36

ВВЕДЕНИЕ

Цель настоящего издания – снабдить студентов-заочников рабочей программой и контрольными заданиями по курсу высшей математики.

Пособие содержит рабочую программу и контрольные вопросы по каждой теме, список учебной литературы, примеры решения задач, контрольные задания и основной теоретический материал, необходимый для освоения курса и решения задач.

Распределение объемов занятий и видов учебной работы при изучении высшей математики для студентов-заочников всех специальностей дано в табл. 1.

Таблица 1

Семестр	Занятия, часы				Выполнение контрольных работ	Контроль
	Лекции	Лабораторные работы	Практические занятия	Самостоятельные работы
1-6	8-32	-	8-12	600-800	1-6	Экзамен или зачет

Основной формой изучения дисциплины являются самостоятельная работа студента с рекомендованной литературой и решение индивидуальных контрольных заданий. Ознакомление с теоретическими сведениями, содержащимися в пособии, не может заменить системной работы с литературой. Прежде чем переходить к решению задач, следует ответить на контрольные теоретические вопросы по данной теме, приведенные в пособии.

По каждой теме достаточно ознакомиться с одним (любым) из указанных учебников.

Номер темы в пособии	1	2	3	4	5	6
Рекомендуемая для предварительной проработки литература	[1], гл.1, §§1-3; гл.5, §§1-6 [4], гл.3,9	[1], гл.2-3, §§1,2 [4], гл. 3,	[3], гл.1-6, [4], гл.4,5,6	[3], гл.10-12, [4], гл.7,8	[3], гл.8, [4],гл.11,12	[3], гл.13, [4], гл.15

Выполнять контрольные работы следует по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра. В качестве учебного шифра принимают последнюю цифру номера зачетной книжки студента. Если эта цифра ноль, то следует выполнять десятый вариант. Каждый пример (или примеры, если их в задании несколько) пронумерован тремя цифрами: пер­вая означает номер контрольной работы, вторая - номер задания в контроль­ной работе, третья - номер варианта. Например, если учебный шифр оканчивается цифрой 7, то нужно решать в каждом задании контрольной работы №1 примеры под номером 7, т.е. примеры 1.1.7., 1.2.7., 1.3.7., 1.4.7., 1.5.7.

При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо со­блюдать следующие указания:

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя по­ля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть написаны фамилия и инициа­лы студента, учебный шифр, номер контрольной работы и дата отсылки работы в институт.

3. В работу должны быть включены все примеры, указанные в за­даниях, строго по варианту. Работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач следует располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее усло­вия. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывая усло­вия задачи, следует заменить общие данные конкретными из данного варианта.

6. Решение задач и объяснения к ним должны излагаться подробно и аккуратно.

7. После получения из ПГТУ прорецензированной работы, сту­дент обязан исправить все отмеченные в работе недостатки; в случае незачета - в кратчайший срок выполнить все требования преподавателя и предоставить работу на повторную проверку, приложив при этом пер­воначальный её вариант.

8. В период экзаменационной сессии студент обязан представить все прорецензированные и зачтенные контрольные работы.

Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебры

Программный объём темы:

1. Матрицы и операции над ними. Ранг матицы.

2. Определители и их свойства. Вычисление определителей.

3. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса, правило Крамера, матричный метод решения систем.

4. Векторы, операции над векторами, разложение вектора, линейные операции над векторами.

5. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства и приложения.

1.1. Линейная алгебра

Определение. Матрицей А размера называется таблица чисел, записанная в виде

.

Короче матрицу обозначают так:

.

Числа называются элементами матрицы. Элементы матрицы образуют столбцы и строки. В обозначении элементапервый индексуказывает номер строки, а второй- номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

Если в матрице число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратнойn-го порядка. Если же , то матрица называется прямоугольной.

В матрице А m строк и n столбцов.

Если , то получается однострочная матрица , которая называется вектор-строкой.

Если же , то получается одностолбцовая матрица

,

которая называется вектор-столбцом.

Две матрицы: иназываются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е., еслипри всехi,j (при этом число столбцов и строк матриц А и В должно быть одинаковым).

Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим операции над матрицами.

Суммой двух матриц иодного размераназывается новая матрицатого же размера, элементы которой определяются равенством

.

Обозначение: A+B=C .

Пример 1.

Аналогично определяется разность двух матриц.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы

Пример 2.

Произведение двух матриц.

Произведением матрицы размера(m строк, k столбцов) на матрицу размера(k строк, n столбцов) называется матрица размера(m строк, n столбцов), у которой элемент равен сумме произведений элементовi-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, т.е.

При этом число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение матриц не определено.

Обозначение: .

Пример 3.

Пример 4.

Отсюда видно, что ,т.е. умножение матриц не перестановочно.

Легко проверить, что для суммы и произведения матриц справедливы следующие свойства.

1. 

2. 

3. 

4. 

Единичная матрица.

Совокупность элементов квадратной матрицыназывается главной диагональю матрицы.

Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Единичной матрицей 3-го порядка будет .

Произведение квадратной матрицы любого порядка на единичную матицу того же порядка не меняет данную матрицу.

Пример 5.

Очевидно, .