- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •4. Изгиб Основные понятия и формулы
- •4.1. Расчет статически определимых балок
- •Пример 1 Условие задачи
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19)
- •Пример 1
- •Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 3 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)
- •Основные определения
- •Аналитический способ определения перемещений
- •Метод Максвелла – Мора определения перемещений
- •Примеры решения задач
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Определение перемещений в балке методом Максвелла – Мора Пример 1 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •4.2. Расчет статически определимых рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
- •Решение
- •4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление
- •Основные определения
- •Пример расчета трубопровода (задача № 26) Условие задачи
- •Решение
- •4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне
- •Основные определения
- •Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)
- •Сопротивление материалов
- •Часть 2
Используемые обозначения
Нагрузки:
– сосредоточенная сила, кН;
– сосредоточенная пара сил (момент), кНм;
– интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м.
Обозначение осей:
– продольная ось стержня;
– главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня.
Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:
A – площадь поперечного сечения, см2;
Sy,Sz– статические моменты относительно осей,см3;
Iy, Iz – осевые моменты инерции относительно осей, см4;
Ip– полярный момент инерции, см4.
Внутренние усилия:
N – продольная сила, кН;
Qy , Qz , (Q) – поперечные силы, кН;
My ,Mz, (M) – изгибающие моменты кНм;
Mк– крутящий момент, кНм.
Напряжения:
() – нормальные напряжения, МПа;
() – касательные напряжения, МПа;
(гл) – главные напряжения, МПа.
Деформации и перемещения:
, () – относительные линейные деформации;
() – угловые деформации (углы сдвига);
– абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (пере-мещение точек оси вдоль осиx), см;
v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осейy,z), см;
– угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад;
– угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.
Характеристики материала:
пц– предел пропорциональности, МПа;
т– предел текучести, МПа;
в– временное сопротивление (для хрупких материалов– предел прочности при растяжении,– предел прочности при сжатии), МПа;
[], [] – допускаемые напряжения, МПа;
E – модуль упругости, МПа;
– коэффициент Пуассона;
– коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.
4. Изгиб Основные понятия и формулы
Изгиб – такой вид деформации стержня, при котором его ось искривляется. Стержень, подверженный изгибу, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90, называется рамой. В данном разделе рассматриваются балки и рамы, подверженные плоскому поперечному изгибу. В этом случае вся нагрузка приложена перпендикулярно оси стержня в одной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии поперечного сечения; изогнутая ось является плоской кривой. При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент M.
Правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента зависят от вида рассматриваемой конструкции (прямолинейная балка, рама, криволинейный стержень) и приведены в соответствующих разделах.
Перед тем, как использовать метод сечений для определения внутренних усилий, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 4.1 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 4.1, б) и подвижной (рис. 4.1, в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 4.1, а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 4.1, б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис. 4.1, в).
Рис. 4.1. Опорные реакции:
а– в заделке;б– в
шарнирно-неподвижной опоре;
в– в шарнирно-подвижной опоре
Когда внутренние усилия найдены, можно определить напряжения в поперечном сечении изгибаемого стержня. В произвольной точке поперечного сечения возникают нормальное и касательное напряжения, которые для прямолинейных стержней находятся следующим образом:
нормальные напряжения в балке определяются по формуле1
, (4.1)
где М – величина изгибающего момента в рассматриваемом сечении; z – координата той точки поперечного сечения, в которой определяется , в главной центральной системе координат; – осевой момент инерции относительно главной центральной осиy. Распределение нормальных напряжений по высоте сечения показано на рис. 4.2, а. Ось y, на которой нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной осью;
касательные напряжения определяются по формуле Журавского2:
. (4.2)
В формуле Журавского Q – значение поперечной силы в рассматриваемом сечении; – статический момент отсеченной части сечения, зависящий от того, в какой точке определяется касательное напряжение;b(z) – ширина сечения на уровне точки, в которой находится напряжение. Например, на рис. 4.2, б заштрихована отсеченная часть сечения и показана ширина b(z) при определении касательных напряжений в точках, удаленных от оси y на расстояние z.
Рис. 4.2. К определению напряжений при
изгибе:
а– распределение нормальных
напряжений по высоте балки;
б– определение отсеченной части
сечения в формуле Журавского
, (4.3)
где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балок круглого и прямоугольного сечений моменты инерции и моменты сопротивления находятся по формулам
; ; (4.4)
; . (4.5)
Закон распределения касательных напряжений, определяемых по формуле Журавского, зависит от формы поперечного сечения. Для балок круглого и прямоугольного сечений касательные напряжения изменяются по высоте балок по закону квадратной параболы (рис. 4.3, а). Они равны нулю в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси y, и максимальны в точках, лежащих на оси y. Из формулы (4.2) для балок круглого и прямоугольного сечений следуют формулы для определения максимальных касательных напряжений
; . (4.6)
Очень часто употребляемым сечением для балок является двутавр. Касательные напряжения в полках и стенках двутавровой балки распределяются по разным законам. Наиболее важными при проверке прочности являются касательные напряжения в стенке двутавра. На рис. 4.3, б показана эпюра распределения касательных напряжений в стенке двутавра. Максимальные касательные напряжения в двутавровой балке так же, как и в балках круглого и прямоугольного сечений, действуют в точках, лежащих на нейтральной оси y. Об определении касательных напряжений в двутавре подробно будет сказано при решении задачи о проверке прочности двутавровой балки.
Рис. 4.3. Распределение касательных
напряжений по высоте:
а– балок круглого и прямоугольного
сечений;
б– двутавровой балки
Рис. 4.4. "Балочное"
напряженное
состояние
вторая теория прочности
; (4.7)
теория Мора ()
; (4.8)
для пластичных материалов используются
третья теории прочности
; (4.9)
четвертая теория прочности
. (4.10)