177

Тема 6. Дифференциальные уравнения

Программный объем темы:

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Тео­рема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, до­пускающие понижение порядка.

3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффи­циентами (однородные и неоднородные). Понятие общего решения. Ме­тод вариации произвольных постоянных.

4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффи­циентами с правой частью специального вида.

5. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных урав­нений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения.

6. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней харак­теристического уравнения.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка - уравнение, связываю­щее независимую переменную, искомую функцию и ее первую произ­водную

.

Решением дифференциальных уравнений называется любая дейст­вительная функция, определенная на некотором интервале и обращающая данное уравнение в тождество.

Если функция, являющаяся решением дифференциального уравне­ния, определена в неявном виде: , то называется интегралом данного дифференциального уравнения.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го по­рядка:

1. Уравнения с разделяющимися переменными

,

или .

Разделение переменных производится следующим образом:

,

которые интегрируются

;

.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

,

,

,

,

,

,

- общий интеграл уравнения.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения. , удовлетворяющее начальному условию:

,

,

,

,

,

.

Общее решение.

Используем начальные условия, определим значение произвольной постоянной:

,

,

.

Следовательно, частное решение:

.

2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Уравнение называется однородным, если - од­нородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е.

.

Решение выполняется с помощью замены .

и сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример.

,

,

замена ,

,

,

,

,

,

,

,

;

- общее решение.

Найдем, используя начальное условие

- частное решение.

3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли

Уравнение , линейное относительно неизвест­ной функции и ее производной, называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции идолжны быть непрерывными на отрезке для того, что­бы выполнились условия теоремы Коши существования и единственно­сти решения.

Для решения выполняем замену

,

,

т.е. общее решение всегда можно записать в виде

Пример:

Ищем решение в виде, где

,

,

.

Пример:

,

,

,

,

,

.

Уравнение Бернулли

,

замена приводит его к линейному.

Пример:

или ,

,

,

,

,

,

,

,

.

Пример решения задачи на составления дифференциальных уравнений.

Задача. Записать уравнения кривой, проходящей через т. и обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиус-вектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.

Как видно из рисунка, .

Из получаем

,

,

,

,

.

Поставим в это равенство выражение ии придем к дифференциальному уравнению

,

,

-линейное уравнение 1-го порядка. Решаем его с помощью подстановки :

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: , искомая кривая проходит через точкупоэтому;-данная кривая гипербола.

Перейдем теперь к дифференциальным уравнениям 2-го порядка, допускающим понижения порядка.

1. -общее решение такого вида находим методом 2-кратного интегрирования.

2. Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит искомой функции .

В этом случае выполняется замена и уравнение становиться уравнениемпервого порядка.

После нахождениянаходим.

Пример.,

,

-уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.

,

,

.

3. Дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит независимую переменную .

В этом случае выполняется замена

,

После чего уравнение сводится к уравнению 1-го порядка.

Пример:,

,

.

Далее рассмотрим линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

- не-однородное уравнение -го порядка.

- однородное уравнение,.

Составляется характеристическое уравнение

.

Пример:

Характеристическое уравнение ,

Находятся его корни: .

Корни характеристического уравнения могут быть:

1. различные действительные;

2. действительные равные;

3. комплексные сопряженные.

Пусть - линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

-характеристическое уравнение.

1)-действительные, решение запишется в виде

.

2) -корни равные, решение имеет вид

.

3) - решение имеет вид

.

Примеры:

1),

,

,

.

2),

,

,

.

3),

,

,

.

4),

,

,

.

Если уравнение с постоянными коэффициентами неоднородное, то его решение состоит из суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, которое ищем по виду правой части.

Пусть

и-сonst, то , где-общее решение однородного уравнения,-частное решение, которое ищем в зависимости от вида, а именно:

1),

где - число коней характеристического уравнения, равных 0;

2) ,

где - число корней характеристического уравнения, равных;

3),

где - число корней характеристического уравнения, равных;

4) ,

,

где - число корней характеристического уравнения, равных.

имногочлены степени, где.

Пример:

,

,

,

,

,

, так как ;

, так как и корень характеристического уравнения, то,

.

-решение, подставляем его в уравнение и находим неизвестные коэффициенты и:

.

Подставив,,в исходное уравнение и приравнивая коэф­фициенты в левой и правой частях при одинаковой степени, получаем систему для нахожденияи.

Записываем решение

.

Общим решением уравнения будет

,т.е.

.

Решение дифференциального уравнения методом вариаций

произвольных постоянных

.

Решаем соответствующее однородное уравнение

.

Общее решение однородного уравнения будет

.

Считая, что и– функции, зависимые от,

.

Определим ииз системы

которая для данного уравнения имеет вид

находим ииз этой системы, а затеми:

;

.

Общее решение будет выглядеть :

.

Пример: решить систему дифференциальных уравнений:

.

Продифференцируем первое уравнение по :

и заменимиз второго уравнения:

.

Окончательно ,

-однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

.

Следовательно, решение

,

из первого уравнения,

поэтому найдём

и подставим

,

.

Контрольная работа №6 по теме