- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •4. Изгиб Основные понятия и формулы
- •4.1. Расчет статически определимых балок
- •Пример 1 Условие задачи
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19)
- •Пример 1
- •Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 3 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)
- •Основные определения
- •Аналитический способ определения перемещений
- •Метод Максвелла – Мора определения перемещений
- •Примеры решения задач
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Определение перемещений в балке методом Максвелла – Мора Пример 1 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •4.2. Расчет статически определимых рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
- •Решение
- •4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление
- •Основные определения
- •Пример расчета трубопровода (задача № 26) Условие задачи
- •Решение
- •4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне
- •Основные определения
- •Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)
- •Сопротивление материалов
- •Часть 2
Примеры решения задач
4.3.1. Расчет статически неопределимой балки
(задача № 23)
Условие задачи
Рис. 4.36. Заданная балка
Решение
Рис. 4.37. Основная
система
.
Будем искать прогиб методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Сначала найдем . Для этого построим в основной системе эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки (парыМ в данной задаче) – ММ и изгибающего момента от единичной обобщенной силы, соответствующей искомому перемещению, – М1. Чтобы построить эпюру ММ, найдем опорные реакции. Горизонтальная реакция НА в балках при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки всегда равна нулю – это следует из уравнения равновесия "сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю". Для определения трех других опорных реакций RA, RB и RC составим три уравнения равновесия:
; ;;
; ;;
; ;.
Рис. 4.38. Схемы балки и эпюры
изгибающих моментов:
а,б– от заданной нагрузки;
в,г– от единичной силы;
д,е– от лишней неизвестной
.
Теперь ищем прогиб в точке D от лишней неизвестной Х – . Строим эпюруМХ (рис. 4.38, е) и перемножаем ее с эпюрой М1, пользуясь правилом Верещагина:
.
Складываем и, находим полное перемещение и в соответствии с условием совместности деформаций приравниваем его нулю:
.
Отсюда .
Рис. 4.39. Окончательные эпюры
внутренних усилий в заданной балке
Заканчиваем решение проверкой результатов. Часто можно обнаружить ошибку, если построить изогнутую ось балки. Изогнутая ось должна удовлетворять как эпюре моментов, которая показывает, в какую сторону направлена выпуклость оси балки после изгиба, так и условиям закрепления балки. На рис. 4.39, а показана деформированная ось балки, удовлетворяющая указанным условиям. Заметим, что из-за наличия шарнира возможен перелом изогнутой оси в точке Е, так как сечения, примыкающие к шарниру поворачиваются на разные углы. Если не удается построить изогнутую ось так, чтобы она удовлетворяла всем условиям, то следует искать ошибку. Эта проверка носит качественный характер и не всегда дает возможность найти ошибку в вычислениях. Проверкой, подтверждающей правильность вычисления лишней неизвестной, является условие (4.29), то есть результатом перемножения окончательной эпюры М с эпюрой изгибающих моментов от единичной обобщенной силы М1 (по правилу Верещагина) должен быть ноль. Делая эту проверку, мы еще раз проверяем равенство нулю прогиба в точке D в нашей задаче, поскольку смыслом этого перемножения является согласно методу Максвелла – Мора определение перемещения по направлению обобщенной силы (прогиба в точке D в решаемой задаче). Проверим решение нашей задачи:
.
4.3.2. Расчет статически неопределимой рамы
(задача № 24)
Условие задачи
В раме, показанной на рис. 4.40, требуется определить внутренние усилия и построить ось рамы после деформации. Жесткость всех стержней рамы одинакова и равна EI.
Решение
Рассматриваемая рама является один раз статически неопределимой и для выбора основной системы требуется отбросить одну лишнюю связь. Такой лишней связью будем считать шарнирно-
Рис. 4.40. Схема рамы с нагрузками
Рис. 4.41. Основная система
.
Будем искать перемещения методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Для этого построим три эпюры изгибающих моментов в основной системе: от заданной нагрузки (рис. 4.42, а), от единичной силы, соответствующей горизонтальному перемещению в точке В (рис. 4.42, б), и от лишней неизвестной Х (рис. 4.42, в). Для определения перемножим эпюрыМР и М1:
.
Рис. 4.42. Эпюры изгибающих моментов: а– от заданной нагрузки;
б– от единичной силы;в– от
лишней неизвестнойХ
Рис. 4.43. Окончательные эпюры внутренних
усилий
.
Подставим найденные перемещения в условие совместности деформаций и найдем значение лишней неизвестной:
Рис. 4.44. Изогнутая ось рамы
Строим окончательные эпюры внутренних усилий, приложив к основной системе все нагрузки, включая найденное значение Х (рис. 4.43). Выполним проверку, перемножив эпюру М с эпюрой М1.
=147,24 – 147,3 0.
Изогнутая ось рамы, соответствующая эпюре изгибающих моментов (рис. 4.43, г), и условиям закрепления показана на рис. 4.44. Крестиками на рисунке отмечены точки перегиба оси.