Задачник мангушев и усманов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Р. А. МАНГУШЕВ, Р. А. УСМАНОВ

МЕХАНИКА ГРУНТОВ. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2012

1

УДК 624.131

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В. Д. Карлов (СПбГАСУ); д-р техн. наук, профессор С. И. Алексеев (ПГУПС)

Мангушев, Р. А.

Механика грунтов. Решение практических задач: учеб. пособие / Р. А. Мангушев, Р. А. Усманов; СПбГАСУ. – СПб., 2012. – 111 с.

ISBN 978-5-9227-0409-6

Рассматриваются основные положения и примеры решения наиболее важных задач механики грунтов: определение нормативных и расчетных значений характеристик грунтов; напряжений в массиве грунта в условиях пространственной и плоской задачи; деформаций; прочности и устойчивости оснований и фундаментов; давления грунтов на ограждающие конструкции.

Предназначено студентам строительных специальностей всех форм обучения.

Табл. 39. Ил. 46. Библиогр.: 8 назв.

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.

ISBN 978-5-9227-0409-6 © Р. А. Мангушев, Р. А. Усманов, 2012

© Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2012

Введение

Подготовка специалистов в области промышленного, гражданского, транспортного, сельскохозяйственного и других видов строительства тесно связана с освоением геотехнических дисциплин, изучение которых требует знания основ по методам расчета грунтов. Среди геотехнических дисциплин особое место занимает курс «Механика грунтов», который выделен в самостоятельную дисциплину и является теоретической подготовкой по другим дисциплинам, входящим в цикл геотехнических наук, включающих грунтоведение, инженерную геологию, основания и фундаменты.

За время изучения дисциплины «Механика грунтов» студент должен освоить теоретический курс, выполнить контрольные работы, провести лабораторные работы и сдать зачет по дисциплине. Содержание дисциплины (курса) изложено в учебниках и учебных пособиях. При этом основной объем теоретического материала для студентов очной формы обучения излагается на лекциях, а некоторый его объем усваивается студентами самостоятельно. На практических занятиях теоретический материал закрепляется путем решения практических задач и выполнения контрольных работ.

В процессе выполнения контрольных работ студентами приобретаются навыки самостоятельного выполнения различных расчетов. Отсутствие соответствующих методических пособий и указаний по решению практических задач создает определенные трудности для более эффективного и глубокого освоения студентами теоретического материала по указанному курсу.

Данное учебное пособие охватывает почти все основные разделы дисциплины, а также включает краткое изложение методики расчета по соответствующим разделам курса.

2

3

1. Определение нормативных и расчетных значений характеристик грунтов

В отчетах об инженерно-геологических изысканиях приводятся следующие характеристики:

1)ρ – плотность грунта, т/ м3, определяется в лабораторных условиях методом режущего кольца или парафинированием;

2)γ – среднее значение удельного веса грунта, кН/ м3;

3)γn – нормативное значение удельного веса грунта, кН/ м3;

4)γII – расчетный удельный вес по II группе предельных состояний (по деформациям), кН/ м3;

5)γI – расчетный удельный вес по I группе предельных состояний (по несущей способности), кН/ м3.

Кроме того, существуют частные значения характеристик прочности грунта:

с – удельное сцепление, кПа; φ – угол внутреннего трения, град. Нормативные значения:

сn – нормативное удельное сцепление, кПа;

φn – нормативный угол внутреннего трения, град. Расчетные значения:

сII, φII – удельное сцепление и угол внутреннего трения по II группе предельных состояний;

сI, φI – удельное сцепление и угол внутреннего трения по I группе предельных состояний.

Нормативные и расчетные значения характеристик грунта вычисляют для каждого выделенного на площадке строительства инже- нерно-геологического элемента (слоя грунта). За нормативное значение характеристики принимается среднее арифметическое значение результатов частных определений. При переходе к расчетному значению учитывается, что среднее значение вследствие неоднородности грунта и ограниченного числа определений может содержать ошибку, которая должна быть исключена.

Для плотности и модуля деформации нескальных грунтов, а также предела прочности на одноосное сжатие скальных грунтов статистическая обработка производится по следующей методике.

1. Вычисляют нормативное (среднее арифметическое) значение:

				1	Xi ,	(1.1)
		X
				n

где X – среднее значение характеристики; Xi – частное значение характеристики; n – количество определений.

2. Делают проверку на исключение возможных грубых ошибок. ИсключатьнеобходимомаксимальноеилиминимальноезначениеХi, для которого выполняется условие:

		|	X	– Хi	| > ν · Sdis ,			(1.2)
где ν – статистический критерий, принимаемый по табл. 1.1.
	Значения статистического критерия							Таблица 1.1
Число опреде-	ν	Число опреде-				ν	Число опреде-		ν
лений		лений					лений
6	2,07	13				2,56	20		2,78
7	2,18	14				2,60	25		2,88
8	2,27	15				2,64	30		2,96
9	2,35	16				2,67	35		3,02
10	2,41	17				2,70	40		3,07
11	2,47	18				2,73	45		3,12
12	2,52	19				2,75	50		3,16

Если проверка выполняется, то ни одно из опытных значений не следуетисключатькакгрубуюошибку. Еслипроверканевыполняется, то значение исключается и производится пересчет.

Sdis – смещенная оценка среднего квадратического отклонения:

		1	n			2
Sdis			X X i				.		(1.3)
		n i 1

3. Нормативное значение характеристики принимается равным:

				1	n
			n		X i .	(1.4)
		X
				n i 1

4

5

Среднее квадратическое отклонение:

			1	n
	S					n	X i 2 ,		(1.5)
					X
			n 1 i 1
	коэффициент вариации:
			V = S / Xn .						(1.6)

4. Ошибка среднего значения x (в абсолютных единицах) или δх
(относительная ошибка):
x S /	n ; x = ± V / n .	(1.7)

5. Доверительный интервал, характеризующий область вокруг среднего значения, в пределах которой с заданной вероятностью α

находится «истинное» (генеральное) среднее значение:
= ± tα · S / n ; δ = ± tα · V / n ,	(1.8)

где tα	– коэффициент, принимаемый по табл. 1.2 в зависимости от за-
данной вероятности (надежности) α и числа определений n.
					Таблица 1.2
	Значения коэффициента tα при односторонней
		доверительной вероятности α
Число определе-		tα при α		Число определе-	tα при α
ний n–1 или n–2		0,85	0,95	ний n–1 или n–2	0,85	0,95
	2	1,34	2,92	13	1,08	1,77
	3	1,25	2,35	14	1,08	1,76
	4	1,19	2,13	15	1,07	1,75
	5	1,16	2,01	16	1,07	1,75
	6	1,13	1,94	17	1,07	1,74
	7	1,12	1,90	18	1,07	1,73
	8	1,11	1,86	19	1,07	1,73
	9	1,10	1,83	20	1,06	1,72
	10	1,10	1,81	30	1,05	1,70
	11	1,09	1,80	40	1,05	1,68
	12	1,08	1,78	60	1,05	1,67

	6.	Коэффициент надежности по грунту:
		γg = 1 / (1 ± δ).	(1.9)
	7.	Расчетное значение характеристик:
	или	Х = Хn / γg ,	(1.10)
		Х = Хn ± ; Х = Хn (1 ± δ).	(1.11)

Пример 1.1. Для инженерно-геологического элемента, представленного суглинками, было выполнено восемь определений плотности грунта ρ, т/ м3. Результаты определений и необходимые для даль-

нейших расчетов вычисления приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Результаты определений

№ п/п	ρ	i	γ	i	γ– γ	i	| γ– γ	|2
							i
1	1,50		14,7		0,57		0,325
2	1,52		14,896		0,374		0,139
3	1,58		15,48		–0,21		0,044
4	1,60		15,68		–0,41		0,168
5	1,53		14,99		0,28		0,078
6	1,55		15,19		0,08		0,0064
7	1,59		15,58		–0,31		0,096
8	1,60		15,68		–0,41		0,168

Порядок расчета

1. Определим отдельные значения удельного веса грунта:

γi = ρi · g = ρi 9,8 м / с2;

Σγi = 122,196 кН/ м3; Σ| γ – γi |2 = 1,02.

2.Вычислимсреднееарифметическоезначениеудельноговесагрунта(формула(1.1)):

γ= 18 · 122,196 = 15,27 кН/ м3.

3.Определим смещенную оценку среднего квадратичного отклонения характеристики (формула (1.3)):

	Sdis	1
				11,02,02	=00,357,357 .
		8

6

7

4. Статиcтический критерий составит v = 2,27 (см. табл. 1.1). Тогда:

Sdis · v = 0,357 · 2,27 = 0,81;

максимальное отклонение: | γ – γi | = 0,57 < 0,81;минимальное отклонение: | γ – γi | = 0,08 < 0,81.

5. Так как условие | γ – γi | < Sdis · v выполняется, ни одно из значений не исключается как грубая ошибка.

6. Нормативное значение удельного веса:

γn = 15,27 кН/ м3.

7. Вычислим среднее квадратичное отклонение характеристики

(формула (1.5)):

S	1	1,02,2	= 0,382..
	8 1

8. Определим коэффициент вариации характеристики (форму-

ла (1.6)):

V = 0,382 / 15,27 = 0,025.

9.Принимаем значения коэффициента t по табл. 1.2:

при α = 0,85 tα =1,12; при α = 0,95 tα =1,9.

10.Тогда показатель точности оценки удельного веса грунта:

при α = 0,85 = 1,12 · 0,025 / 8 = 0,0099;

при α = 0,95 = 1,9 · 0,025 / 8 = 0,0168.

11.Коэффициент безопасности по грунту:

при α = 0,85 g = 1 / (1 – 0,0099) = 1,0099; при α = 0,95 g = 1 / (1 – 0,0168) = 1,017.

12.Расчетное значение удельного веса грунта по II группе предельных состояний:

γII = 15,27 / 1,0099 = 15,12 кН/ м3.

13. Расчетное значение удельного веса грунта по I группе предельных состояний:

γI = 15,27 / 1,017 = 15,01 кН/ м3.

Втабл. 1.4 приведенывариантызаданийдлясамостоятельнойработы.

Ɍɚɛɥɢɰɚ1.4			20	1,50	1,52	1,58	1,60	1,53	1,55	1,59	1,60	–	–
			19	1,62	1,64	1,68	1,70	1,57	1,62	1,68	1,70	1,70	1,72
			18	1,42	1,49	1,54	1,58	1,60	1,42	1,65	1,55	1,57	1,59
			17	1,54	1,58	1,62	1,67	1,72	1,54	1,55	1,59	1,73	1,82
			16	1,47	1,52	1,55	1,54	1,59	1,49	1,63	1,68	1,71	1,54
			15	1,59	1,69	1,67	1,59	1,56	1,62	1,67	1,65	1,68	–
			14	1,69	1,74	1,76	1,71	1,68	1,62	1,70	1,71	–	–
)			13	1,57	1,53	1,47	1,57	1,62	1,56	1,64	–	–	–
i
ɡɚɞɚɧɢɹ (ɡɧɚɱɟɧɢɹ ȡ			12	1,52	1,53	1,64	1,68	1,69	1,55	1,71	1,74	1,65	1,82
	ȼɚɪɢɚɧɬɵ		11	1,68	1,67	1,54	1,74	1,78	1,52	1,49	1,50	1,52	–
			10	1,55	1,62	1,64	1,68	1,57	1,54	1,70	1,70	–	–
			9	1,64	1,70	1,68	1,53	1,64	1,61	1,72	–	–	–
ȼɚɪɢɚɧɬɵ
			8	1,56	1,51	1,52	1,60	1,61	1,57	1,59	1,61	1,63	1,62
			7	1,58	1,53	1,60	1,61	1,53	1,64	1,61	1,57	1,57	–
			6	1,46	1,49	1,52	1,54	1,56	1,50	1,50	1,59	–	–
			5	1,51	1,52	1,64	1,68	1,51	1,50	1,59	–	–	–
			4	1,42	1,44	1,51	1,60	1,67	1,69	1,70	1,55	1,55	1,59
			3	1,37	1,42	1,47	1,49	1,54	1,62	1,70	1,66	1,69	–
			2	1,53	1,94	1,83	1,82	1,39	1,54	1,58	1,59	–	–
			1	1,49	1,52	1,57	1,62	1,68	1,50	1,57	–	–	–
	Ʉɨɥ-ɜɨ	ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ n		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

8

9

	Методика статистической обработки для прочностных характе-																												где					1		n
	ристик грунтов – углавнутреннеготренияφ и удельногосцепленияс																															S
																																				i tgtg n cn i 2 .								(1.17)
	имеетследующиеособенности. Нормативныезначенияφисопреде-																																	n 2 i 1
	ляютпонормативнойзависимостиτ= σ· tg φ+ c, вычисляемоймето-																												3. Коэффициенты вариации φ и с вычисляются по формуле (1.6),
	дом наименьших квадратов на основе всех определений τ в рассма-
																													а доверительный интервал:
	триваемом слое грунта.
																																		δtg φ = tα · Vtg φ;			δс = tα · Vc .							(1.18)
	1. Нормативные значения прочностных характеристик грунтов вы-
	числяют по формулам																												4. Расчетные значения φ и с находят по формулам (1.10) и (1.11).
					n										n								n
																													Доверительная вероятность α принимается равной 0,85 при расче-
				n i i i																	i								тах оснований по деформациям и равной 0,95 при расчетах несущей
	tgt	n			i 1									i 1								i 1				;		(1.12)	способности оснований и расчетах подпорных стен.
						n									n										2
										i												i							Пример 1.2. Для инженерно-геологического элемента, сложен-
					n						2
						i 1							i 1																ного суглинками, было выполнено 27 лабораторных определений
																													сопротивления срезу τ в девяти сериях при трех значениях нор-
			n		n								n								n								мального давления σ = 100, 200 и 300 кПа. Результаты определе-
	cn		n	i i 2							i i i																		ний и необходимые для дальнейших расчетов вычисления приве-
			i 1		n 1							i 1								i 1							,	(1.13)	дены в табл. 1.5.
				n	n				2				n								2																					Таблица 1.5
									i										i										Результаты лабораторного определения величины сопротивления
					i 1						i 1																						грунтов сдвигающим усилиям
	или		1		n												n												Номер		σ = 100 кПа					σ = 200 кПа					σ = 300 кПа
	c								tgg																			(1.14)	серии
		n						i						n										.						τi, кПа		τ – τi		(τ – τi)	2	τi, кПа	τ – τi	(τ – τi)		2	τi, кПа	τ – τi	(τ – τi)		2
			n																				i						опытов
				i 1											i 1
	2. Средние квадратические ошибки с и φ определяются по фор-																												1		55	10		100		90	12		144		117	19		361
																													2		57	8		64		90	12		144		125	11		121
	мулам																												3		60	5		25		90	12		144		132	4		16
											n																		4		60	5		24		95	7		49		132	4		16
											i						2												5		67	–2		4		99	3		9		135	1		1
	Sc		S								i 1															;		(1.15)	6		67	–2		4		105	–3		9		135	1		1
							n											n											7		72	–7		49		107	–5		25		135	1		1
											i													i	2
					n																								8		75	–10		100		110	–8		64		145	–9		81
										2
							i 1								i 1														9		75	–10		100		130	–28		784		172	–36		1296
																													Σ	588		–		471		916	–		1372		1228	–		1894
	Stgg S														n												,	(1.16)	τ1 = 588 / 9 = 65							τ2 = 916 / 9 = 102					τ3 = 1228 / 9 = 136
																													Sdis	=	471/ 9 = 7					Sdis =	1372 / 9 = 12				Sdis =	1894 / 9 = 15
									n										n							2
							n					2																	v = 2,35; v · S			dis	= 16;			v = 2,35; v · S		dis	= 28;		v = 2,35; v · S		dis	= 35;
											i														i						10 < 16					28 = 28						36 > 35
								i 1								i 1
									10																											11

Преждечемприступитьквычислениюнормативныхирасчетных значений φ и с, следует выполнить проверку на исключение грубых ошибок в определениях τi при каждом значении нормального давления. Необходимые для этого подсчеты сведены в табл. 1.5. Значения статистического критерия ν приняты по табл. 1.1 для n = 9.

Врезультате проверки установлено, что при σ = 100 кПа |τi – τ| <

<v · Sdis, следовательно, опытные данные не содержат грубых ошибок. При σ = 200 кПа для одного из значений τi = 130 кПа получено равенство |τi – τ| = v · Sdis. Следовательно, τi = 130 кПа может быть как исключено, так и оставлено. Примем решение: оставить это значение в статистической совокупности. При σ = 300 кПа для значения

τi = 172 кПа получили |τi – τ| > v · Sdis, следовательно, это значение τ должно быть исключено как грубая ошибка.

Вычислениянормативныхирасчетныхзначенийсиφследуетвести в табличной форме (табл. 1.6). В графы 2 и 3 вписываем экспериментальные значения σi и τi. После вычислений, внесенных в графы 4 и 5, определяем tg φn и сn. Значения в графе 6 получаем путем подстановки найденных значений tg φn и сn в уравнение τi = σi · tg φn + cn.

Обозначим знаменатель в формулах (1.12), (1.13), (1.15) и (1.16) буквой М и вычислим его значение:

М = 26 · 1 170 000 + 51002 = 4 410 000;

tg φn = (26 · 558 800 – 2560 · 5100) / 4 410 000 = 0,33; φn = 18º16′ ≈ 18º; cn = (2560 · 1 170 000 – 5100 · 558 800) / 4 410 000 = 33 кПа.

Уравнение прямой графика τ = f(p) будет иметь вид

τ = 0,33р + 33.

Проверим уравнение подстановкой средних значений τ и р:

τ = 2560 / 26 = 98; p = 5100 / 26 = 196;

98 = 0,33 · 196 + 33 = 98.

Сходимость результатов свидетельствует о правильности вычис-

лений сn	иtg φn.
После заполнения граф 7 и 8 табл. 1.6 вычисляем:
	SIJ =	2385 / 27 2 = 10 ɤɉɚ;
	Sɫ = 10	1 170 000 / 4 410 000 = 5 ɤɉɚ;

Таблица 1.6

Результаты вычисления нормативных и расчетных значений прочностных характеристик грунтов

№ п/п	σ	i	τ	i	σ2	σ	· τ	i	τ	i	τ– τ	i	(τ– τ	)2
					i	i							i
1	2		3		4		5		6		7		8
1	100		55		10 000	5500			66		11		121
2	100		57		10 000	5700			66		9		81
3	100		60		10 000	6000			66		6		36
4	100		60		10 000	6000			66		6		36
5	100		67		10 000	6700			66		–1		1
6	100		67		10 000	6700			66		–1		1
7	100		72		10 000	7200			66		–6		36
8	100		75		10 000	7500			66		–9		81
9	100		75		10 000	7500			66		–9		81
10	200		90		40 000	18 000			99		9		81
11	200		90		40 000	18 000			99		9		81
12	200		90		40 000	18 000			99		9		81
13	200		95		40 000	19 000			99		4		16
14	200		99		40 000	19 800			99		0		0
15	200		105		40 000	21 000			99		–6		36
16	200		107		40 000	21 400			99		–8		64
17	200		110		40 000	22 000			99		–11		121
18	200		130		40 000	26 000			99		–31		961
19	300		117		90 000	35 100			132		15		225
20	300		125		90 000	37 500			132		7		49
21	300		132		90 000	39 600			132		0		0
22	300		132		90 000	39 600			132		0		0
23	300		135		90 000	40 500			132		–3		9
24	300		135		90 000	40 500			132		–3		9
25	300		135		90 000	40 500			132		–3		9
26	300		145		90 000	43 500			132		–13		169
Σ	5100		2560		1 170 000	558 800			–		–		2385

Stg ij = 10 27 / 4 410 000 = 0,02;

Vc = 5 / 33 = 0,15; Vtg φ = 0,02 / 0,33 = 0,06.

Находим расчетные значения с и φ для расчетов по второму предельному состоянию. Для α = 0,85 и числа степеней свободы n – 2 = = 24 по табл. 1.2 находим, что tα = 1,06. Тогда:

12

13

с = 1,06 · 0,15 = 0,16;g(c) = 1 / (1 – 0,16) = 1,19;tg φ = 1,06 · 0,06 = 0,06;

g(tg φ) = 1 / (1 – 0,06) = 1,06; cII = 33 / 1,19 = 28 кПа;

tg φII = 0,33 / 1,06 = 0,31; φII = 17º13′ ≈ 17º.

Определим расчетные значения с и φ для расчетов по первому предельному состоянию: для α = 0,95 и n – 2 = 24 по табл. 1.2 – tα = = 1,71. Тогда:

ρс = 1,71 · 0,15 = 0,26; kg(c) = 1 / (1 – 0,26) = 1,35; ρtg φ = 1,71 · 0,06 = 0,10;

kg(tg φ) = 1 / (1 – 0,10) = 1,11; cI = 33 / 1,35 = 24 кПа;

tg φI = 0,33 / 1,11 = 0,30; φI = 16º42′ ≈ 17º.

В табл. 1.7 приведены варианты заданий для самостоятельной ра-

боты.

Таблица 1.7

Варианты заданий

Вари-	Давление	τ		τ	τ		τ		τ		τ		τ	τ		τ
ант	σi, кПа		1	2		3		4		5		6	7		8		9
1	100	54		53	57		52		61		56		58	56		74
	200	93		95	97		99		95		106		110	115		124
	300	125		129	135		138		144		148		159	168		170
2	100	55		54	52		54		62		59		53	51		77
	200	95		96	98		101		96		108		112	117		126
	300	127		127	137		140		146		150		161	170		172
3	100	53		55	57		58		64		52		60	62		74
	200	96		98	100		103		98		110		114	119		128
	300	126		128	139		142		148		152		163	172		175
4	100	56		55	59		56		68		57		61	60		73
	200	95		97	102		105		103		112		116	123		128
	300	124		129	141		144		152		154		165	175		177
5	100	51		53	54		57		58		56		53	61		74
	200	98		100	105		108		105		115		118	125		132
	300	125		129	138		146		154		156		167	177		179
6	100	50		54	62		69		66		60		64	57		71
	200	102		103	106		111		108		118		123	128		136
	300	122		126	130		135		145		155		165	175		168

Окончание табл. 1.7

Вари-	Давление	τ		τ		τ		τ	τ		τ		τ		τ		τ
ант	σi, кПа		1		2		3	4		5		6		7		8	9
7	100	56		58		60		61	59		60		61		69		72
	200	98		101		108		115	99		95		103		133		142
	300	124		128		135		140	149		156		159		158		175
8	100	54		59		56		55	63		59		57		61		73
	200	96		98		103		116	101		98		106		137		148
	300	120		125		130		135	140		145		150		155		165
9	100	55		57		59		60	62		63		57		65		76
	200	95		96		98		105	108		100		110		139		146
	300	125		131		136		141	146		151		156		161		166
10	100	52		54		53		55	65		59		61		62		75
	200	98		103		107		112	111		105		113		135		149
	300	123		128		133		138	143		148		153		158		165
11	100	56		56		58		60	62		59		63		65		77
	200	94		98		102		105	108		103		115		139		152
	300	127		132		137		142	147		152		157		162		167
12	100	54		52		57		59	59		57		54		56		72
	200	96		99		103		110	121		126		129		143		153
	300	124		130		136		142	148		144		150		156		162
13	100	51		55		53		54	59		52		58		59		74
	200	93		97		108		114	123		128		132		153		156
	300	122		129		136		142	149		156		163		170		177
14	100	53		54		57		56	61		65		62		64		78
	200	98		103		105		112	128		133		134		148		154
	300	125		132		139		146	153		159		166		173		180
15	100	55		58		57		61	59		64		67		58		70
	200	95		105		110		115	133		138		142		152		151
	300	127		134		141		148	155		162		169		176		165
16	100	52		59		52		58	61		59		62		60		77
	200	100		104		110		119	141		146		146		155		159
	300	123		129		135		141	147		153		159		165		171
17	100	54		55		56		62	64		59		64		62		75
	200	94		97		103		113	132		139		148		153		163
	300	126		133		139		145	151		157		163		169		175
18	100	50		51		54		57	59		63		65		67		78
	200	99		102		113		119	123		133		153		158		167
	300	124		131		138		145	152		159		166		173		180
19	100	56		54		58		61	65		68		59		55		76
	200	95		99		102		109	123		132		139		148		163
	300	128		133		138		142	147		152		157		162		167
20	100	53		55		59		64	68		61		63		57		77
	200	97		103		113		122	132		138		146		156		162
	300	122		128		134		140	146		152		158		164		170

14

15

2. Определение напряжений в грунтах

Вопрос об определении напряжений в грунтовой толще имеет большое значение для установления условий прочности и устойчивости грунтов и определения их деформаций (главным образом осадок) поддействиемвнешнихсилисобственноговесагрунта. Какизвестно, грунты являются дисперсными телами и, тем не менее, при определении напряжений принимают, что они являются сплошным, изотропным, линейнодеформируемымтелом, испытывающимодноразовое загружение. В указанных условиях при определении осредненных напряжений в точке массива грунта можно использовать решения теории упругости.

Впрактике проектирования и строительства наиболее широко применяются отдельностоящие (пространственная задача) и ленточные (плоская задача) конструкции фундаментов. Кроме того, при проектировании свеженасыпанных земляных сооружений и оценки природной уплотненности грунтов необходимо вычислять величину напряжений от природного их веса. Ниже рассматриваются методики определения напряжений для вышеуказанных условий.

2.1.Определение напряжений при действии местного равномерно распределенного давления

Вэтом случае значения вертикальных напряжений σz для точек, расположенных под центром прямоугольной площади (рис. 2.1), определяются по формуле

σz = α · p,

(2.1)

где α – коэффициент, принимаемый по табл. 2.1 в зависимости от величины соотношения сторон η = l / b и относительной глубины расположения рассматриваемой точки ξ = 2z / b (l – длинная сторона прямоугольной площади загружения, м; b – ее ширина, м; z – глубина расположения рассматриваемой точки или горизонта, м); р – равномерно распределенное давление по подошве фундамента, кПа.

			σzр
	Рис. 2.1. Схема к расчету напряже-	σ		zр
	ний σz для прямоугольной площади

Значения вертикальных напряжений σz для точек, расположенных под углом прямоугольной площади, определяются по формуле

σz = 0,25α · p,

(2.2)

где α – коэффициент, также принимаемый по табл. 2.1 в зависимости от величины соотношения сторон η = l / b и относительной глубины расположения рассматриваемой точки ξ = z / b.

Пример 2.1. Требуется определить величину сжимающих напряжений σz по глубине основания, построить эпюру его распределения под центром (точка М) и углом (точка С) загруженного прямоугольного фундамента размером l×b = 4×2 м на глубине z = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 5,5 и 6,0 м от поверхности при внешней нагрузке интенсивностью р = 200 кПа.

Решение

Для точки М при η = l / b = 4 / 2 = 2 (формула (2.1)):

z = 0,0 м; ξ= 2z/ b = 2 · 0,0 / 2 = 0,0;		α= 1,00;	σz	= 1,00 · 200 = 200 кПа;
z = 0,5 м; ξ= 2z/ b = 2 · 0,5 / 2 = 0,5;		α= 0,95;	σz	= 0,95 · 200 = 190 кПа;
z = 1,0 м; ξ= 2z/ b = 2 · 1,0 / 2 = 1,0;		α= 0,80;	σz	= 0,80 · 00 = 160 кПа;
z = 1,5 м; ξ= 2z/ b = 2 · 1,5 / 2 = 1,5;		α= 0,63;	σz	= 0,63 · 200 = 126 кПа;
z = 2,0 м; ξ= 2z/ b = 2 · 2,0 / 2 = 2,0;		α= 0,48;	σz	= 0,48 · 200 = 96 кПа;
z = 2,5 м; ξ= 2z/ b = 2 · 2,5 / 2 = 2,5;		α= 0,37;	σz	= 0,37 · 200 = 74 кПа;
z = 3,0 м; ξ= 2z/ b = 2 · 3,0 / 2 = 3,0; α= 0,29; σz				= 0,29 · 200 = 58 кПа.
z = 3,5 м; ξ= 2z/ b = 2·3,5 / 2 = 3,5; α= 0,23; σz = 0,23 · 200 = 46 кПа;
z = 4,0 м; ξ= 2z/ b = 2 · 4,0 / 2 = 4,0; α= 0,19; σz				= 0,19 · 200 = 38кПа;
z = 4,5 м; ξ= 2z/ b = 2 · 4,5 / 2	= 4,5; α= 0,14; σz			= 0,14 · 200 = 28 кПа;
z = 5,0 м; ξ= 2z/ b = 2 · 5,0 / 2	= 5,0; α= 0,13; σ			= 0,13 · 200 = 26 кПа;
z = 5,5 м; ξ= 2z/ b = 2 · 5,5 / 2	= 5,5; α= 0,11; σz			= 0,11 · 200 = 22 кПа;
z = 6,0 м; ξ= 2z/ b = 2 · 6,0 / 2			z
	= 6,0; α= 0,09; σz			= 0,09 · 200 = 18 кПа.

16

17

z = 7,0 м; ξ= 2z/ b = 2·7,0 / 2 = 7,0; α= 0,07; σz = 0,07 ·200 = 14 кПа; z = 8,0 м; ξ= 2z/ b = 2·8,0 / 2 = 8,0; α= 0,06; σz = 0,06 ·200 = 12 кПа.

Для точки С при η = l / b = 4 / 2 = 2 (формула (2.2)):

z = 0,0 м; ξ= z/b = 0,0/2 = 0,00; α= 1,00; σz = 0,25·1,00·200 = 50 кПа; z = 0,5 м; ξ= z/b = 0,5/2 = 0,25; α= 0,96; σz = 0,25·0,96·200 = 48 кПа; z = 1,0 м; ξ= z/b = 1,0/2 = 0,50; α= 0,95; σz = 0,25·0,95·200 = 47 кПа; z = 1,5 м; ξ= z/b = 1,5/2 = 0,75; α= 0,88; σz = 0,25·0,88·200 = 44 кПа; z = 2,0 м; ξ= z/b = 2,0/2 = 1,00; α= 0,80; σz = 0,25·0,80·200 = 40 кПа; z = 2,5 м; ξ= z/b = 2,5/2 = 1,25; α= 0,71; σz = 0,25·0,71·200 = 36 кПа; z = 3,0 м; ξ= z/b = 3,0/2 = 1,50; α= 0,63; σz = 0,25·0,63·200 = 32 кПа; z = 3,5 м; ξ= z/b = 3,5/2 = 1,75; α= 0,55; σz = 0,25·0,55·200 = 27 кПа; z = 4,0 м; ξ= z/b = 4,0/2 = 2,00; α= 0,48; σz = 0,25·0,48·200 = 24 кПа; z = 4,5 м; ξ= z/b = 4,5/2 = 2,25; α= 0,43; σz = 0,25·0,43·200 = 22 кПа; z = 5,0 м; ξ= z/b = 5,0/2 = 2,50; α= 0,37; σz = 0,25·0,37·200 = 19 кПа; z = 5,5 м; ξ= z/b = 5,5/2 = 2,75; α= 0,33; σz = 0,25·0,33·200 = 17 кПа; z = 6,0 м; ξ= z/b = 6,0/2 = 3,00; α= 0,29; σz = 0,25·0,29·200 = 15 кПа; z = 7,0 м; ξ= z/b = 7,0/2 = 3,50; α= 0,23; σz = 0,25·0,23·200 = 12 кПа; z = 8,0 м; ξ= z/b = 8,0/2 = 4,00; α= 0,19; σz = 0,25·0,19·200 = 10 кПа.

Эпюры распределения напряжений по глубине основания приведены на рис. 2.2.

2 м

4 м

	Рис. 2.2. Схема загруженной пло-
	щади и эпюры распределения на-
	пряжений σz для точек М и С по
	вертикальным сечениям к приме-
z, м	ру 2.1

В табл. 2.2 приведены варианты заданий для самостоятельной работы.

Таблица 2.2

Варианты заданий

№ вари-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
анта
b×l, м	1×2	1,2×	1,4×	1,6×	1,8×	2×3	2×3,2	2×3,4	2×3,6	2×3,8
		×2,2	×2,4	×2,6	×2,8
р, кПа	150	160	170	180	190	200	220	240	260	280
№ вари-	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
анта
b×l, м	2×4	1,8×	1,8×	1,8×	1,8×	1,8×3	1,8×	1,6×	1,8×	1,8×
		×3,8	×3,6	×3,4	×3,2		×2,8	×2,6	×2,4	×2,2
р, кПа	300	200	210	230	250	270	290	200	220	240

Примечание. Величину напряжений σz необходимо вычислить для глубины z = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 5,5 и 6,0 м от поверхности дей-

ствия нагрузки.

2.2.Определение напряжений в грунтовой толще

вусловиях плоской задачи

Условия плоской задачи будут иметь место тогда, когда напряжения распределяются в одной плоскости, в направлении же перпендикулярном они или будут равны нулю, или постоянны. Это условие имеет место для очень вытянутых в плане сооружений, например ленточных и стеновых фундаментов, оснований подпорных стенок, насыпей, дамб и подобных сооружений. При увеличении отношения длины площади загружения l к ее ширине b (при равномерно распределенной нагрузке) задача по определению напряжений с большим основанием может рассматриваться как плоская (плоская деформация). Обычно плоская задача может приниматься, когда l / b > 10 (рис. 2.3).

В условиях плоской задачи определяются три составляющие напряжений:

18

19