4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 8 (§8.1–8.5, 8.9).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§25), гл. 8.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§7.13–7.14), гл. 11 (§11.4, 11.5).

Основные определения

Под действием нагрузки происходит деформация балки: ось балки искривляется, точки оси балки перемещаются по вертикали⁶, сечения балки, оставаясь после деформации перпендикулярными изогнутой оси, поворачиваются. Вертикальное перемещение произвольной точки оси балки, то есть перемещение вдоль оси z , будем называть прогибом и обозначать w(х). Угол поворота произвольного сечения обозначим (х). Очевидно, что угол поворота произвольного сечения равен углу поворота оси балки в сечении . Прогибы и углы поворота трех балок показаны на рис. 4.14. Известно, что функцииw(х) и (х) связаны между собой такой зависимостью:

. (4.14)

При проектировании конструкций часто ограничивают не только напряжения (требуется удовлетворить условию прочности), но и деформации (требуется обеспечить выполнение условия жесткости). Для балок условием жесткости является условие, ограничивающее максимальный прогиб, т. е.

, (4.15)

Рис. 4.14. Деформации балок при изгибе

где – допускаемый прогиб, который задается в долях от длины пролета балкиl и в зависимости от типа проектируемой конструкции может находиться в пределах от до.

Рассмотрим два наиболее часто используемых способа определения перемещений балок (прогибов и углов поворота): способ, основанный на интегрировании приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки, называемый аналитическим способом, и метод Максвелла – Мора.

Аналитический способ определения перемещений

Аналитический способ основан на интегрировании приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки

. (4.16)

Здесь – жесткость балки при изгибе, то есть произведение модуля упругости на момент инерции. Предполагается, что эта величина не меняется по длине балки;– изгибающий момент в произвольном сечении балки.

Интегрируя уравнение (4.16), мы получим умноженные на жесткость угол поворота произвольного сечения

(4.17)

и прогиб произвольного сечения

. (4.18)

Рис. 4.15. Правило знаков для перемещений

в аналитическом методе

В формулах (4.17), (4.18) С и D – произвольные постоянные, которые находятся из граничных условий, зависящих от условий закрепления балки. Для каждой статически определимой балки можно записать два граничных условия для определения двух произвольных постоянных.

Введем правило знаков для прогиба и угла поворота в аналитическом методе определения перемещений. Рис. 4.15 поясняет это правило знаков. Согласно этому правилу прогиб вниз (по направлению оси z) считается положительным. Знак угла поворота зависит от того, где находится начало отсчета х. Если начало отсчета х находится слева, как показано на рис 4.15, поворот сечения по часовой стрелке считается положительным⁷.

Если балка имеет участков, то функция изгибающего моментана каждом участке своя. В этом случае надо интегрироватьдифференциальных уравнений и определятьпроизвольных постоянных, что очень громоздко. Если использовать специальные правила записи и интегрирования дифференциального уравнения, которые называютсяправилами Клебша, то число произвольных постоянных можно свести к двум, независимо от количества участков в балке. Перечислим эти правила:

1. Начало координат для всех участков должно быть единым и находиться на конце балки (левом или правом) (рис. 4.16).

2. При составлении выражения для изгибающего момента на каждом участке рассматриваем всегда все силы с той стороны от сечения, где находится начало координат.

3. Если на балку действует распределенная нагрузка, которая обрывается в каком-то сечении балки, то ее следует продолжить до конца балки и приложить на участке, где добавлена нагрузка, распределенную нагрузку той же интенсивности, но противоположного знака (см. рис. 4.16). (Конец балки всегда противоположен выбранному началу координат.)

4. Если к балке приложена сосредоточенная пара сил , то в выражение для изгибающего момента она входит с множителем, гдеа – расстояние от начала координат до места приложения пары сил (см. рис. 4.16).

5. 

   Рис. 4.16. Иллюстрация некоторых правил Клебша

   Интегрирование ведется без раскрытия скобок, то есть

.

Примечание. Правила Клебша справедливы, если функция , описывающая распределенную нагрузку, является линейной (в частном случае постоянной величиной).

При использовании правил Клебша изгибающий момент на каждом последующем участке равен моменту на предыдущем участке плюс некоторая добавка, поэтому выражение для изгибающего момента принято для всех участков записывать в одну строку, отделяя участки чертой. Например, выражение для изгибающего момента в балке, показанной на рис. 4.16, с учетом правил Клебша будет выглядеть следующим образом:

.

Такая запись означает, что выражение для изгибающего момента на первом участке () содержит одно слагаемое, функция изгибающего момента на втором участке () имеет уже три слагаемых и, наконец, в выражение для изгибающего момента на третьем участке () входят все пять слагаемых. Римская цифра в низу разделяющей черты показывает номер участка. В общем случае все члены, находящиеся левее черты с номером участка, входят в выражение для момента на указанном участке. Подставляя выражение для изгибающего момента в дифференциальное уравнение (4.16) и интегрируя его, найдем прогиб и угол поворота произвольного сечения. Две произвольные постоянные, возникающие при интегрировании, находим из граничных условий.

Приведем примеры записи граничных условий для разных балок. В балке, изображенной на рис. 4.16, на левом и правом ее концах находятся шарнирные опоры, которые запрещают вертикальные перемещения. Поэтому прогибы в точках иравны нулю и граничные условия для этой балки (так же, как и для балки на рис 4.14, б) будут такими:

;

.

Сечение А балки на рис. 4.14, а, в котором расположено жесткое защемление, не может ни перемещаться по вертикали, ни поворачиваться, поэтому граничные условия для этой балки

;

.

Для консольной балки, показанной на рис. 4.14, в, следует записать такие граничные условия:

;

.

Можно показать, что для балки с произвольным числом участков при использовании правил Клебша произвольные постоянные иимеют следующий геометрический смысл:

; (4.19)

, (4.20)

где исоответственно прогиб и угол поворота балки в начале координат. Знание геометрического смысла постоянныхС и D позволяет рационально выбирать начало отсчета х и анализировать результаты. Например, при выборе начала отсчета координаты х следует помещать начало координат в тот конец балки, где есть какое-нибудь закрепление. Так, в балке на рис. 4.14, а, где начало координат помещено в точку А с жестким защемлением, следует ожидать, что произвольные постоянные С и D будут равны нулю, так как в точке А не возможны никакие перемещения (). У балки, показанной на рис. 4.14, б, начало отсчета х находится в шарнирной опоре, поэтому произвольная постоянная D будет равна нулю (), а так как сечение в шарниреА поворачивается по часовой стрелке, то следует ожидать, что постоянная С будет положительна. Наконец, согласно рис. 4.14, в точка оси, расположенная в начале координат перемещается вниз, а сечение в начале отсчета х поворачивается против часовой стрелки, поэтому в соответствии с геометрическим смыслом произвольных постоянных в данной балке должно получиться, что С  0, а D  0.