Лабораторная работа № 3 измерение ускорения свободного падения с помощью "машины атвуда"

Цель работы - изучение динамики поступательного движения связанной системы тел с учетом сил трения.

Приборы и принадлежности: "машина Атвуда" смонтированная на лабораторном модуле ЛКМ-3, набор грузов и перегрузов, нить с крючками длиной 60 см (зеленая), измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

Введение

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из вращающегося легкого блока, через который перекинута нить с привязанными грузами массами т₁ и т₂ (т₁ < т₂).

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для движения грузов

(1)

Если нить нерастяжимая, то ускорения грузов .Спроецируем векторные уравнения (1) на направление ускорения движения каждого груза

m₁ a = T₁ - m₁g

m₂ a = m₂ g -T ₂ . (2)

Из уравнений (2) получим

(3)

Разность сил натяжения (T₂ – Т₁) зависит от меры инертности блока (момента инерции) и трения в подшипниках блока.

В

Рис. 1

предельном случае отсутствия сил трения инулевой массы блока и нити Т₂ = Т₁ , поэтому (4)

Отсюда ускорение свободного падения

(5)

Учтем влияние сил трения в подшипниках оси блока (пренебрегая массой блока). Введем в уравнение (3) вместо разности Т₂ – Т₁ "эффективную" силу сопротивления F.

(6)

При сухом трении в подшипниках и незначительном изменении массы

грузов m₁ и m₂ в первом приближении можно считать, что отношение

не зависит от масс грузов, а зависимость ускорения а, от величины

k = (т₂ – m₁)/ (m₁+ m₂).

Кинематическая связь ускорения а грузов с угловым ускорением β блока при отсутствии проскальзывания нити:

а = β R (7)

где R - радиус блока.

При равноускоренном движении угол поворота блока при начальной угловой скорости ω_о = 0 равен

(8)

Из формул (7) и (8) следует: (9)

Описание установки

Машина Атвуда представляет собой блок, закрепленный на стойке 1, через который перекинута нить. К концам нити подвешены грузы m₁ и т₂ (рис.2). Вращение блока регистрируется фотодатчиком, который фиксирует поворот блока на один и более оборотов. В блоке прорезаны канавки, диаметры которых равны 50 и 30 мм.

Задание I. Измерение ускорения свободного падения

1. Подключите датчик угла поворота блока к разъему № 2 на задней стенке модуля ИСМ - 1. Переключатель 10 переведите в положение К2. Переключатель 4 - в положение ":1", переключатель 5 - в положение "однокр", переключатель 8 - в положение "+" или "-", переключатель 9 - в среднее положение. Включите переключателем "сеть" питание модуля.

Рис. 2

Перекиньте нить через большой блок, радиус которого R = 25 мм, и закрепите на концах нити грузы примерно одинаковой массы m₁ и т₂ (m₁≈ т₂ ≈100 г, точное значение массы грузов выгравировано на каждом грузе), убедитесь, что грузы в свободном состоянии находятся в равновесии. Массу т₂ увеличьте на 10 г с помощью перегрузка. Значение массы грузов m₁ и т₂ с точностью до десятых долей грамма занесите в таблицу. Переведите груз m₁ в нижнее положение и остановите качание второго груза. Вращая блок, добейтесь срабатывания датчика угла поворота, о чем свидетельствует загорание индикатора 3, при этом прорезь на блоке будет находиться вблизи нулевой отметки шкалы блока. Нажмите кнопку 7 "готов" и отпустите груз m₁. Система грузов придет в движение и таймер модуля ИСМ-1 зафиксирует время одного оборота блока в секундах или в миллисекундах в зависимости от положения переключателя 2. Результат измерения занесите в таблицу.

Таблица

№	t	t^2	m1	m2	a	g	k
1
…
среднее
…
среднее
среднее	–	–	–	–	–		–

3. Рассчитайте ускорение грузов по формуле (9).

4. Рассчитайте ускорение свободного падения g по формуле (5).

5. Повторите измерения и расчеты по пп.2-4 не менее 5 раз и рассчитайте среднее ускорение грузов а и среднее ускорение свободного падения g.

6.Замените перегрузок 10 г на другой, массой 20 г. Повторите измерения по пунктам 2-5.

7. Проведите те же опыты по пп. 2 - 6 с перегрузками в 10 и 20 г, изменив массу наборных грузов вдвое (m₁≈ т₂ ≈ 200 г).

8. Найдите среднее значение ускорения свободного падения g по всем измерениям.

9. Оцените абсолютную и относительную погрешность нахождения ускорения свободного падения g по методу Стьюдента. Результат запишите в стандартном виде.

g = (< g > ± Δg) (м/с²), ε = ... % при а = 0,95.

Задание II. Определение ускорения свободного падения g

с учетом трения в подшипниках оси блока

Разность масс грузов в нашем эксперименте составляет всего 2 - 10 % от их суммарной массы (при большей разности масс движение грузов становится слишком быстрым, что приводит к выходу из строя установки). При этом на результаты эксперимента заметно влияет трение в подшипниках оси блока. Введя в уравнение движения грузов некоторую "эффективную" силу сопротивления F, получим уравнение движения грузов с учетом силы трения в подшипниках оси блока

a(m₁ + m₂) = (m₂ – m₁) g - F , (10)

откуда

(11)

Отношение в случае сухого трения в первом приближении

постоянно. Рассчитайте коэффициенты для каждого значения массы и заполните таблицу.

Построив график зависимости ускорения а от величины k и, убедившись в том, что эта зависимость линейная, найдите g как угловой коэффициент графика. Ускорение свободного падения можно найти также как

g = Δa / Δk , (12)

где Δa - разность между ускорениями системы при разных массах, а разность Δk = k₂ - k₁ вычисляется для соответствующих значений масс.

Сравните результаты, полученные в первом и втором заданиях.

Отношение можно найти как экстраполированное значение произведения k∙g, при котором, а = 0.