1. Определение кривой второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, определяемая урав­нением второй степени относительно текущих декартовых координат.

В общем случае это уравнение имеет следующий вид:

(1)

где коэффициенты и — действительные числа и, кроме того, по крайней мере одно из чисел: или отлично от нуля. Коэффициенты прииобозначены соответственно черезидля удобства преобразований уравнения. Известно, что уравнение окружности с центром в точкеи радиусаимеет вид

(2)

Это уравнение второй степени относительно и . Следовательно, окружность есть кривая второго порядка. Далее будут рассмотрены четыре кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

2. Окружность

Раскрыв скобки в уравнении (2) и выполнив некоторые тож­дественные преобразования, мы получим уравнение окружности в следующем виде:

При сравнении этого уравнения с общим уравнением (1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) отсутствует член с произведением коор­динат ; 2) коэффициенты прииравны между собой.

Пример. Показать, что уравнение определяет окружность, и найти координаты ее центра и радиус.

Решение. Условия и здесь выполняются. Преобразуем данное уравнение:

или

Мы получили уравнение окружности с центром и ра­диусом.

Пример. Показать, что уравнение не определяет никакой линии.

Решение. Преобразуем это уравнение:

или

Теперь ясно, что данное уравнение не определяет никакой линии.

3. Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть постоян­ная величина (при условии, что эта величина больше расстоя­ния между фокусами).

Обозначим фокусы черези, расстояние между ними – через , а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокусов, – через (по условию).

Построим декартову систему координат так, чтобы фокусы и оказались на оси абсцисс, а начало координат совпало с серединой отрезка(рис.2.3). Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: левый фокус и правый фокус . Выведем уравнение эллипса в выбранной нами системе координат. С этой целью рассмотрим произвольную точку эллипса. По определению эллипса сум­ма расстояний от этой точки до фокусовиравна:

Пользуясь формулой для расстояния между двумя точками, получим , ; следовательно,

Для упрощения этого уравнения запишем его в форме

Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получим

или, после очевидных упрощений:

Теперь опять возводим обе части уравнения в квадрат, после чего будем иметь

или после тождественных преобразований:

Так как согласно условию в определении эллипса, то— число положительное. Введем обозначение

Тогда уравнение примет следующий вид:

или

Можно показать, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 2.4. Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса. Из симметрии эллипса следует, что, кроме вершин и, эллипс имеет еще две вершины:и(см. рис. 2.4). Отрезкии , соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины и, называются соответственнобольшой и малой осями эллипса. Числа иназываются соответственнобольшой и малой полуосями эллипса. Отношение половины расстояния между фокусами к большой по­луоси эллипса называетсяэксцентриситетом эллипса и обозначается обычно буквой :

Так как , то эксцентриситет эллипса меньше единицы: .

Пример. Найти каноническое уравнение эллипса, зная его большую полуось и эксцентриситет.

Решение. По условию . Следовательно, половина расстояния между фокусами . Но тогда квадрат малой полуоси эллипса . Таким образом, искомое каноническое уравнение эллипса имеет следующий вид:

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходя­щего через точку и имеющего большую полуось .

Решение. Каноническое уравнение эллипса при имеет следующий вид:

Этому уравнению должны удовлетворять координаты точки

Следовательно,

Найдя отсюда и подставив его в уравнение, получим искомое каноническое уравнение эллипса: