- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •4. Изгиб Основные понятия и формулы
- •4.1. Расчет статически определимых балок
- •Пример 1 Условие задачи
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19)
- •Пример 1
- •Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 3 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)
- •Основные определения
- •Аналитический способ определения перемещений
- •Метод Максвелла – Мора определения перемещений
- •Примеры решения задач
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Определение перемещений в балке методом Максвелла – Мора Пример 1 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •4.2. Расчет статически определимых рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
- •Решение
- •4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление
- •Основные определения
- •Пример расчета трубопровода (задача № 26) Условие задачи
- •Решение
- •4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне
- •Основные определения
- •Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)
- •Сопротивление материалов
- •Часть 2
4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление
Рекомендуемая литература
Камерштейн А. Г., Рождественский В. В., Ручинский М. Н. Расчет трубопроводов на прочность: Справочная книга. М.: Недра, 1969. Гл. 21, 27.
Основные определения
Рис. 4.45. Температурные компенсаторы
Рассматриваемые рамы являются три раза статически неопределимыми системами. Выберем основную систему для рамы, показанной на рис. 4.45, а, отбросив левую заделку (рис. 4.46). Лишними неизвестными являются реакции в защемлении: Х1, Х2 и Х3. В точке О поместим начало декартовой системы координат хОy. Положительное направление силы Х1 должно совпадать с направлением оси х, силы Х2 – с направлением оси y. Положительное направление пары сил Х3 должно соответствовать направлению поворота оси х к оси y. Можно показать, что решение канонической системы уравнений метода сил для выбранной основной системы дает такие формулы для определения лишних неизвестных:
; (4.30)
; (4.31)
. (4.32)
Рис. 4.46. К расчету трубопровода:
а– основная система;
б– точкаС– упругий центр
Чтобы пояснить, что такое хс, yc, ,и, будем рассматривать раму как плоскую фигуру, состоящую из прямоугольников. Одна сторона каждого прямоугольника равна длине участка рамы, а другая сторона (толщина) всегда равна 1. Например, рама на рис. 4.46 считается плоской фигурой, состоящей из пяти прямоугольников с длинами соответственноl1, l2, l3 и 2l4 и толщиной всех прямоугольников, равной 1. Тогда хс, yc – координаты центра тяжести этой плоской фигуры в системе координат xОy. Центр тяжести фигуры (точка С на рис. 4.46, б) называется упругим центром. Через упругий центр проведем центральные оси xc, yc, параллельные осям x, y. В формулах (4.30), (4.31) ,и– осевые и центробежный моменты инерции рассматриваемой плоской фигуры относительно центральных осейxc, yc.
Напомним некоторые формулы. Координаты центра тяжести плоской фигуры находим так:
; , (4.33)
где А – площадь фигуры. В данном случае, так как толщина всех прямоугольников равна единице, площадь равна сумме длин всех участков рамы. Для рамы на рис. 4.46 ; Sx, Sy – статические моменты фигуры относительно осей x, y, которые находятся как суммы статических моментов каждого прямоугольника относительно осей x, y. Статический момент каждого прямоугольника равен произведению площади прямоугольника на координату центра тяжести прямоугольника в системе координат хОy.
Моменты инерции плоской фигуры вычисляются как суммы моментов инерции простых фигур, составляющих данную фигуру, в рассматриваемом случае момент инерции всей фигуры равен сумме моментов инерций прямоугольников единичной толщины. Для каждого прямоугольника справедливы формулы
; (4.34)
; (4.35)
, (4.36)
где – площадь прямоугольника (,);a, b – координаты центра тяжести прямоугольника в системе координатных осей xc, yc; ,– моменты инерции прямоугольника относительно собственных центральных осейx0, y0, параллельных осям xc, yc. Если ось x0 (или y0) расположена вдоль рассматриваемого участка трубопровода, то есть параллельна стороне прямоугольника li, то можно считать (или). Если же осьx0 (или y0) перпендикулярна стороне li, то . В формуле (4.36) учтено, что центробежный момент инерции прямоугольникаотносительно собственных осейx0, y0 равен нулю, так как эти оси являются главными осями инерции прямоугольника.
После определения величин лишних неизвестных по формулам (4.30) – (4.32) строим эпюры внутренних усилий в основной системе, как в обычной статически определимой раме. Эпюру изгибающих моментов можно проверить следующим образом. В упругом центре приложим найденные силы Х1 и Х2, нарисовав их в масштабе. Определим графически равнодействующую этих сил. Точки пересечения линии действия этой равнодействующей с осью рамы – это точки, в которых изгибающий момент должен равняться нулю (точки A, B, D на рис. 4.46, б).
Построив эпюры внутренних усилий, проверим прочность конструкции, имея в виду, что поперечное сечение стержней рамы – труба и, кроме температурного воздействия, труба испытывает действие внутреннего давления. Максимальные нормальные напряжения х, действующие на площадках, перпендикулярных оси трубы, находим, складывая напряжения от продольной силы и максимального изгибающего момента в опасном сечении рамы13:
. (4.37)
Для проверки прочности трубы из пластичного материала по формуле (4.37) находим максимальное по модулю напряжение. Если труба выполнена из хрупкого материала, при проверке прочности важен знак напряжений. Кольцевое напряжение , возникающее от внутреннего давления q, определяем по формуле
, (4.38)
Рис. 4.47. К определению напряжений в
трубе:
а– распределение напряженийхв опасном сечении;
б– напряженное состояние опасных
точек