итог5
.doc
Тема 5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Программный объем темы:
1. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.
2. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
3. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
4. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
5. Производные сложной функции. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций.
6. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия.
7. Условный экстремум. Метод Лагранжа.
Существуют различные способы задания функции двух переменных:
а) аналитическое задание - когда функция задана аналитическим выражением, например,
б) табличное задание - с помощью таблицы, в которой на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям и , поставлено соответствующее значение функции ;
в) графическое изображение функции . Пусть эта функция определена в области на плоскости , т.е. для таких пар чисел , что точка лежит в (рис. 5.1.). Условно можно записать . Из каждой такой точки восставим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем отрезок, равный . Получим в пространстве точку , где Множество таких точек при всевозможных называют графиком функции , т.е. график - это поверхность с уравнением
Число называется пределом функции при (т.е., при , ), если разность можно сделать как угодно малой, взяв т. достаточно близко к т. . При этом пишут .
Функция называется непрерывной в т. , если
Пусть аргументы и функции получили приращение и . Частным приращением функции по (по ) и полным приращением называются разности
Частными производными по (по ) от функции называются
Отсюда видно, что есть производная по , вычисленная в предположении, что , а есть производная по , вычисленная в предположении, что .
Пример.
Аналогично определяются частные производные функций большого числа переменных.
Если то является сложной функцией от . При этом
и называется полной производной функции .
Пример.
Найти полную производную , если ,
Имеем
Подставляя найденные выражения в формулу полной производной, получим
В случае, когда функция задана неявно равенством , частные производные находятся по формулам:
Полным дифференциалом функции называется
Как и для дифференциала функции одного переменного, верно приближенное равенство (где – полное приращение).
Пример.
Вычислить приближенно с помощью дифференциала
Искомое число будем рассматривать как значение функции при , , если , . Имеем
Следовательно,
и поэтому искомое
Прямая линия называется касательной к поверхности с уравнением в точке , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через т. . Так как таких кривых бесконечно много, то и касательных к поверхности в т. бесконечно много. Если в т. производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля, то все касательные прямые к данной поверхности в точке лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке . Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через т. , называется нормалью к поверхности. Оказывается, что касательная плоскость к поверхности в точке перпендикулярна вектору
Поэтому уравнения касательной плоскости и нормали имеют вид
где значения вычисляются в т. .
Пример.
В точке провести касательную плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением
Так как то
После упрощений получим, что уравнение касательной плоскости имеет вид
,
а уравнение нормали
П
Рис. 5.2.
Эта производная выражается через частные производные так:
где
Введем вектор , который называется градиентом функции , а также вектор единичной длины . Тогда производную по направлению можно записать в виде
В случае функции трех переменных , точки и вектора производная по направлению также определяется формулами (1), (3), но вместо (2) будет
Отметим следующее свойство производной по направлению: производная в данной точке по направлению имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .
Пример.
Дана функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке ; 2) производную в точке по направлению вектора .
Вычислим частные производные функции в точке :
Поэтому
Возьмем теперь вектор . Так как то
Вторые частные производные (или частные производные 2-го порядка) от функции , определяются так:
Можно показать, что .
Если функция достигает экстремума в т. , то каждая из частных производных и , в т. или не существует, или обращается в нуль. Эти условия аналогичны необходимому условию экстремума функции одного переменного. Точки, в которых и не существуют или равны нулю, называются критическими точками функции . Каждая точка экстремума является критической точкой, но не каждая критическая точка — точка экстремума.
Обозначим Пусть — критическая точка, причем Тогда в точке : 1) имеет максимум, если и ; 2) имеет минимум, если и ;
3) не имеет экстремума, если .
4) если , то экстремум может быть и может не быть (требуется дальнейшее исследование).
Пример.
Дана функция
Требуется исследовать данную функцию на экстремум в области , ограниченной линиями , найти точки и соответственно наименьшего и наибольшего значений функции в области и подсчитать эти значения.
Построим данную область (рис. 5.3.).
Найдем критические точки внутри области:
Из этих точек лишь только принадлежит области . В ней имеем
Поэтому и . Следовательно, - точка экстремума, а именно - точка минимума. Вычислим значение функции в этой точке:
Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции в области . Для этого рассмотрим каждый участок границы :
а)
при и
Вычислим значения функции в точках
б)
при
Значение функции в т. известно.
Вычислим функцию в т. :
в)
Вычисления показывают, что при .
Сравнивая найденные в точках значения функции, получаем (в точке ), (в точке ).
Таким образом,
Контрольная работа №5 по теме
"ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ"
5.1. Дана функция . Найти частные производные .
5.1.1.
5.1.2.
5.1.3.
5.1.4.
5.1.5.
5.1.6.
5.1.7.
5.1.8.
5.1.9.
5.1.10.
5.2. Вычислить значение производной сложной функции , где , при .
5.2.1.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.
5.2.5.
5.2.6.
5.2.7.
5.2.8.
5.2.9.
5.2.10.
5.3. Функция задана в неявном виде. Найти полный дифференциал функции .
5.3.1.
5.3.2.
5.3.3.
5.3.4.
5.3.5.
5.3.6.
5.3.7.
5.3.8.
5.3.9.
5.3.10.
5.4. Дана функция . Показать, что справедливо указанное в задаче соотношение.
5.4.1.
5.4.2.
5.4.3.
5.4.4.
5.4.5.
5.4.6.
5.4.7.
5.4.8.
5.4.9.
5.4.10.
5.5. Дана функция и две точки
Требуется:
-
вычислить значение в т. ;
-
вычислить приближенное значение функции в т. , исходя из значения функции в точке и заменив приращение функции при переходе от точки к точке её дифференциалом;
-
оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом;
-
составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .