов:
3.3.6. Найдите какую- либо базу системы векторов и все векторы системы, не вошедшие в базу, выразите через векторы базы:
3.3.7. Проверьте являются ли эквивалентными системы векторов
и
3.3.8. Покажите, что система векторов
и
эквивалентны.