Тема 2. Аналитическая геометрия
Программный объем темы:
1. Декартова и полярная системы координат. Переход из одной системы в другую.
2. Параллельный перенос координатных осей.
3. Основные виды уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Основные виды уравнения плоскости.
4. Кривые второго порядка, их канонические уравнения и графики. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.
ДЕКАРТОВА И ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , то точкуэтой плоскости, имеющую координатыи, обозначают.
Расстояние между точкамииопределяется по формуле.
В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется ее расстояниемот полюса(- полярный радиус-вектор точки). Уголсчитается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.
Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с полюсом, а ось направить по полярной оси, то прямоугольные координатыиточкии ее полярные координатыисвязаны следующими формулами:
Так как – расстояние, то. Обычно это ограничение снимают. Тогда получается обобщенная полярная система координат. Положение точки в такой системе определяется следующим образом. Проводим из полюса луч , продляем его за полюс и на его продолжении откладываем отрезок, равный по длине (рис 2.1).
В задании 2.5 кривые требуется построить в обобщенной полярной системе координат.
Пример.
В обобщенной полярной системе координат построить кривую .
Для решения задачи следует найти точки, лежащие на кривой, даваязначения через какой-то промежуток (чем меньше промежуток, тем точнее можно построить кривую, но тем больше объем вычислительной работы). Результат построения – окружность с диаметром– приведен на рис. 2.2. Там же показаны две точки,и, принадлежащие этой окружности, способ построения которых ясен из рисунка. Любые другие точки этой кривой строятся аналогично.
Всякой линии на плоскости , рассматриваемой как множество точек, соответствует некоторое уравнение, в которое входят координаты любой точки("текущей точки"), лежащей на этой линии. Такое уравнение называется уравнением данной линии.
Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:
1) взять произвольную (текущую) точку линии,
2) записать равенством общее свойство всех точек линии,
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки и через данные в задаче.
Пример. В декартовой прямоугольной системе координат вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек иесть величина постоянная, равная 47.
Решение.
Обозначим буквой произвольную точку линии.
и - текущие координаты этой точки.
Запишем геометрическое свойство линии символически.
. (1)
Выразим ичерез текущие координаты точки:
Подставив полученные выражения в равенство (1), найдем уравнение, связывающее координаты точки:
Упростим последнее уравнение:
Получили уравнение окружности с центром в т. (0,1) и радиусом.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение прямой.
- координаты нормального вектора прямой (вектора, перпендикулярного данной прямой).
2) - уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно вектору.
3) - уравнение с угловым коэффициентом, где- отрезок, отсекаемый прямой на оси,или, где- угол наклона прямой к оси.
4) - уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через данную т. .
5) - каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через т.параллельно направляющему вектору .
6) - параметрические уравнения прямой, - параметр.
7) - уравнение прямой в отрезках, где и - величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осяхисоответственно.
8) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .
Угол между двумя прямыми можно найти, зная угловые коэффициенты прямых: .
Условие параллельности двух прямых: или .
Условие перпендикулярности двух прямых: , или.
плоскость
Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение плоскости,- нормальный вектор плоскости,- его координаты;
2) - уравнение плоскости, проходящей через т.перпендикулярно нормальному вектору.
3) - уравнение плоскости в отрезках, где- отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координатсоответственно.
4) - уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: .
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямая в пространстве может быть задана:
1) общими уравнениями:
т.е. системой уравнений двух пересекающихся плоскостей.
2) параметрическими уравнениями:
где - координаты данной точки, а– координаты направляющего вектора прямой, т.е. вектора, параллельного данной прямой;
3) каноническими уравнениями:
4) уравнениями прямой, проходящей через две точки:
и :
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
И ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Угол между плоскостямииопределяется по формуле
Условие перпендикулярности плоскостей:
Условие параллельности плоскостей:
Расстояние от точки до плоскости, определяемой уравнениемможно найти по формуле
Угол между двумя прямыми в пространстве, заданными их каноническими уравнениями, определяется по формуле
условие параллельности двух прямых: условие перпендикулярности двух прямых:Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле
условие параллельности прямой и плоскости:
условие перпендикулярности прямой и плоскости: .
При решении задач надо уметь переходить от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим.
Пример.
По уравнениям плоскостей
образующих прямую, составить ее уравнения в каноническом виде. Решение. Определим координаты одной точки прямой: положим , тогда для значенийирешим систему уравнений
Теперь канонические уравнения имеют вид
Направляющий вектор искомой прямой будет перпендикулярен нормальным векторамиданных плоскостей, следовательно, его координаты можно найти, используя векторное произведение.
т.е.
Канонические уравнения искомой прямой имеют вид
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА